(北師大版)八年級上冊數(shù)學(xué)《第7章平行線的證明》

專題平行線中的折疊問題

B題型歸納

題型二利用平行線的性質(zhì)解決正方形中的折疊問題)

平行線

中的折

疊問題題型三利用平行線的性質(zhì)解決三角形中的折疊問題)

題型一利用平行線的性質(zhì)解決長方形中的折疊問題

1.將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形狀，則為()

【分析】由折疊的性質(zhì)得到即可求出NCH4=73°,由平行線的性質(zhì)得到ND4B+N

CBA=180°,于是求出/D4B=107°.

【解答】解：由折疊的性質(zhì)得到

1

?：NCBA=?X(180°-34°)=73°,

U：BC//AD,

：.ZDAB+ZCBA^1SO°,

：.ZDAB=107°.

故選：c.

c

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)求出/CBA=73°,由平行線的性

質(zhì)即可得到的度數(shù).

2.（2024春?漳州期末）如圖1是長方形紙帶，將紙帶沿EP折疊成圖2,再沿G尸折疊成圖3,若圖3中

NDGf'等于60°,則圖1中/。EF的度數(shù)是（）

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，設(shè)NDEF=NEFB=cc,圖2中根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得

出NCPG,圖3中根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NCFG+/￡）GP=180°,即可求得a的值.

【解答】解：圖1中，???AO〃8C,

ZDEF=ZEFB,

設(shè)NDEF=NEFB=a.,

圖2中,

'JCF//DE,AE//BG,

：.ZCFG=ZBGD=ZAEG=180°-2ZEFG=180°-2a,

圖3中，

'：DG//CF,

：.ZCFG+ZDGF=1SO°,

ZDGF=180°-ZCFG=180°-(180°-2a)=60°,

解得：a=30°.

即/DM=30°,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查圖形的翻折變換以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)翻折變換找出相等的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?開福區(qū)校級月考）如圖，將長方形A8CO沿EF翻折，使得點(diǎn)。落在邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)

C落在點(diǎn)71處，若Nl=36°,則N2=

【分析】先根據(jù)平角的定義求出ND￡G=144°,再由折疊的性質(zhì)得到NDEF=乙GEF=QEG=72°,

則由平行線的性質(zhì)可得/2=180°-ZDEF=108°.

【解答】解：；11=36°,

：.ZDEG=180°-Zl=144°,

1

由折疊的性質(zhì)可得NDEF=乙GEF="DEG=72°,

?：AD//BC,

.,.N2=180°-108°,

故答案為：108°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確求出/。EF=72°是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?武平縣期末）如圖，將一張長方形紙片如圖所示折疊后，如果/1=126。，那么N2等于

【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)求出即可.

【解答】解：由折疊得，N4=N5,由平行線的性質(zhì)得，Z5=Z3,

.-.Z4=Z3=180°-Zl=54°,

.\Z2=180o-Z4-Z5=180°-54°-54°=72°,

故答案為：72°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出/4的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

5.（2023春?余姚市期末）如圖將長方形紙帶沿DE折疊，/DEC=75°,且點(diǎn)C落在點(diǎn)C'.若折疊后

點(diǎn)A,點(diǎn)C'和點(diǎn)E恰好在同一直線上，則NADC'的度數(shù)為

【分析】由折疊可得/■DCE=NC=90°,/DEC=/DEC=75°,從而可求得NEDC=15°,再由

平行線的性質(zhì)可得/4?！?/?！?lt;?=75°,即可求NAOC的度數(shù).

【解答】解：由題意可得：ZC=90°,AD//BC,

由折疊得：NDCE=/C=90°,NDEC=4DEC=I5°,

/.Z￡Z）C=180°-ZDEC-ZDCE=15°,

?：AD//BC,

:.NADE=NDEC=75°,

：.ZADC=ZADE-ZEDC=6Q°.

