專題02勾股定理

勾股定理的內(nèi)容

勾股用驗(yàn)證方法

勾股定理+

勾

勾股定理的應(yīng)用

股

平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離

定

理

5?命題與

勾股定理

勾股定理的逆定理

的逆定理

勾股數(shù)

（勾股樹）

1.勾股定理

勾股定理：直角三角形的兩條直角邊。、人的平方和等于斜邊。的平方，即：

?2+b2=c1.

2.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，它把直角三角形有一個(gè)直角的“形”

的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系.利用勾股定理，可以解決與直角三角形有關(guān)

的計(jì)算和證明問題，還可以解決生活、生產(chǎn)中的一些實(shí)際問題.其主要應(yīng)用

如下：

(1)已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；

(2)已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系；

(3)證明包含平方(算術(shù)平方根)關(guān)系的幾何問題；

(4)構(gòu)造方程(或方程組)計(jì)算有關(guān)線段的長(zhǎng)度，解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)

際問題.

3.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)。，C滿足次+廿=02,那么這個(gè)三角形是直角三角形，

我們稱它為勾股定理的逆定理.

4.勾股數(shù)

(1)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即

中，a,b,c為正整數(shù)時(shí)，稱a,b,c為一組勾股數(shù).

(2)勾股數(shù)的求法：

如果。為一個(gè)大于1的奇數(shù)，b,c是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且有后沖+c,那么a,

b,c為一組勾股數(shù).如3為大于1的奇數(shù),4,5為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù),且32=4+5,

則3,4,5為一組勾股數(shù)，還有：5,12,13；7,24,25；9,40,41；11,

60,61；....

6.互逆命題與互逆定理

(1)互逆命題

如果兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命

題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

(2)互逆定理

一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，

則稱這兩個(gè)定理互為逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.

用人力目擊

考點(diǎn)01與勾股定理相關(guān)的計(jì)算與證明

解題六招

J>17、~

1.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先明確所求邊是斜邊還是直

角邊，再?zèng)Q定用勾股定理的原式還是變式.

2.根據(jù)各圖形間的邊長(zhǎng)關(guān)系，結(jié)合勾股定理得到線段的平方的關(guān)系，利用線段

平方與所求圖形面積間的關(guān)系求圖形面積.

3.求不規(guī)則圖形的面積常用的方法是割補(bǔ)法，即把不規(guī)則圖形分割或拼補(bǔ)成規(guī)

則圖形，通過規(guī)則圖形的面積的和差求不規(guī)則圖形的面積.

4.在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2025春?福鼎市期中）如圖，在RrZ\ABC中，NC=90。，AD,BE

是△A5C的角平分線，AD,延相交于點(diǎn)人若”=3應(yīng)，EF=2,則M的長(zhǎng)

是（）

2A/2c.V10D.2也

【答案】C

【分析】過點(diǎn)E作EGLAO于點(diǎn)G,根據(jù)角平分線定義得到4=N2,Z3=N4,

結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，得到ZEFG=N2+N3=45°,即△EGF為等腰直角三角形,

由此得到EG=GF=1,再利用勾股定理即可求出AE.

【解答】解：過點(diǎn)石作及7,4）于點(diǎn)6,如圖,

AD平分NC4B,BE平分ZABC,

.-.Z1=Z2,Z3=N4,

Zl+Z2+Z3+Z4=90°,

.?.N2+N3=45°,

NEFG=Z2+Z3=45°,

EGYAD,

為等腰直角三角形，又EF=2,

EG=GF=y/2,

:.AG=AF-GF=3叵-叵=2叵,

AE=VAG2+EG2=M.

故選：C.

【典例2]（2025春?雙流區(qū)校級(jí)期中）如圖，及△ABC中，ZACB=9Q°,AB=12,

點(diǎn)E為AC中點(diǎn).點(diǎn)。在AC右側(cè)，DE±AC,且ZZME=ZS4C,射線3E交4）于

點(diǎn)尸，若△/）所為等腰三角形，則線段3E的長(zhǎng)為—.

【答案】3面或4G

【分析】分別延長(zhǎng)兌＞,3C交于點(diǎn)G,作田，AD于H,分三種情況討論，由全

等三角形的性質(zhì)得到AG=12,由三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)得到

FE^-BE,FD=-DG=2,由勾股定理，射影定理即可解決問題.

