中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《銳角三角函數(shù)》考前沖刺練習(xí)

考試時間：90分鐘；命題人：教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題20分）

一、單選題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，△/回中，AB=AC=2,Z^=30°,△加C繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)a（0<a<120°）得到△/9C,

BC與分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E,設(shè)CIADE=x,MAEC的面積為％則y與x的函數(shù)圖象大致為（）

2、圖①是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（7?世）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好

能組合得到如圖②所示的四邊形若AB=5C=1,ZAOB=a,則tanZSOC的值為（）

A.sinaB.cosaC.tanaD.---

sina

3、一個物體從/點(diǎn)出發(fā)，沿坡度為1：7的斜坡向上直線運(yùn)動到氏力廬30米時，物體升高（）米.

30an

A.—B.30C.—D.以上的答案都不對

7o

4、如圖，A8是。的直徑，點(diǎn)。是上半圓的中點(diǎn)，AC=1,點(diǎn)產(chǎn)是下半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)46重合）,

”平分交R7于點(diǎn)。，則處的最大值為（）

5、邊長都為4的正方形然切和正“夕后如圖放置，血與砂在一條直線上，點(diǎn)/與點(diǎn)尸重合，現(xiàn)將

斯。沿/夕方向以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)方重合時停止，在這個運(yùn)動過程中,

正方形40和：甌;重合部分的面積S與運(yùn)動時間t的函數(shù)圖象大致是（）

第n卷（非選擇題8。分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

3

1、如圖，在RtAABC中，ZACB=90,tan^BAC=~^D是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E是直線

S

AC左側(cè)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE、CE、ED,若ECLCD/EAC=NB,貝！J嚴(yán)的值為_____.

）ABC

2、如圖，在矩形4靦中，4〃=3,點(diǎn)￡在皿邊上，AE=4,龐=2,點(diǎn)分是4。上的一個動點(diǎn).連接

EF,將線段必繞點(diǎn)￡逆時針旋轉(zhuǎn)90°并延長至其2倍,得到線段EG,當(dāng)tanNG￡A=］時，點(diǎn)G到CD

的距離是

3、若一個小球由桌面沿著斜坡向上前進(jìn)了10cm,此時小球距離桌面的高度為5cm,則這個斜坡的坡度

為.

4、在ABC中，/ABC=90。，AB=1,以融為斜邊作等腰Rt_BCD,若tanND48=g,則回邊的長

為.

5、如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)ABC都在格點(diǎn)上，則ZABC的正弦值是.

三、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）

1、(1)計算：^(sin600-l)2-tan45°+3tan30°*cos60o.

(2)解方程：(x-2)(x-5)=-2.

2、計算：tan30°sin60°-cos230°+sin245°tan450.

3、如圖，上午9時，一條船從/處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到達(dá)8

處，從4方兩處分別測得小島。在北偏東60。和北偏東45。方向上，已知小島C周圍方圓30海里的海

域內(nèi)有暗礁.該船若繼續(xù)向東方向航行，有觸礁的危險嗎？并說明理由.

4、如圖，在ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿AC—

運(yùn)動，到點(diǎn)A停止.當(dāng)點(diǎn)P不與一ABC的頂點(diǎn)重合時，過點(diǎn)P作其所在邊的垂線，交，ABC的另一邊于

點(diǎn)。.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為，秒.

(1)邊AC的長為.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在A6C的直角邊上運(yùn)動時，求點(diǎn)P到邊的距離.(用含『的代數(shù)式表示)

3

(3)當(dāng)點(diǎn)。在4ABe的直角邊上時，若尸。=］，求「的值.

(4)當(dāng)二AP。的一個頂點(diǎn)到ABC的斜邊和一條直角邊的距離相等時，直接寫出/的值.

5、計算：cot60-cos30-^tan260+sin245.