故答案為：60°.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

6.（2023春?昆明期末）如圖，將一張長方形紙帶沿跖折疊，點(diǎn)C,。的對應(yīng)點(diǎn)分別為C,D',若NDEF

=a,請直接用含a的式子表示/C'FG為.

【分析】由折疊的性質(zhì)可得：NDEG=2ct,CF//DE,由AO〃BC可得NOGF=/OEG=2a,從而有

ZCFG=180°-ZD'GF,即可得出結(jié)果.

【解答】解：由長方形紙帶ABCD及折疊性質(zhì)可得：ZD'EF=ZDEF=a,CF//D'E,

：.ZDEG=2ZDEF=2a,ZCFG=180°-ZD'GF,

?：AD//BC,

：.ZD'GF=ZDEG=2a,

：.ZCFG=18Q°-2a.

故答案為：180°-2a.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記折疊的性質(zhì).

7.（2023秋?靖江市期中）如圖，將長方形紙片ABCO沿EF折疊后，點(diǎn)。、C分別落在點(diǎn)。1、Ci的位置,

即1的延長線交BC于點(diǎn)G,若/BGE=126°,則NEFG的度數(shù)為.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得/DEG=N8GE=126°,再由折疊的性質(zhì)可得/OEb=63°,再由平行

線的性質(zhì)可得/EPG=D￡P(guān)=63°.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

；.NDEG=NBGE=126°,ZDEF^ZEFG,

1

由折疊的性質(zhì)可得：/DEF="DEG=63°,

；.NEFG=63°.

故答案為：63°.

【點(diǎn)評】此題考查了平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì).注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

8.（2023秋?恭江區(qū)期末）如圖，將長方形紙片ABC。沿著OE翻折，使得點(diǎn)C落在A。邊上的點(diǎn)C'處，

在第一次翻折的基礎(chǔ)上再次將紙片沿著AE翻折，使得點(diǎn)。落在點(diǎn)。'處.若NBE。'=15°,則NEAC'

【分析】設(shè)NEAC'=x°,由矩形的性質(zhì)得到NC=/C￡)C'=90°,AD//BC,由折疊的性質(zhì)得：Z

DCE=ZC=90°,ZCED=ZDEC',ZAED=ZAED',求出/AEC'=90°-x°,又NCEC'

1

=90°,得到/￡>EC'=jZC￡C,=45°,由平行線的性質(zhì)得到/AEB=/EAC'=x°,由/AED=

ZAED',得至Ux+15=90-x+45,求出x=60,即可得到/EAC'=60°.

【解答】解：設(shè)/E4C，=x°,

?四邊形A2CD是矩形，

：.ZC^ZCDC'=90°,AD//BC,

由折疊的性質(zhì)得：NDC'E=/C=90°,ZCED=ZDEC',ZAED=ZAED',

AZACr￡=180°-90°=90°,

AZAEC)=90°-ZEACr=90°-,

U：ZC=ZCDC'=ZDC'E=90°,

：.ZCECf=360°-90°-90°-90°=90°,

/.ZDEC'=^ZCECr=45°,

'JAD//BC,

：.ZAEB=ZEACr=%°,

VZAED=ZAEDf,

???x+15=90-x+45,

.,.x=60,

ZEAC'=60°

故答案為：60°.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)得到尤+15=90-

x+45.

9.(2024春?臨潁縣期末)如圖，有一張長方形紙條ABC。，AD//BC,將四邊形AB/芭沿直線所折疊，

在線段OE,b上分別取點(diǎn)G,H,連接G8,將四邊形CDG8沿直線GH折疊，點(diǎn)A,B,C,。的對

應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',夕，C',，設(shè)/EFB=cc(0<a<90°).

(1)若C'D'在直線的上方，當(dāng)a=50°且滿足C'H//B'/時，求NCHG的度數(shù).

(2)在(1)的條件下，猜想直線和G”的位置關(guān)系，并證明.

(3)在點(diǎn)G,H運(yùn)動的過程中，若C'H//B'F,請直接用含a的式子表示/CHG的度數(shù).

