重慶數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部內(nèi)容.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A4'N|必>io},則集合aA的元素個數(shù)為()

A.3B.4C.6D.7

【答案】B

【詳解】因為集合4=,6可%2>10},

可得*A={xeN|%2<10}={xeN|-710<x<^}={0,l,2,3),

所以集合為A的元素個數(shù)為4.

故選：B.

2.(x—7y)7的展開式中含F(xiàn)y的項的系數(shù)為()

A.49B.-7C,1D.-49

【答案】D

7

【詳解】(x—70的展開式通項為Tk+l=C$kQ7y1=C。(-7)\^/(0<A:<7,^eN),

由7—左=6可得左=1,因此，展開式中含dy的項的系數(shù)為C；?(—7)=T9.

故選：D.

3,直線/:、&—應(yīng)、+5=0截圓。：/+：/=9所得的弦長為()

A.2B.4C.2A/5D.非

【答案】B

【詳解】因為圓0：爐+產(chǎn)=9,圓心坐標(biāo)（0,0）,半徑為3.

1^x0-72x0+51廣

]

圓心到直線的距離為:d=,'=75

J(國+(?

根據(jù)弦長公式可得：弦長夕=2,/_何2=2小2—（肩=4.

故選：B.

4,若函數(shù)f（x）=-3x-x+a在（0,1）上有零點，貝Ua的取值范圍為（)

A.（1,4）B.（T,0）c,（0,4）D.(-00,4)

【答案】A

【詳解】因為〃x）=-3-x+a,

對函數(shù)求導(dǎo)得了'（x）=-3Aln3-l<0.

所以函數(shù)/（尤）在（0,1）上單調(diào)遞減.

因為/⑺=-3,-x+a在（0,1）上有零點，

所以/（0）>0,/（1）<0.

即：—1+〃>0,—4+〃<0.

求解得：l<a<4.

故選：A.

5.在VA5C中，內(nèi)角4民。所對的邊分別為。也。.若A=}-,）為BC邊上的點，且

71

/CAD=—,A5=8,AC=4,則AD=()

2

A.4B.4A/3C.XD.273

【答案】D

2兀7171

【詳解】由題意可知：ZBAC=-,ZCAD=-,ZBAD=-,

326

A

CDB

因為S^ABC=^AABD+S^ACI),

BP-x4x8x—=-xADx4+-xADx8x-,解得A￡>=2

22222

故選：D.

6.已知某圓錐的外接球的體積為笠王，若球心到該圓錐底面的距離為4,則該圓錐體積的最大值為()

A.9兀B.27兀C.18兀D.48兀

【答案】B

【詳解】設(shè)圓錐尸a的外接球。半徑為R,貝4皿1=碼工，解得R=5,

33

所以，圓錐的底面半徑為r=，尺2—4?=后-4?=3，

P

所以，當(dāng)圓錐的高為火+4=5+4=9時，圓錐的體積最大，

19

且其最大值為一兀X32X9=27限

3

故選：B.

7.己知定義在R上的函數(shù)“X)滿足對任意的a,beR"(a+/9))—b=/(/(a)),〃O)=l.則

/⑴=()

A.-2B.0C,2D.1

【答案】C

【詳解】因為對任意的。力wR"(a+/。))—Z7=/(〃a))"⑼=1,

令a=4,b=x,則==即/(/(x))=x+/(l)；

令a=無3=0,則/(x+/(O))=/(/(x)),即/(x+l)=/(/(x))；

可得/(x+l)=x+/⑴，

令x=_l,則/(o)=-l+/(l)=l,解得/(1)=2.

故選：C.

8.正六邊形在中國傳統(tǒng)文化中象征著"六合"與"六順"，這種形狀常被用于各種傳統(tǒng)裝飾和建筑中，如

首飾盒、古建筑的窗戶、古井口等.已知6個邊長均為2的正六邊形的擺放位置如圖所示，C是這6

個正六邊形內(nèi)部(包括邊界)的動點，則ACAB的最大值為()

A.12C.18D.20

【答案】

【詳解】

過C作CE人Afi交AB延長線于E點，則兀e?荏=彳后?通=|頌|?|而

因為6個正六邊形邊長均為2,如圖，當(dāng)C位于D點時，祝?麗取得最大值，

此時NDAE=二,AO=3A產(chǎn)=68,AE=9,

6

ADAB=AEAB=9x2=lS>

故選：c.