6、.如圖，內(nèi)接于，O,ACBC交CO于點(diǎn)。，垂足為點(diǎn)連接CD,ZAOC=105°,

ZCAD=7.5°

(1)求“AC的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)。作DELM,DF1AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,連接如，OC,OB,EH,FH,若：O的半徑

為1,求的值.

A

-參考答案-

一、單選題

1、B

【分析】

先證△/母與△47'E(ASA),再證FD^/\CED(AAS),得出DE+DODE+DB'=B'序x,利用銳角三

角函數(shù)求出B'C=2GC=2A，AG-ACsin300=1,根據(jù)三角形面積列出函數(shù)解析式y(tǒng)=若-是一

次函數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)園與/夕交于E

繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)a(0<a<120°)得到△/方C,

:"BA氏NOAE=a,

'：AB=A(=AB'=AC,ZB=ZOZB'=ZC=30°,

在△/班'和后中,

'NB=NC

<AB=AC,

ZCAF=ZC'AE

:.△ABF^AA。E(ASA),

J.AF^AE,

"：AB'=AC,

：.B'F=AB'-AF^AC-AE=CE,

在△夕￡9和△CE9中，

2B，=NC

■NFDB'=NEDC,

B'F=CE

FD^/\CED(AAS),

：.B'詼CD,FD=ED,

：.DE+D(=DE+DB'=B'E=x,

過點(diǎn)/作/G，山C于G,

"：AB'=AC,

：.B'G=C'G,

'：AC=2,

.._GCGCy/3

??COSLz=---------=,

AC22

B'G=GC'=上,

：.B'C'=2GC'=273

：.AG=ACsin30°=1

：.EC'=B'C'-B'E^2yf3-x

AJ=1￡，C,.AG=1X1X（2A/3-.X）=73-1X

y=K-：x是一次函數(shù)，

當(dāng)產(chǎn)0時，y=?.

故選擇B.

B

8，

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，三角形全等判定與性質(zhì)，解直角三角形，三角形面積，列一次

函數(shù)解析式，識別函數(shù)圖像，本題綜合性強(qiáng)，難度大，掌握以上知識是解題關(guān)鍵.

2、A

【分析】

在WV。出中，sina=券，可得08的長度，在Rf0BC中，tanZBOC=1|,代入即可得出答案.

OBOB

【詳解】

解：VAB^BC=1,

在RtVOAB中，sin1=——,

：.OB=-^—

sina

tanZBOC=—1—=sintz

在m05C中,OB

sina

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法進(jìn)行計算是解決本題的關(guān)鍵.

3、B

【分析】

根據(jù)坡度即可求得坡角的正弦值，根據(jù)三角函數(shù)即可求解;

【詳解】

坡比在實(shí)際問題中的應(yīng)用

解：：坡度為1：7,

.??設(shè)坡角是。，貝==；=

Vl2+725夜10

?.?上升的高度是：30x41=30米.

10

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

4、A

【分析】

根據(jù)點(diǎn)，是半圓的中點(diǎn)，得到力田比；直徑所對的圓周角是90°得到N4比90°,同弧所對圓周角相

等得到//片//冊45°,平分NB48得到NBAD=/DAP,結(jié)合外角的性質(zhì)可證N。。=ZCDA,

由線段的和差解得pgCrC20P1,由此可知當(dāng)6P為直徑時，陽最大,最后根據(jù)三角函數(shù)可得答案.

【詳解】

解：丁點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn)，

AC=BC

：.AC=BC

??,Z8是直徑

：.ZACB=90°

:./CAB=/CBA=45°

??,同弧所對圓周角相等

JZAP(=ZABC=4：5O

■:AD平分/PAB

：./BAD:/DAP

：.ZCDA=ZDAPvZAPC=45°+/DAP

/CAI尸ZCAB+ABAD=45°+ABAD

“CAD二4CDA

：.A(=CD=1

：.PD=CP-CD^CP-\

???當(dāng)CP為直徑時，PD最大

?.,RtZ\4?C中，ZACB=90°,/CAB=45°,

AC

JAB=o=也AC

cos45

二酸的最大值是0

，外的最大值是0-1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了同弧所對圓周角相等、直徑所對的圓周角是90。、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、

三角函數(shù)的知識，做題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的知識點(diǎn)，靈活綜合的運(yùn)用.