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得：NBFB'=2NEFB=100°,NCHG=：NCHC,由平行線的性質(zhì)可得

ZCHC=ZB'FH=80°,即可求解；

(2)由平行線的性質(zhì)可求NPM=/CHG=40°,可求NEfP=90°,即可得結(jié)論;

(3)分兩種情況討論，由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可求解.

-1

【解答】解：(1)由折疊得：ZBFB,=2ZEFB=100°,ZCHG=^ACHC,

：.ZB1FH=\SO°-100°=80°,

u：CrH//B'F,

：.ZCHC=ZB'FH=S0°,

11

AZCHG=^ZCHC^1x80°=40°；

(2)猜想：EFLGH,

理由如下：如圖1,過點(diǎn)尸作叮〃HG交40于點(diǎn)P,

AZEFB=50°,

：.ZEFP=180°-40°-50°=90°,

即EFLFP.

又,：FP//HG,

：.EFLGH；

(3)ZCHG=90°-a或180°-a,

解題提示：

如圖2,當(dāng)C'D'在直線A方的上方時,

.*.ZB'F;/=180°-2a.

VC,H//BfF,

：.ZCHC=ZB'FH=180°-2a.

由折疊得：ZBFB'=2NEFB=2式,乙DGH=寺乙DGD'

*：AD//BCf

：.ZBFB'=ZFPG=2a,

；?NDGH+NCHG=180°,

■:CH//BfF,CH//D'G,

：.D'G//BfF,

：.ZDGD'=ZFPG=2a.

1

:.乙DGH=^DGD'=a,

：.ZCHG=1SO°-a,

綜上所述：ZCHG=90°-a或180°-a.

【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用分類討論思想解

決問題是解題的關(guān)鍵.

題型二利用平行線的性質(zhì)解決正方形中的折疊問題

1.（2023?佛山二模）如圖，把正方形ABC。沿EF折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)夕，

若/1=40°,則NAEF的度數(shù)是（)

A.100°B.110°C.115°D.120°

【分析】根據(jù)題意得出N8巫求出N3/方=70°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)而求出NAEb的

度數(shù).

【解答】解：根據(jù)題意得，NBFE=/B'FE,

Z1+ZBFE+ZB'FE=180°,

.,.Zl+2ZBFE=180°,

ZBFE=10°,

???四邊形A3CO為正方形，

：.AD//BC,

：.AE//BF,

：.ZDEF=ZBFE=70°,

VZAEF+Z￡)EF=180°,

ZAEF=U0°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，求出N3FE度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，將正方形ABCD沿ZC對折，使得△ZBC與△ZDC重合，得到折痕ZC后展開點(diǎn)及F分別在邊

上，再沿EF折疊，使得點(diǎn)A落到點(diǎn)4.折痕EF與AC相交于點(diǎn)。.若EA'"AC,貝此COF為度.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ND4C=NBA。，ZAEF=ZAfEF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N4EQ=NZMO45。,

/COF=/AEF,從而計(jì)算即可.

【解答】解：???四邊形458是正方形，

JZBAD=90°,

由第一次折疊可知:

ZDAC=ZBAC=45°f/AEF=/A'EF,

uf

\AE//ACf

r

：.ZAED=ZDAC=4509/COF=/A'EF,

ZCOF=ZA'EF=ZAEF=-（180°-45°）=67.5°,

2

故答案為：67.5°.

【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊和平行線的性質(zhì)得到相等的角.

3.學(xué)習(xí)了平行線后，小龍同學(xué)想出了“過已知直線根外一點(diǎn)尸畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過

折一張半透明的正方形紙得到的，如圖（1）?（4）所示.請你觀察圖（1）?（4）完成下面的填空題

和選擇題.

第一次折疊后，如圖（2）所示，得到的折痕A8與直線機(jī)之間的位置關(guān)系是；

將正方形紙展開，再進(jìn)行第二次折疊，如圖（3）所示，得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關(guān)系

是;

再將正方形紙展開，如圖（4）所示，可得第二次折痕CZ）所在的直線即為過點(diǎn)P的已知直線機(jī)的平行

線.從圖中可知，小明畫平行線的依據(jù)有.