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z滿足忖=n，則下列結(jié)論正確的是（）

A.z可能為1一施

B.zz=6

C.z的實部與虛部之積不大于3

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點可能是（2,夜）

【答案】BCD

【詳解】設(shè)2=。+歷,,則1="—"，

可得忖=J。?+。2=網(wǎng),即/+/=6.

對于選項A：若Z=l—而，即。=11=一痣，不滿足/+/=6,故A錯誤；

對于選項B：zz=（a+Z?i）（a-Z?i）=a2+b2=6,故B正確；

對于選項C：因為。2+尸=62243，即

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=6時，等號成立，

所以z的實部與虛部之積不大于3,故C正確；

對于選項D：若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是（2,女），

即a=2/=后，滿足/+。2=6，故D正確；

故選：BCD.

10.已知7ABe的頂點均在拋物線。：/=2處（2>0）上，且VABC的重心為拋物線Q的焦點

F.若|E4|+|EB|+|尸,則（）

A.夕=12

B.VABC的周長小于72

C.NABC的三個頂點到x軸的距離之和為36

D.Q上一動點P至恒線5x-12y-13=0的距離的最小值為二

【答案】ABD

【詳解】對于拋物線Q：f=2py(p>0),其焦點尸0，T,準線方程為y=-]

設(shè)3(%,%)，C(x3,y3).

由拋物線的定義知|￡A|=X+^|,\FB\=y2+-^,\FC\=y3+-^.

己知|即+|所|+|爪|=，，貝(必+￡|+卜+￡|+13+￡|="2,即

3P1,

%+%+%+萬=”

因為△A3C的重心為尸根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式”+,+%=g可得乂+%+%=#.

將X+%+%■代入X+%+%+/=；p2，得到磬+即p2-12〃=0.

因為。>0,解得0=12,所以拋物線方程為12=24y.

選項A：由上述計算可知p=12,A選項正確.

選項B：根據(jù)均值不等式與％,%，%>。，

\AB\+\BC\+\CA\<2(\FA\+\FB\+\FC[)=^p2=12,B選項正確.

選項C：AABC的三個頂點到X軸的距離之和為X+%+%=18W36,C選項錯誤.

選項D：設(shè)與直線5x-12y-13=0平行且與拋物線相切的直線方程為5尤-12y+m=0.

無一=24y、25

聯(lián)立《，消去》得V—io%—2〃z=0，由A=100+8機=0,解得加=——.

5x-12y+m=02

1

兩平行線間的距離d=2_J_,D選項正確.

13-26

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/'(%)=如3一2九+2。有兩個極值點a,>(a<Z?),則下列結(jié)論正確的是()

A.ab<0

B.a+b>0

C./(?)+/(/>)<0

D.若九eR,〃(c+l)—則加的取值范圍為(0,12)

【答案】ACD

【詳解】對于選項AB：因為/'(x)=3如2-2,可知/''(x)=3做2-2=0有2個不同實根

2

則冽〉0,且。+5=0,〃5=----<0,即人=一。,。<0,故A正確，B錯誤；

3m

對于選項C：可得“。)+/伍)=〃。)+〃一。)=33一勿+2.一33+2〃=4〃<(),故C正確；

對于選項D：因為/(c+1)—/(c)=加(c+1)—2(c+l)+2a—(加，—2c+2。)

=m(3c2+3c+1)-2,

構(gòu)建g(c)=根(3,+3c+l)-2

若[〃c+l)—/(c)|<l,即|g(c)|<l,即-l<g(c)<L

且加>0,則g(c)?g[-1J=；/n-2,

可得‘加―2<1,解得0<相<12,

4

所以機的取值范圍為(。,12).

故選：ACD.

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.橢圓c：土+2L=i的離心率為.

1611

【答案】叵

4

【詳解】由橢圓方程可得a=4,b=y/ll,c=yja2-b2=75，

所以橢圓的離心率e=￡=好.

a4

故答案為：逝.

4

13.函數(shù)y=sin6%+gcos6%在。，白上的值域為______.