33

【解答】解：分別延長(zhǎng)AD,交于點(diǎn)G,

ZCAG=ZCAB,AC=AC,ZACB=ZACG=90°,

：.ACAG=/\CAB（ASA）,

.-.AG=AB=12,BC=GC=-BG,

2

DE_LAC,BG±AC,

:.ED//BG,

AE=CE,

AD=DG=6,

「.ED是△ACG的中位線，

:.ED:CG=1:2,

.\DE:BG=1:4,

△FED^△FBG,

FE:FB=FD:FG=ED:BG=1:4,

:.FE=-BE,FD^-DG=2,

33

①當(dāng)FE=FD=2時(shí)，￡F是放△的斜邊的中線,

:.EF=-AD=3,

2

:.FEwFD.

②當(dāng)郎=ED時(shí)，作團(tuán)_LAZ）于“，

:.DH=-FD=1,

2

ED2=DHDA=lx6,

ED=y/6，

:.EF=y/6,

BE=3E尸=36③當(dāng)￡0=田=2時(shí)，

EC=AE=^AD2-DE2=V62-22=4及，

BC=CG=2DE=4,

BE=yJCE2+BC2=473,

當(dāng)△DEF為等腰三角形，則線段班的長(zhǎng)為3#或.

故答案為：3#或

(2025春?大連期中)在ABC中，ZC=90°.

(1)若AC=7,BC=24,求鉆；

(2)若AB=2應(yīng)，NB=45。,求BC.

【答案】(1)25；

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求解即可；

(2)根據(jù)題意得出三角形ABC是等腰直角三角形即可推出結(jié)果.

【解答】解：(1)由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=A/72+242=25；

(2)咫△ABC中，ZC=90°,ZB=45°,

，ZA=NB=45°,

/.AC=BC,

又，AB=2貶,

2

考點(diǎn)02勾股定理與圖形面積

解筵六招

勾股定理的證明是通過拼圖法或割補(bǔ)法完成的，探索時(shí)利用面積關(guān)系，將“形

的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題.

（2025春?梁溪區(qū)校級(jí)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明

了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的

直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)

為a,較短直角邊長(zhǎng)為6,若0+4=23,大正方形的面積為17,則小正方形的

面積為（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】D

【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理推出"=13,然后結(jié)合完全平方公

式的變形得出m-6）2=5,最后由小正方形的面積為EF2=（a-b）2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，由題意，ED=a,AE=b,

一大正方形的面積為17,

m=17,

AD2=AE2+ED2^a2+H2,

儲(chǔ)+/="，

(。+b)2—23,

.\(a-b)2=2(a2+b2)-(a+b)2=2x17-23=11,

EF=ED-EF=a—b,

小正方形的邊長(zhǎng)為跖=&1(負(fù)值舍去)，

.??小正方形的面積為11,

故選：D.

【典例5】(2025春?洪山區(qū)期中)某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完勾股定理后，類比“趙

爽弦圖”將八個(gè)全等的直角三角形拼接構(gòu)造成如圖所示的弦圖，圖中正方形

ABCD,正方形EFGH,正方形肱的的面積分別記為豆，邑，S3，若1+S?+邑=75,

則EF的長(zhǎng)是()

A.2&B.4C.5D.5A/3

【答案】C

【分析】利用勾股定理結(jié)合正方形的面積公式以及面積關(guān)系列出等式，即可求解.

【解答】解：設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為°,短直角邊為6,斜邊長(zhǎng)為c,貝U：

c2=a2+b2,

S[=(a+6)2,5=c2,2

由題意，得：2S3=(a-b),

2

S]+S2+S3=(a+t>y+C+(A-,

=a2+2cib++c2+ci~—2ab+b~

=c2+c2+c2

=3c2=75,

.-.C2=25,

即EF2=25,

:.EF=5,

故選：C.

【典例6】（2025春?淮北期中）三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》作注解

寫《勾股圓方圖注》時(shí)給出了“趙爽弦圖”，如圖1,連接四條線段得到如圖2

的新的圖案.如果圖1中的直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為4,斜邊為2石，那么圖

2中陰影部分的面積為一.