①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯角相等，

兩直線平行.

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

【分析】觀察圖形可知與直線機(jī)之間的位置關(guān)系以及折痕與第一次折痕之間的位置關(guān)系；對圖

④進(jìn)行標(biāo)注角，由CDVAB,得出Nl=N2=/3=N4=90°,據(jù)此判斷他與CQ的位置關(guān)系，

找出依據(jù)；同理依據(jù)/4=/2,得出打〃CD,進(jìn)而找出依據(jù)即可.

【解答】解：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，第一次折疊后，得到的折痕與直線機(jī)之間的位置關(guān)系是：垂直；

將正方形紙展開，再進(jìn)行第二次折疊，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，得到的折痕與第一次折痕之間的位置

關(guān)系是：垂直.

對圖④標(biāo)注角.

VC￡>±AB,AB_Lm,

???N1=N2=N3=N4=9O0.

VZ1=Z3,

CD//m,

故③正確.

VZ2=Z4,

.9.m//CD,

故④正確.

【點(diǎn)評】此題考查的是折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊

前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

4.（2023春?靖江市月考）如圖，將正方形紙片ABC。沿8E翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，若NDEF=25。，

則ZABF的度數(shù)為.

【分析】過點(diǎn)/作FG//AB交BE于點(diǎn)G,根據(jù)AB//FG//DE,得到ZBFG,ZDEF=NEFG,

根據(jù)/即葩=90°即可求出的度數(shù).

【解答】解：過點(diǎn)/作FG〃AB交8E于點(diǎn)G,如圖

?.?四邊形ABCO是正方形,

AZC=90°,AB//DE,

,:FG〃AB,

J.FG//DE,

；?NDEF=NEFG=25°,

'：ZF=ZC=90°,

：.ZBFG=90°-25°=65°,

*：AB//FG,

：.ZABF=ZBFG=65°.

故答案為：65°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意作出輔助線利用平行線的性質(zhì)是

解答問題的關(guān)鍵.

題型三利用平行線的性質(zhì)解決三角形中的折疊問題

1.(2023春?延津縣期中)如圖，在三角形ABC中，ZC=60°,ZB=30°,。是5C上一點(diǎn)，將三角形

A8D沿AO翻折后得到三角形AED,邊AE交射線3。于點(diǎn)RDE//AC,貝ljN5D4=()

【分析】由折疊性質(zhì)可得NE=NB=30°,由平行線的性質(zhì)可得NE=NC4E=30°,又三角形內(nèi)角和

定理可得NA4C=90°,從而可得N3AE=60°,即可得出N84O=30°,再利用三角形內(nèi)角和定理可

得N8DA=120°.

【解答】解：???NC=6(T,ZB=30°,

VZBAC=90°,

由折疊性質(zhì)可得：

ZE=ZB=30°,ZBAD=ZEAD,

U：DE//AC,

：.ZCAE=ZE=30°,

：.ZBAE=ZBAC-ZCAE=60°,

：.ZBAD=ZEAD=30°,

：.ZBDA^l80a-ZB-ZBAD=120°,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確折疊前后對應(yīng)圖

形全等.

2.（2023秋?達(dá)川區(qū)期末）如圖，將△ABC沿著平行于8C的直線折疊，得到DE,若/DA，E=25°,

ZDEA'=115°,則/ABC的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)折疊可求得和的度數(shù)，進(jìn)而得出NADE的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NABC

=ZADE,從而求得結(jié)果.

【解答】解：由折疊得，

ZA=ZDA'E=25°,ZAED=ZDEA'=115°,

AZA￡）E=180-25°-115°=40°,

'JDE//BC,

：.ZABC^ZADE^40°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，折疊的特征，平行線的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練

掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識.