1o_

【答案】[73,2]

【詳解】由題意可得：y=sin6x+73cos6x=2sin6x+—L

1—t（八兀rt,兀兀2兀

因為無￡0,---,則6%dE—,-----

18333

可得sin6%+工w——,1即y=2sin6x+撲[后2],

所以所求函數(shù)的值域為[出,2]

故答案為：[也,2].

―?1——-

14.在正四棱柱ABCD—ABiCR中，AB=2,A4,=4,CE=—CCpP是正四棱柱內(nèi)（含表面）的

4

動點，且DEVBP,則點P在正四棱柱內(nèi)運動所形成的圖形的面積為.

【答案】475

【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，AB=2,A4,=4,

則。（0,0,0）1（2,2,0）,

由庵=；亍。，則E（0,2,l）,設(shè)尸（蒼y,z）,由題意可知，0WxW2,0WyW2,0WzW4,

則應(yīng)=（0,2,1）,~BP=（x-2,y-2,z）,

由DELBP，則詼?麗=2（y-2）+z=0,

故尸的軌跡為矩形，且頂點為

又CD、=2?BC=2,故S=4逐

故答案為：4A/5.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某學(xué)校為了了解高三年級的學(xué)生參加戶外拓展意愿的情況，隨機抽取了50位高三學(xué)生進行問卷調(diào)查,

其中參加戶外拓展的意愿分3種情況，每種情況對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：

意愿情況非常期待無所謂不愿意

人數(shù)30155

（1）若從樣本中隨機抽取2位學(xué)生，求所抽取的2位學(xué)生意愿情況不同的概率.

（2）用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級所有學(xué)生中隨機抽取2位學(xué)生，記所抽取的學(xué)生

意愿情況為非常期待的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

27

【答案】（1）—

49

（2）分布列見解析；EX*

【小問1詳解】

C2+C2+C222

設(shè)事件A“選取的2位學(xué)生意愿相同"，則P（A）=3—芋_L=—,

/49

則所抽取的2位學(xué)生意愿情況不同的概率P（A）=1-P（A）=—

【小問2詳解】

記所抽取的學(xué)生意愿情況為非常期待的人數(shù)為X=0,1,2,

303r3

則根據(jù)題意，=吊=二，則X~B[2,二

則P（X=0）=C；圖3

2312

P（X=1）=C；

25

則X的分布列為

X012

4129

P

252525

41296

則石X=0x——+lx——+2x——=

2525255

16.如圖，在三棱臺ABC—4與￡中，A4，平面ABC，AC=2A￡=4,48=3,“為CC】的中點,

C￡，平面

（1）證明：ABJ.AC.

（2）求AA]的長.

（3）求平面〃與平面4片”夾角的余弦值.

【答案】（1）證明過程見解析;

⑵2技

(3)叵

5

【小問1詳解】

因平面ABC,A5u平面A3C,則A4j_LA3,

因eq，平面AB/Z，ABu平面ABH，則CC1，A3,

又ABC—A4G為三棱臺，則A&,CG相交，

又A4，C￡u平面AACG，則ABJ_平面AACG，

又因ACu平面AACC1,則A31AC.

【小問2詳解】

連接AG，

因CQ±平面ABH,AHu平面ABH，則CQ±AH,

因H為CCi的中點，則AC=A￡,

因AC=2AlCi=4,則AC】=4,AG=2,

因A&L平面ABC,ACu平面ABC,則A4，AC,

則在RtAAAC中，可得朋=416-4=26.

【小問3詳解】

以A為原點，以AB,AC,A4所在直線為x軸，，軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

4

5,

X

因ABC—4301為三棱臺，則4￡=兇=L，則Ag=W，

ACAB22

則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),Qe,2,2月,4g°，2君]，

則“(0,3，⑹，

則通=3(3,0,0),加=(0,3,6),回=1|,0,2君;

I"T

設(shè)平面ABH的法向量加=(%,乂，4),平面AB]H的法向量〃=(%2，%，22)，

\AB-m=3Xi=0]而-為=3%+岳2=0

則_.廣，\—.3r,

AH-m=3%+，3Z]=0AB1-n=—x2+2\/3z2=0

、2

令％=1*2=百，則慶=(0』,一6),而=b4,一1,6)，

/__\m-n-1-3逐

則cos(m,n)=7^—j=----『=―-—,

'/|m|-|n|2x265

則平面ABH與平面AB#夾角的余弦值為坐.

