2025中考三輪復習專題二次函數(shù)存在性問題專項二次函數(shù)與等腰三角

形存在性問題講義

一、知識點回顧

1.1等腰三角形存在性問題的核心條件(教材核心內(nèi)容)：

1.定義：若二次函數(shù)圖象上的三點能構成等腰三角形，則需滿足至少兩條邊長度相等。

2.數(shù)學表達：設三點為y。、B(x2,y2)>P(x,y)(P在拋物線上),則需滿足：

PA-PB,或PA=AB,或PB=ABo

3.關鍵工具：兩點間距離公式：

PA=V(x-xi)2+(y-yi)2

教材示例：

已知拋物線y=/一2久一3與x軸交于4(一1,0)和B(3,0),在拋物線上求點P,使為等腰

三角形。

解析：

1.設P(x,久2一2%—3)；

2.分類討論：

PA=PB：解得P(l,-4)；

PA^AB：解得P(1±V^,2)；

PB=AB：與上述對稱，解相同。

二、重難點講解

2.1動點問題中的分類討論

核心方法：

1.設定動點坐標：將拋物線上動點P的坐標用參數(shù)表示(如P(t,at2+瓦+c))；

2.分類討論：

情況1：PA^PB；

情況2：PA=AB-,

情況3：PB=AB；

3.代數(shù)求解：利用距離公式建立方程并化簡。

示例1：

拋物線y=一/+4%上有一動點P,定點4(1,0)和B(4,0),求使APAB為等腰三角形的點P坐標。

解析：

1.設P(t,一產(chǎn)+4t)；

2.情況1(PA=PB)：

V(t-I)2+(-t2+4t)2=-4一+(一"+4t4

化簡得t=*對應「尊牛)；

3.情況2(PA^AB)：

7(t-l)2+(-t2+4t)2=3今t=2±V2

對應P(2+加,2)和P(2-四,2)。

2.2避免重復解的技巧

核心技巧：

1.利用對稱性簡化計算(如PA=和PB=可能對稱)；

2.驗證解是否在拋物線上(如消元后需回代檢驗)。

三、易錯點與解題方法

3.1常見易錯點

1.分類討論遺漏：

錯誤：僅討論PA=PB,忽略24=和PB=AB；

糾正：明確分三種情況討論。

2.距離公式計算錯誤：

錯誤：平方展開時漏項或符號錯誤(如?-I)2=/一2t+1誤寫為嚴一1+0；

糾正：分步計算并檢查。

3.忽略實際意義：

錯誤：解得的t值超出拋物線定義域(如t為虛數(shù)或不在自變量范圍內(nèi))。

3.2解題技巧與方法

1.代數(shù)化簡技巧：

直接平方消去根號，避免復雜運算：

PA2=PB2n(t-l)2=(t-4)2

利用二次函數(shù)解析式消元(如用y=-t2+4t代入距離公式)。

2.驗證解的合理性：

檢查解是否滿足拋物線方程；

檢查三點是否共線(若共線則構不成三角形)。

四、鞏固練習

1.拋物線y=/一6%+5與x軸交于4(1,0)和B(5,0),在拋物線上求點P使△P4B為等腰三

角形。

2.已知拋物線y=/一2%與直線y=x交于。(0,0)和4(3,3),在拋物線上求點「使^POA為

等腰三角形。

3.拋物線y=-/+2久+3的頂點為M,與x軸交于做一1,0)和B(3,0),在拋物線上求點P

使APMB為等腰三角形。

答案與解析：

1.「(3,-4)或(3±2但8)

解析：分PA=PB、PA=AB.PB=4B討論。

2.P(0,0)、(2,0)或(1,一1)

解析：分P。=PA.PO=OA.PA=。4討論。

3.P(l,4)、(3,0)或(1±隹2)

解析：頂點M(l,4),分PM=PB、PM=MB、PB=MB討論。

選擇

1.（單選）如圖是二次函數(shù)1/=宜2+月+“0#0）圖像的一部分，且經(jīng)過點（2,0）,對稱軸是直線￡=],下列

說法：①心《0；②]=-1是關于X的方程t/+M+c=（l的一個根；③若點M（—?1，N（?是

3

函數(shù)圖像上的兩點，則m>/；④設該拋物線與坐標軸的交點為』，R,C，若AABC是等腰三角形，則

)