5、C

【分析】

由題意知當(dāng)t=2時，三角形和正方形重合一半面積，由此可列0Wt02和2W￡4分段函數(shù).

【詳解】

當(dāng)0W大W2時，設(shè)運(yùn)動時行1與/。交于點(diǎn)〃

?.?四邊形切為正方形，三角形阮;為正三角形

必爐90°,N4H=60°

/.AF=t,Athtan60°,AF=y/3t

s童a=S-HF=；.AH.AF=；?t.也t=與干，開口向上

當(dāng)時，設(shè)運(yùn)動時必與助交于點(diǎn)。

?.?四邊形/雙力為正方形，三角形9為正三角形

：.ZEAO-90°,ZOEA=60°

AF=t,EA=4：-t,AO^tan60°?￡4=73（4—方）

_

S重合-^AGEF^A0E4=-X4X4x^60°-—?(4-0?A^(4-^)

s重合=46一日（4一。2=—￥產(chǎn)+4萬一4道，開口向下

綜上所述，由圖象可知僅C選項(xiàng)滿足兩段函數(shù).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了動點(diǎn)的圖像問題，做此類題需要弄清橫縱坐標(biāo)的代表量，并觀察確定圖像分為幾段，弄清

每一段自變量與因變量的變化情況及變化的趨勢，主要是正負(fù)增減及變化的快慢等.勻速變化呈現(xiàn)直

線段的形式，平行于x軸的直線代表未發(fā)生變化，成曲線的形式需要看切線的坡度的大小確定變化的

快慢.

二、填空題

1、—

36

【解析】

【分析】

3

先證明RJAEZ在RJCED,則S立。=S，進(jìn)而證明一八4岳-28c4,據(jù)tanZBAC=j求得相似比，根

據(jù)面積比等于相似比的平方即可求解

【詳解】

解：CD是RtABC斜邊AB上的中線，

:.CD=-AB=AD

2

:.ZDCA=ZDAC

ZACB=90°

:.ZCAB+ZB=90°

ZEAC=ZB

:.ZEAC+ZDAC=900即NEW=90。

又EC上CD

「.NEC。=90。

:.ZEAD=ZECD

:.RjAEDqRtCED

SAED=SCED

DA=DC,EA=EC

EDI.AC

又NACB=90。

.\BC.LAC

ED//BC

:.ZADE=/B

又ZEAD=ZACB=90°

DAE^BCA

2

uADCAD

°ABCBC

3

tanZBAC=-

2

CB3

CA2

沒CB=3k,貝ljAC=2左

AB=VAC2+BC2=岳k

:.AD=-AB=—k

22

q-v

2AED-2CED

13

36

13

故答案為：—

36

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半，垂直平分線的性質(zhì)與判定，正切的定義，證明SAED=S,CED是解題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

分兩種情況如圖1和圖2所示，利用相似三角形的性質(zhì)與判定分類討論求解即可.

【詳解】

解：如圖1所示，過點(diǎn)G作揚(yáng)〃羽分別交掰，切延長線于〃，N,試點(diǎn)、F作FM〃BC,交AB于M,

?.?四邊形48CD是矩形,

：.NB=Z.BAD=/HA廬Z.ADO/AND=9Q°,

：.444M4AMF=90°,

...四邊形〃4ZV/是矩形，tan/GE4=-----=—,BPHE=5GH,

EH5

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知N防片90°,

:./HEG+/NEF小,

又YME我/MFE=9G°,

：./HEG^/MFE,

:AHEGSAMFE,

.HEHGEG”

MF~ME~FE~'