17.已知函數(shù)/(x)=axlnx—2x+a,aeR.

(1)若a=i,求曲線y=f(x)在點(L-1)處的切線方程；

(2)若a>0,恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)y=一%；

(2)a>2

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時，/(x)=xlnx-2x+l,則/'(%)=-2+(11?+1)=10^—1,

故切線斜率左=/'。)=-1,又因為切點為(L-L),

所以曲線y=/(x)在點(1,一1)處的切線方程為y+l=-Lx(xT),即丁=-x.

【小問2詳解】

不等式/(龍)之0等價于不等式㈤皿—2+烏20恒成立，

X

記g(x)=aln%—2+@,則g'(x)=—^+幺=。人，a=?(二',定義域為(0,+8),

九XXXX

令g'(x)=。，得X=1,

當(dāng)0<E,g'(x)〈O,所以g(x)在(0』單調(diào)遞減,

當(dāng)x>l,g'(x)>0,所以g(x)在。,+力)單調(diào)遞增，

g(x)mn=g(l)=-2+a>0.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為a22.

22

18.已知雙曲線。：0—￡=1(。>0/>0)的左、右焦點分別為片、F],焦距為2函，虛軸長為20，

左、右頂點分別為A、B,尸為直線/:x=l上一點，直線R4與直線尸3分別與C交于另一點K、T(不與

A、8重合)，設(shè)直線KT的方程為工=沖+”.

(1)求C的標(biāo)準方程.

(2)證明：2加+“2_4>0且4，2.

(3)試問直線KT是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

22

【答案】(1)土—匕=1

42

(2)證明見解析(3)過定點，且定點坐標(biāo)為(4,0)

【小問1詳解】

根據(jù)題意可得c=-x/6，b--\/2>則a=Jc?-濟=2，

22

故雙曲線C的標(biāo)準方程為土-匕=1.

42

【小問2詳解】

由題意可知，直線KT的斜率不為零，

x=my+n(

聯(lián)立《22可得(冽9-2x)y9+2冽幾y+〃9-4=0,

x-2y=4、)

由府—2w0可得加之。2,

由A=4加2"2_4(加2_2)("2_4)>0,可得2加+〃2_4>0.

【小問3詳解】

設(shè)K（X，X）、?。?，%），

“2—4

由題意易知直線P4、尸3的斜率都存在，且人（一2,0）、8（2,0）,

設(shè)點。（1,%）（陽工0），因為尸、A、K三點共線，所以左必=左"，即」=+①'

X］十乙J

因為P、B、T三點共線，所以kTB=kpB，

%（%2一2）1

由①②得〉二

y2a+2）3

22i

由今―友=1可得y；=5（x；—4）,

所以%（%—2）=丑—2）=；（1-4）伍―2）=2）（”2）

%（玉+2）3V2（玉+2）%%（玉+2）2%%

{myx+n-2^(^my2+n-2)1

2%為3'

即3(my+〃-2)(m%+幾-2)=-2y1y2,

即(3加+2)M%+3m(〃-2)(%+%)+3(〃一2)2=0,

2

nn(3m+2)(/—4)—2mn-3m(n—2]9

即^-------八-----/-----------——-+3(n-2)=0^

m2-2V7

即(3.+2)(〃2—4j—2mn-3m(n—2)+3(n—2)2^m2-2)=0,

因為K、7不與A、B重合，貝及，

所以(3/+2)(〃+2)—2加〃?3根+3(〃—2)(根N—2)=0,

化簡得16—4〃=0,解得“=4,故直線KT的方程為％=加丁+4,

故直線KT過定點，且定點坐標(biāo)為（4,0）.

19.已知數(shù)列｛%｝滿足*1——%=6x7"（a3+1）—ax,且％=7.若整數(shù)an能被正整數(shù)k整除,

則稱左為明的一個正約數(shù).設(shè)4的正約數(shù)個數(shù)為機，將這根個正約數(shù)從小到大排成一排，分別為

濟力也,L,bm_Y.

（1）證明：｛4+「?！埃堑缺葦?shù)列.

（2）證明：根-"為定值.

（3）在2和口之間插入中=1,2,3,…,九一1,“?2）個數(shù)/“2,…,明使%4"2，LJ”%成等差數(shù)列.

①當(dāng)〃22時，求