3.（2024春?滿城區(qū)期末）題目：“如圖，在△A8C中，ZA=44°,NB=NC,M、N分別是邊AC,BC

上的點(diǎn)，將△MNC沿MN折疊得到△MNC'.若MC'與△ABC的邊平行，求的度數(shù)甲

答：56°,乙答：22°,丙答：32°,則正確的是（）

B.乙、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.甲、乙、丙答案合在一起才完整

【分析】分MC'〃8C和MC'〃AB兩種情況求解即可.

【解答】解：當(dāng)〃BC時，如圖1中，

圖1

VZA=44°,/B=NC,

.?.NB=NC=68°,

'：MC'//BC,

：.ZCAfC=180°-ZC=180°-68°=112°,

由折疊得，/.C'MN=^C'MC=x112°=56°；

當(dāng)MC'〃AB時，如圖2,

1

由折疊得，上C'MN="CMC=22°,

：.ZCMN的度數(shù)為56°或22°,

故甲、乙答案合在一起才完整，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確處理MC'的位置是解

答本題的關(guān)鍵.

4.（2023春?奉化區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，ZB=90°,ZA=30°,E,F分別是邊AB,AC上的

點(diǎn)，連接ER將△AEF沿著所折疊，得到△女￡尸,當(dāng)△4￡下的三邊與△ABC的三邊有一組邊平行時,

NA所的度數(shù)不可能是（）

A.120°B.105°C.75°D.45°

【分析】分三種情況討論，利用翻折變換和平行線的性質(zhì)可求NAE尸的度數(shù)，再利用排除法可求解.

【解答】解：如圖1,

Af

：.ZAEA=ZCBA=90°,

???將△AM沿著者所折疊,

ZAEF=ZA,EF=45°；

：.ZCBA=ZFHA=90°,

：.ZAFH=180°-ZAHF-ZA=180°-90°-30°=60°,

???將AAE廠沿著者EF折疊，

ZAFE=ZA1FE=30°；

ZAEF=180°-ZA-ZAFE=120°；

如圖3,

若A七〃A歹時，

.,.NAE2=NA=30°,

/.ZA'￡A=150°,

,/將△AM沿著者EF折疊，

/.ZAEF=ZA'EF=75°；

.../AEF的度數(shù)不可能是105°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題是翻折變換，平行線的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

5.（2023春?天寧區(qū)校級期中）如圖，將△ABC沿著。E折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A'.已知NA=34°,當(dāng)

AzO〃AC時，/AED的度數(shù)為.

【分析】由折疊可得/A=34°,ZAED=ZA'ED,再由平行線的性質(zhì)可得/AEC=NA,利用補(bǔ)角的

定義可求得NAEA的度數(shù)，即可求NAE。的度數(shù).

【解答】解：由折疊可得：/A=NA=34°,ZAED^ZA'ED,

VA,D//AC,

：.ZA'EC=ZA'=34°,

：.ZA￡A'=180°-ZA'EC=146°,

1

AZAED=^ZAEA'=73°.

故答案為:73。.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)

錯角相等.

6.（2023春?彭州市校級期中）如圖，在△ABC中，/C=60°,點(diǎn)。在AC邊上，S.ZA=ZABD,將4

48c沿8。翻折得BD,此時A'D//BC,貝iJ/ABC=度.

A

【分析】由折疊的性質(zhì)得到：ZA=ZA',ZABD=ZDBA',由平行線的性質(zhì)推出NC8A，=NA'，

而NA=NA3D,推出NA=NA3D=NQAV=ZCBAr,由三角形內(nèi)角和定理得到4ZAB￡>+60°

180°，求出NA8￡)=30°,即可得到NABC=3NA8O=90°.

【解答】解：由折疊的性質(zhì)得到：NA=NA'，ZABD=ZDBAf,

\9BC//DA',

：.ZCBA'=ZA',

ZA=ZABD,

：.ZA=ZABD=ZDBA'=ZCBAf,

VZA+ZABD+ZDBA'+ACBA'+ZC=180°,

：.4ZABD+60°=180°,

AZABD=30°,

ZABC=3ZABD=90°.