B.2

C.3

D.4

2.（單選）如圖，拋物線y=〃%2+法+。（〃，b,。是常數(shù)，〃/0）與x軸交于4,B兩點、,頂點P（加,

〃）.給出下列結論①2a+c>0；②若，在拋物線上，則為>及>為③關于x的

方程^^+云+左二。有實數(shù)解，則人〉c-”；④當〃=-2時，△A8P為等腰直角三角形；其中正確結論個數(shù)

a

A.1

B.2

C.3

D.4

3.（單選）拋物線“=皿2+如+c交工軸于4（1,0）,5（3,0],交"軸的負半軸于。，頂點為。.下列結論：①

血>0；②勿<釉；③當時，a+bxim'+M；④當AAB。是等腰直角三角形時，則a=J；⑤若

Xi,是一元二次方程a（a?+l）（c，3）=4的兩個根，且叫<.，則:ri<-1<啊<3.其中正確的有（）

個.

A2

氏3

c4

D5

4.（單選）在平面直角坐標系中，已知點4（-4,0），若點。在一次函數(shù)（/--+2的圖象上，且

△4BC為等腰三角形，則滿足條件的點。有（）.

A.2個

B.3個

J個

D.5個

5.（單選）已知二次函數(shù)vug2-2aai-3a的圖象與r軸交于A,B兩點，頂點為點C，連接4。RC.若

△4BC是等邊三角形，貝必的值為（）.

A.吏

2

B.通

2

D.±24

6.（單選）如圖，拋物線vur’.人+C交工軸于力（-1.0），8（3.0）,交y軸的負半軸于。，頂點為O,下列結論:

①2a+6=C；②2c<3力；③當m±1時，R+b<am?+fem；④當△ARD是等腰直角三角形時，則a=]；

⑤當△乂〃C是等腰三角形時，a的值有3個.其中正確的有（）.

A.2個

B.3個

C.4個

D5個

7.（單選）若二次函數(shù)v,+辰+c的圖象與工軸的兩個交點和拋物線頂點圍成的圖形為等邊三角形，則

-4ac的值是（）.

A.4

B.6

C.H

D.12

8.（單選）如圖，拋物線v-皿？+1（。＜0）與過點。（0,3）且平行于工軸的直線相交于點4B與好由交于點C，

若N4CX為直角，貝b的值為（）.

A.2

1

D.

填空

1.拋物線K/naJ+fcP+c交工軸于A(-1,O),B(3,0),交好由的負半軸于。，頂點為D.

(1)當448。是等腰直角三角形時，點D的坐標為.

(2)當AaBC是直角三角形時，a的值為.

2.二次函數(shù)y=2x2的圖象如圖所示，點A()位于坐標原點，A1，A2>A3,…，A2016在y軸的正半軸上，B

1，B2,B3，…，B2016在二次函數(shù)y=gx2第一象限的圖象上，若△A()BiAi，△AIB2A2,AA2B3A

3,…，△A2015B2016A2016都為等邊三角形，則△A2015B2016A2016的邊長=.

Q

3.二次函數(shù)y=的圖象如圖，點人位于坐標原點，點A］、4?、&、…、4M25在y軸的正半軸上，點81、

Bz、&、…、8加如在二次函數(shù)u=:/位于第一象限的圖象上.若△4oB"i、△41B242>

△…、△AzoMBaGajAans都為等邊三角形，則△也oxBafniMans的邊長為?

4.如圖，拋物線11：1/=（工-1）2-4與工軸交于點4B（點/在點3的左邊），與哦由交于點。，拋物線

“="+01+1由拋物線L向右平移后得到，與工軸交于點D.E（點。在點E的左邊），且交拋物線k于點F，

若^AEF為等腰直角三角形，則拋物線的函數(shù)解析式為.

5.已知二次函數(shù)(；=一2，+31+2與工軸交于A,H兩點，與u軸交于點。.下列說法：①拋物線的對稱軸為直

線D.］；②點4坐標為③若M是工軸上的一個動點，N是此拋物線上的一個動點，如果以

4.C.M.N為頂點的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的M點有3個；④P是此拋物線上的一點，當點P

的橫坐標為竺時，△4CF是直角三角形.其中正確的是.(填序號).

6.二次函數(shù)廿=(x-1產(chǎn)的圖象與工軸交于點A,將該函數(shù)圖象向右平移m(m>0)個單位后與工軸交于點3，

平移前后的函數(shù)圖象相交于點C，若408=90°，則m的值為.

7.如圖，點尸在拋物線？=上運動，工軸上的點4方分別表示數(shù)-3和1，首尾順次連接4B,7得

△4RF，當AAftP為直角三角形時，點P的坐標為.