EM^-GH,MF^-GH,

22

'：MF//BC,

：.AAMFs￡ABC,

.AMMF4+-GH-GH

=京'-2----=2---

cAE+BEBC

.4+-GH-GH

2_2

63

：.GH=~,

9

19IQ

：.GN=HN-GH=—,即點(diǎn)G到切的距離為了；

圖1

如圖2所示，過點(diǎn)G作揚(yáng)〃曲分別交直線員I,直線切于〃N,過點(diǎn)尸作地〃比；交A8于帆

同理可求出ME=，G//,MF^—GH,ME=-GH

222

同理可證△加%△/a;

AM=MF4--GH-GH

-2_=2

AE+BEBC

.4--GH-GH

2_2

63

?.mW

4141

：.GN=HN+GH=—,即點(diǎn)G到必的距離為打；

綜上所述，點(diǎn)。到切的距離為4已1或1于Q

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，點(diǎn)到直線的距離，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形求解.

3、B

3

【解析】

【分析】

過5作6aL桌面于C,由題意得/后10腐，BO5cm,再由勾股定理求出/C的長度，然后由坡度的定義

即可得出答案.

【詳解】

如圖，過6作式工桌面于G

由題意得：AB=10cm,BC^3cm,

?**AC=^AB--BC2=5A/3，

；?這個斜坡的坡度八翳京邛'

故答案為：息.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題以及勾股定理；熟練掌握坡度的定義和勾股定理是解題

的關(guān)鍵.

4、2

【解析】

【分析】

根據(jù)題意作出圖形，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,則上〃3C,由RtBCD是等腰直角三角形，ZDBC=45。,

進(jìn)而可得DBE是等腰直角三角形，DE=BE,根據(jù)正切的定義求得BE,進(jìn)而求得

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

ZABC=90°

DE//BC

ZBDE=ZDBC

RtBCD是等腰直角三角形，NDBC=45°,

NBDE=45°,BC=y/2BD

BDE是等腰直角三角形

:.BD=6BE,BE=DE

1r)p

tanDAB=-^——

2AE

,DE1

"BE+1~2

解得DE=1

:.BD=y/2DE=y/2

:.BC=yl2BD=2

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了正切的定義，解直角三角形，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

5、晶讓布

55

【解析】

【分析】

根據(jù)題意過點(diǎn)6作于點(diǎn)〃過點(diǎn)，作于點(diǎn)￡,則除2氏3,CM,利用勾股定理可求出

AB,笈的長，利用面積法可求出B的長，再利用正弦的定義即可求出//歐的正弦值.

【詳解】

解：過點(diǎn)6作以，〃于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作位1/6于點(diǎn)E,

則盼/氏3,CF1,如圖所示.

A

AB=^BEP+AEP=3A/2,BC=\/BD2+CD2=710-

■:WAC?BD^AB，CE,即:><2X3=3X30?四,

：.C六肥,

CE_◎—非

sinAABC=

BL同一5

故答案為：告.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形和勾股定理以及三角形的面積，利用面積法及勾股定理求出CE,比1的長度是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)0；(2)%=3,超=4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行化簡求值即可

(2)先化簡為一般式，再根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可

【詳解】

解：(1)原式=J(f-1)2—1+3義乎.

V3V3

1---1+—

22

=0

(2)x2-7x+10+2=0

(%—3)(%—4)=0

%]—3,%2=4

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，因式分解法解一元二次方程，牢記特殊角的三角函數(shù)和掌握解

一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

2、%

【解析】

【分析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計算得出答案.

【詳解】

原式孚冬閨+用力

-131—1

242

￡

-4-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

3、有觸礁的危險，見解析

【解析】

【分析】

從點(diǎn)C向直線/夕作垂線，垂足為設(shè)方的長為x海里，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求出x的值，比

較即可.

【詳解】

解：有觸礁的危險.