故答案為：90.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊問題，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)推出NA=NA5O=

ZDBAr=ZCBAr.

7.如圖，在△ABC中，/B+/C=a,按圖進(jìn)行翻折，使"D//CG//BC,B'E//FG,則NC'比的

度數(shù)是（用含a的式子表示）.

A

BL-EF--'C

【分析】設(shè)/8=x°,ZC=y°,先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：ZB=ZB'=x°,ZC=ZC=ya,再

利用平行線的性質(zhì)可得=/牙EC^x,NC'=/C'FB=y°,從而再利用平行線的性質(zhì)可得

ZB'EC=ZGFC=x°,然后根據(jù)已知易得：%°+y°=a,再利用折疊的性質(zhì)可得：/GFC=NGFC'

=x°,最后根據(jù)平角定義可得NGFC+NGFC'+ZC,FB=180°,從而可得2x°+y°=180°,進(jìn)行

計(jì)算即可解答.

【解答】解：設(shè)/B=x°,ZC=y0,

由折疊得：NB=/B'=x°,ZC=ZCr=y°,

U：B'D//BC,

：.ZB'=ZBrEC=x°,

■:CG//BC,

：.ZCr=/C'FB=y°,

'：B'E//FG,

：.ZBrEC=ZGFC=x°,

VZB+ZC=a,

?(?x0,+0y—a,

?(?xo—__a一yo,

由折疊得：NGFC=/GFC'=x°,

"：ZGFC+ZGFC+/C'FB=180°,

：.2x°+y°=180°,

.'.2(a-y°)+y°=180°,

解得：y°=2a-180°,

:"CFE=2a-180°,

故答案為：2a-180。.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換(折疊問題)，平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖

形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

8.(2024春?奉賢區(qū)期末)如圖，將AABC沿8c翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，過點(diǎn)8作&)〃AC交AC于

點(diǎn)。，若NABC=30°,ZBDC=140°,則NA的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)翻折變換得出BC=30°,ZACB=ZA'CB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N

ACD+ZBDC=\S0°,求出/ACZ)=40。，求出/ACB=NA，CB=20°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求

出答案即可.

【解答】解：：將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，ZA'BC=30°,

：.ZABC=ZA'8C=30°,ZACB=ZA1CB,

?：BD//AC,

：.ZACD+ZBDC=180°,

,：ZBDC=140°,

：.ZACD=40°,

：.ZACB^ZA1C2=20°,

/.ZA=180°-ZABC-ZACB=180°-30°-20°=130°,

故答案為：130°.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換問題、三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能根據(jù)翻折變換得出

ZABC=ZA'BC和NACB=NA'是解此題的關(guān)鍵.

9.（2024春?高新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZA=50°,NB=28°,。是線段AB上一個動點(diǎn)，連接

CD,把△ACD沿C￡＞折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)A'處，當(dāng)A'。平行于△ABC的邊時，ZACD

的大小為.

【分析】由/A=50°,N2=28°,求得NAC2=102°,由折疊得NA'=NA=50°,再分三種情況

討論，一是A'D//BC,則N4'=ZA,CB=50°,所以2/ACE>+50°=102°,求得/ACO=26°；

二是1D//AC,則/A，+ZACA'=180°,求得NACV=130°,由2/ACD=130°,求得/ACQ

=65°；三是由點(diǎn)。在線段上，說明不存在A'的情況，于是得到問題的答案.

【解答】解：：/4=50°,ZB=28°,

ZACB=180°-ZA-ZB=102°,

由折疊得NA'=ZA=50°,

如圖1,A'D//BC,則NA'=ZAzCB=50°,

VZACD=ZA'CD,5.ZACD+ZA'CD+ZA'CB=ZACB=102°,

：.2ZACD+50°=102°,

AZAC￡>=26°；

如圖2,A'D//AC,則/A'+ZACA'=180°,

.,.50°+ZACA1=180°,

ZACA'=130°,

A2ZACD=130°,

ZAC￡>=65°；

;點(diǎn)O在線段AB上，

，不存在A'?！ˋB的情況，

綜上所述，/AC。的度數(shù)為26°或65°,

故答案為：26°或65°.

