2025屆廣東省高三下學(xué)期3月綜合能力測(cè)試（燕博園聯(lián)考CAT）數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★★)1.已知集合，則（）

A．B．C．D．(★★)2.在等差數(shù)列中，若，則的值為（）

A．18B．15C．12D．9(★)3.已知變量與的取值如下表：

123455811且對(duì)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，則與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程必經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為（）

A．B．C．D．(★★)4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)，直線上的單位向量為，若，則的值為（）

A．4B．C．或4D．或(★★)5.2025年3月14日是星期五.學(xué)校數(shù)學(xué)組于3月10日至3月14日舉辦為期5天的“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，其中有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng).在一個(gè)不透明的紙箱中，放著5個(gè)質(zhì)地、大小完全相同的小球，球上寫著“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分別對(duì)應(yīng)得分：.學(xué)生從中有放回地任取一個(gè)球，記下得分.設(shè)事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，則（）

A．B．C．D．(★★)6.已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且從上到下與依次交于兩點(diǎn)，，則（）

A．B．2C．D．3(★★★)7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面截該正方體的內(nèi)切球，所得截面圓的面積的最小值為（）

A．B．C．D．(★★)8.已知，則（）

A．B．C．D．二、多選題(★★)9.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）

A．的實(shí)部為3B．的虛部為C．D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限(★★★)10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（）

A．B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為D．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(★★★★)11.已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)的積，，則（）

A．B．C．若，則D．若，則的最大值為12三、填空題(★★)12.在二項(xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則常數(shù)項(xiàng)為__________.（用數(shù)字作答）(★★★)13.已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，為上的點(diǎn)且在第一象限，且垂直于軸.若的離心率為2，則的斜率為__________.(★★★)14.已知函數(shù)，且函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.四、解答題(★★★★)15.已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；(3)討論函數(shù)在上的單調(diào)性.(★★★)16.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若.（i）求；（ii）過(guò)邊上一點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，求的最小值.(★★★)17.如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，底面是以為直角的等腰直角三角形.(1)若，證明：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.(★★★★)18.已知是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，的面積為.(1)求橢圓的方程.(2)若直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn).（i）若，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.(★★★)19.已知.設(shè)集合或，且，集合.若集合中的元素滿足，則稱為的“相鄰元”.對(duì)于整數(shù)，若集合存在一個(gè)子集滿足：（i）集合中的元素個(gè)數(shù)為；（ii），在集合中都至少有個(gè)“