8.如圖，在平面直角坐標系g中，拋物線vr十壇-0與直線V2T-1交于4Z3兩點（點.4在H軸上）,

與u軸交于點。，且/4R，=on°，那么本拋物線的表達式為.

三、解答

4

1.如圖，已知直線|/=可工+4與工軸交于點A，與"軸交于點。，拋物線u=a?+知+＜：經(jīng)過4。兩點，且與

工軸的另一個交點為〃，對稱軸為直線E=1.

(1)求拋物線的表達式；

(2)。是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點。的橫坐標為m,求四邊形ABC力面積￡的最大值及此時。點的坐標;

(3)若點F在拋物線對稱軸上，是否存在點P，使以點B，C，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直

接寫出尸點的坐標；若不存在，請說明理由.

2.如圖，直線u=z—2與拋物線|/=ax2+fcx+2(a#0)相交于4(1,—1)和8(叫2).

（1）求拋物線的解析式；（2）點。是線段AB上的動點，過點。作。D_Lr軸，交拋物線于點￡）.是否存在這樣的。

點，使線段。。的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）m軸上是否存在點M，

使得△ABM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，已知拋物線y—琥2+如+5與X軸交于兩點（點A在點8的左側），與y軸交于點

C.

（1）求拋物線的解析式；（2）點￡）是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點C,8不重合），過點D作DFLB軸

于點F,交直線BC于點E,連接BO、CD，能否使40口工與乙方口石的面積之比為?：？？若能，請求出點￡>

的坐標和aCDE的面積；若不能，請說明理由.（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三

角形，請直接寫出點M的坐標.

4.已知拋物線u-十必+da#0)交x軸于點4(6,0)和點B(1,0),交y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)如圖，點尸是拋物線上位于直線4。上方的動點，過點尸分別作x軸，

y軸的平行線，交直線4。于點3,當PD+PE取最大值時，求點P的坐標；(3)點P是拋物線上位于直線AC

上方的動點，APCE是以PE為腰的等腰三角形，直接寫出尸點坐標.

5.綜合與探究如圖，二次函數(shù)v-+lw+c的圖象與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,點A的坐標

為(-4,0),且04=0。E是線段04上的一個動點，過點E作直線E尸垂直于x軸交直線4。和拋物線分別

于點￡?、F.

(1)求拋物線的解析式；(2)設點E的橫坐標為如當機為何值時，線段DF有最大值，并寫出最大值為多少;

(3)點P是直線4。上的一個動點，若使三角形PB。是等腰三角形，求出點p的坐標.

6.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)1/-03：2十h十(交：1!軸于點4(-4,0),0(2,0).交B軸于點。(0,6卜

在U軸上有一點E(O,2),連接

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點。為拋物線在工軸負半軸上方的一個動點，求A40E面積的最大值及此時。

點的坐標；(3)拋物線對稱軸上是否存在點「，使為以AE為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出F

點的坐標即可；若不存在，請說明理由.

7.如圖，已知拋物線u+c（a#0］的對稱軸為直線c=1，且拋物線經(jīng)過4L0），。（0,3）兩點,

與x軸交于點2.

（1）若直線V-mx+雪經(jīng)過2,C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸工=-1上找一點

M,使M4+MC的值最小，求點M的坐標；（3）設尸為拋物線的對稱軸工=-1上的一個動點，求使△BPC

為直角三角形的點尸的坐標.

8.在平面直角坐標系中，拋物為=9?+fee-4與X軸交于4（-1?0）,5（4.0）兩點，與y軸交于點C,點P

是直線下方拋物線上一動點.

⑴求這條拋物線的解析式；（2）如圖（甲），在無軸上是否存在點E,使得以E,B,C為頂點的三角形為直角

三角形？若存在，請直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖（乙），動點尸運動到什么位置時,

p到四距離的最大，求出此時p到0。距離的最大值及此時點p的坐標.

9.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)j/=az2+如+c(a/0)的圖像與3c軸的交點為，4(—3,0),B(l,0)兩點，為

軸交于點。(0,-3),頂點為。，其對稱軸與工軸交于點E.

(1)求二次函數(shù)解析式；(2)連接A。，AD，CD，試判斷AAD。的形狀，并說明理由；(3)點尸為第三象限內(nèi)拋

物線上一點，AAPC的面積記為S，求S的最大值及此時點戶的坐標；(4)在線段4。上，是否存在點F，使

△AEF為等腰三角形？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

10.如圖，拋物線v