A

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角和定理、軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等

知識與方法，正確地進(jìn)行分類討論并且畫出相應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵.

10.(2023春?石獅市期末)在△ABC中，ZACB=90°,NA=50°,點(diǎn)。是48邊上一點(diǎn)，將△ACD沿

CO翻折后得到

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在2C上時，求NBDE的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在8c下方時，設(shè)。E與8C相交于點(diǎn)?

①如圖2,DELBC,試說明：C￡〃A&

②如圖3,連接BE,EG平分即交C。的延長線于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、H.若BE〃CG,試判斷/CFE

與/G之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)翻折可得/4=/以。=50。，再利用外角即可求出/BDE的度數(shù);

(2)①根據(jù)翻折可得NA=NCED=50°,再利用垂直可得NB=/Eb=40°,即可得到CE〃A&

②設(shè)/G=x,根據(jù)角平分線和平行線可得NG=/DEG=/BEG=x,/ADC=/CDE=NDEB=2x,

可求得/BCO=90°-ZACD=90°-(180°-ZA-ZADC)=2x-40°,再利用外角可得NC/E

=ZBCD+ZCDE=4x-40°,即可得到4NG-/CFE=40°.

【解答】解：(1)VZACB=90°,/A=50°,

.,.ZB=40°,

將△人□)沿CD翻折后得到△￡?),

AZA=ZC￡D=50°,

：.ZBDE=ZCED-ZA=50°-40°=10°,

(2)①根據(jù)翻折可得NA=/CED=50°,ZADC=ZCDE,

'：DE±BC,

：.ZECF=90Q-ZE=40°=ZB,

J.CE//AB-,

②4/G-/CPE=40°,理由如下：

設(shè)/G=x,

?：BE//CG,

：.ZG-ZBEG=x,ZCDE=ZDEB,

,：EG平分/BED,

：.ZG=ZDEG=ZBEG=x,ZADC=ZCDE=ZDEB=2x,

：.ZACZ)=180°-ZA-ZA￡>C=130°-2x,

.?.ZBCD=90°-NACr>=90°-(130°-2x)=2尤-40°,

ZCFE=ZBCD+ZCDE=4x-40°,

：.ZCFE-4ZG-40°,即4/G-20^=40°.

【點(diǎn)評】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理清角度之間

的關(guān)系.

題型四利用平行線的性質(zhì)解決其它圖形的折疊問題

1.(2023秋?納溪區(qū)期末)如圖，在四邊形A8CD中，且點(diǎn)F,￡分別在邊AB,BC±,將ABFE沿FE

翻折，得至U△G/E,GF//AD,GE//DC,則的度數(shù)為（）

B.100°C.105°D.110°

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出NG尸3=100°,NGEB=70。，再利用翻折變換的性質(zhì)得出N3尸E

=50°,/BEF=35°,進(jìn)而求出N3的度數(shù).

【解答】解：-GF//AD,GE//DC,

：.ZA=ZGFB,/C=NGEB,

又???NA=100°,/C=70°,

：.ZGFB=100°,ZGEB=70°,

又由折疊得NG/E=N5/E,NGEF=NBEF,

：.ZBFE=50°,/BEF=35°,

：.ZB=180°-ZBFE-ZBEF=1SO°-50°-35°=95°.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，得出NG/^=N

BFE,NGEF=N3E1尸是解題關(guān)鍵.

2.如圖，AB//CD,AD//BC,E為上一點(diǎn)，將AABE沿BE翻折得至！J△尸3E,點(diǎn)尸在5。上，SLZEFB

=2/EDF,NC=56°,那么/ABE的度數(shù)為（）

C.48°D.34°

【分析】由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出N3FE=NA=56°,/FBE=/ABE,由三角形的外角性

質(zhì)得出NED尸=/￡>￡『=,由三角形內(nèi)角和定理求出NA2￡>=96°,即可得出/ABE的

度數(shù).