理由：從點(diǎn)。向直線作垂線，垂足為反

根據(jù)題意可得：/片20海里，/俏田30°,/CB斤45

設(shè)〃的長為x海里,

在七△鹿中：?:NCBE=45°，

法彥x海里,

：.A￡=AB^BB=(20+x)海里,

在心△勿￡中：廬30。，

tan300=---=—，

20+x3

解得：^=10^3+10,

V10^/3+10<30,

?,?該船若繼續(xù)向正東方向航行，有觸礁的危險.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌

握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

4、(1)4；(2)h；(3)5或竺；(4)|■或3或4或5

1643

【解析】

【分析】

(1)由勾股定理即可得出AC的長；

(2)設(shè)點(diǎn)P到邊AB的距離為h.分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動時，②當(dāng)點(diǎn)尸在邊上運(yùn)動時，

由銳角三角函數(shù)定義分別求解即可；

(3)分兩種情況,①當(dāng)點(diǎn)。在AC邊上時，②當(dāng)點(diǎn)。在2c邊上時，由銳角三角函數(shù)定義分別表示出PQ,

列出方程，求解即可；

(4)分情況討論：①尸在AC上，P到A3的距離=2到8(?的距離，②P在8C上，尸到的距離=P

至I」AC的距離，③尸在A3上，。到A3的距離=。到AC的距離，④尸在AB上，。到A3的距離=。到3c

的距離，分別求出『的值即可.

【詳解】

解：⑴VZC=90°,AB=5,BC=3,

AC=y]AB2-BC2=A/52-32=4，

故答案為：4；

(2)設(shè)點(diǎn)尸到邊AB的距離為"

①當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動時，過P作尸以1.AB于如圖1所示：

圖1

；sinA=四=見二,AP=2t

APAB59

QA

PH=h=AP-sinA=2，x—=—，；

55

②當(dāng)點(diǎn)P在3c邊上運(yùn)動時，過尸作尸于a,如圖2所示:

圖2

PHAC4

?.?sin5=——=—=—,PB=l-2t,

PBAB5

Ao28

PH=h=BP-smB=(7-2t)x-=--t+—；

綜上所述，點(diǎn)尸到邊A8的距離為，或-|/+g;

(3)tanA上3,tanT)

AC4BC3

①當(dāng)點(diǎn)。在AC邊上時，AP=12-2t,如圖3所示:

3

貝！JPQ=—=AP-tanA,

33

即］二(12—22)xq,

解得：t=5.

②當(dāng)點(diǎn)。在BC邊上時，BP=2t-l,如圖4所示:

334

貝ljPQ=5=5Ptan3,則5=(2”7)X§,

解得:Y；

lo

綜上所述，若PQ=W，/的值為5或工；

(4)分情況討論：

①尸在AC上，尸到AB的距離=2到2。的距離,

過戶作于M,如圖5所示：

貝UPM=PC,

由（2）得：PM=3,

,/PC=AC-AP^4-2t,

解得「。

②P在BC上，尸至!]AB的距離=尸至1」AC的距離,

過尸作于如圖6所示:

則PM=PC,

828

由（2）得：PM=----1H-----,

55

'：PC=2t-4,

.828.“

??—tH---=2/—4,

55

解得：V;Q

③「在A3上，。到AB的距離=。到AC的距離，如圖7所示:

貝1JQP=QC,

?：QP.LAB,

...ZAPQ=90°=ZACPf

VAQ=AQ,

：.RtAAPQ^Rt/\ACQ（HL）,

：.AP=AC,

BP12-2/=4,

解得：t=4；

④尸在AB上，。到AB的距離=。到BC的距離，如圖8所示:

則PQ=CQ,

,/PQrAB,

：.ZAP。=90。=ZACS,

又?:ZA=Z4,

JAPQsACB,

.PQ=AQ=AP

PQAQU-lt

即--=---=-----,

354

35

9

解得：PQ=AQ=15_^,

.?.CQ=AC—AQ=4—115——11,

35

：.9——t=

22

解得：f=5；

綜上所述，當(dāng)-”。的一個頂點(diǎn)至hMC的斜邊和一條直角邊的距離相等時，，的值為:或|或4