【解答】解：??N5〃CD,

AZC+ZABC=180°,

U：AD//BC,

：.ZA+ZABC=180°,

AZA=ZC=56°,

由折疊的性質(zhì)得：ZBF￡=ZA=56°,NFBE=NABE,

"：ZEFB=2ZEDF,ZEFB=ZDEF+ZEDF,

1

ZEDF=NDEF=?NBFE=28。,

ZAB￡>=180°-ZA-ZEDF=96°,

1

；./ABE=/ABD=48。；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平

行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?獻(xiàn)縣期末）如圖，在四邊形A8CZ）中，ZA=110°,ZC=80°,將沿MN翻折，得

到△BMN.若M/〃A。，F(xiàn)N//DC,則的度數(shù)為（）

r

A.75°B.85°C.95°D.100°

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出/BMP=110°，/網(wǎng)《=80°,再利用翻折變換的性質(zhì)得出NM0N

=ZBMN=55°,NFNM=NMNB=4Q°,進(jìn)而求出/B的度數(shù)即可得出/。的度數(shù).

【解答】解：'JMF//AD,FN//DC,ZA=110°,NC=80°,

：.ZBMF=H0°,NFNB=8Q°,

?；將△BMN沿MN翻折得△網(wǎng)河,

Z.ZFMN=ZBMN=55°,ZFNM=ZMNB=40°,

/.ZF=ZB=180°-55°-40°=85°,

AZD=360°-110°-80°-85°=85°,

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，得出/FMN=N

BMN,是解題關(guān)鍵.

4.（2023春?萬州區(qū)期末）如圖，六邊形ABCDEV中，AF//CD,AB//DE,ZA=140°,ZB=100°,

/ECD=20°,將△€?￡1沿CE翻折，得到△COE,則/BCD的度數(shù)為（

A

E

B

CD

A.60°B.80°C.100°D.120°

【分析】借助平行線的性質(zhì)，將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解

【解答】解：作BM//CD,如圖，

,：ZBAF=140°,NB4”=40°,

ZABM=ZBAH=40°,

ZCBM=100°-40°=60°,

JZNCB=60°

■:ACDE與叢CDE關(guān)于CE對稱，ZECD=ZECD'=20°,

：.ZBCDr=180°-60°-20°-20°=80°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)化.

5.（2024春?五蓮縣期末）如圖1是的一張紙條，按圖2方式把這一紙條先沿EF折疊并壓平,

再沿折疊并壓平，若圖3中NCFE=24°,則圖2中NAEP的度數(shù)為（）

D

圖1圖2圖3

A.112°B.68°C.48°D.136°

【分析】根據(jù)各角的關(guān)系可求出NBFE的度數(shù)，由利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可求

出NA所的度數(shù).

【解答】解：根據(jù)圖2可知折疊了2次，BP2ZBFE+ZBFC=1SQ°,NBFE-NBFC=/CFE

=24。,

根據(jù)圖3可知芭折疊了3次還差個NCFE,

1

/.ZBFE=（180°+24°）=68°.

'CAE//BF,

：.ZAEF=180°-ZBFE=112°.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，角的計(jì)算，根據(jù)題意求出NBFE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.（2024春?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課中某同學(xué)將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩

次折疊.折痕分別為A5,CD,若CD〃BE,且NABC=5N四C,則N1為（）

【分析】兩向延長3C到N和由折疊的性質(zhì)得到NA8M=NAB￡,/DCN=/DCE,由平角定義求

出NE3C=20°,由平行線的性質(zhì)推出N5CO=NM8E=160°,ZDCN=ZEBC=20°,得到NDCE

=20°,即可求出N1=N3CO-NOCE=160°-20°=140°.

【解答】解：兩向延長3C到N和

由折疊的性質(zhì)得到：NABM