【分析】先利用勾股定理求出直角三角形較短的直角邊的長(zhǎng)，再根據(jù)陰影部分面

積等于四個(gè)直角三角形面積加上中間一個(gè)正方形面積求解即可.

【解答】解；直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為4,斜邊為2逐，

.?.較短的直角邊的長(zhǎng)度為J（26）2—4?=2,

17

???S陰影=4XE><2X（4—2）+（4—2）一=12，

所以圖2中陰影部分的面積為12,

故答案為：12.

考點(diǎn)03勾股定理與圖形折疊

解題六招

圖形折疊問題，本質(zhì)是軸對(duì)稱問題，必然出現(xiàn)三角形全等.在審題和思考時(shí),

一定要重視“折”的過程，關(guān)注“疊”的表現(xiàn)，找到相等的角和邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化.同時(shí),

尋找和構(gòu)造全等直角三角形，尤其是特殊的直角三角形，然后利用勾股定理建

立方程來解題.

【典例7】（2025春?合肥期中）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,

將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)3重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)”的位置，折痕為。，

則AABE的面積為（）

B.8cm2C.10cm2D.12cm2

【分析】設(shè)=貝I㈤=無=9—x,根據(jù)勾股定理可求得4?,小的長(zhǎng)，從而

不難求得A4BE的面積

【解答】解：設(shè)隹=x,由折疊可知:ED=BE=9—x,

?在RtAABE中，32+x2=(9-%)2

.?.尤=4，

119

SAABE=—AE?AB=—x3x4=6（cm）

故選：A.

【典例8】（2024?西安校級(jí)二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,BE=EC,

將正方形邊CD沿DE折疊到DF,延長(zhǎng)防交回于點(diǎn)G,則ABEG的周長(zhǎng)為.

【答案】24.

【分析】連接GD,證明AADG=ATOG("L)得出AG=bG,設(shè)AG=bG=x,則

EG=x+6,BG^n-x,勾股定理求得x=4,則AG=GR=4,BG=8,進(jìn)而勾股

定理求得GE,即可求解.

【解答】解：連接GZ),如圖所示，

由折疊可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,

:.ZDFG^ZA^90°,

RtAADG=RtAFDG(HL),

:.AG=FG,

正方形邊長(zhǎng)是12,

:.BE=EC=EF=6,

設(shè)AG=FG=x,則EG=x+6,BG=12-x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(x+6)2=62+(12-X)2,

解得：x=4,

:.AG=GF=A,BG=8,

GE=y/BE2+BG1=A/62+82=10,

,ABEG的周長(zhǎng)為BE+EG+GB=6+8+10=24,

故答案為：24.

【典例9](2023?東莞市校級(jí)二模)有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別

為：AC=6cm,BC=8an,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上,

且與4?重合，求8的長(zhǎng).

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC=AE=6a〃，CD=DE,ZACD=ZAED=ZDEB=90°,

利用勾股定理列式求出至，從而求出3E,設(shè)CD=￡>E=xcm,表示出班>,然

后在放△￡）￡?中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：.,△ACD與關(guān)于AD成軸對(duì)稱，

:.AC=AE=6cm,CD=DE,ZACD=ZAED=ZDEB=90°,

在Rf/XASC中，AB2=AC2+BC2=62+82=IO2,

AB=10cm,

:.BE=AB-AE=10-6=4(cm),

設(shè)CD=DE=xcm,貝|DB=BC—CD=8—x(cm),

在用△DEB中，由勾股定理，得d+42=(8-x)2,

解得x=3,即CD=3cm.

考點(diǎn)04利用勾股定理求立體圖形表面上的最短路徑

（1）把立體圖形展開為平面圖形，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解.

（2）當(dāng)兩點(diǎn)位于立體圖形內(nèi)外兩側(cè)時(shí)，需用“將軍飲馬”模型對(duì)稱到同側(cè)；若立

體圖形有多種展開方式，需分別求出距離后作比較.

（2024秋?大東區(qū)期中）如圖，長(zhǎng)方體的高為9而，底面是邊長(zhǎng)為

6所的正方形.一只螞蟻從頂點(diǎn)A開始爬向頂點(diǎn)3,那么它爬行的最短路程為（

)

A.10血？B.12dmC.15dmD.20dm

【答案】C

【分析】將立體圖形展開，有三種不同的展法，連接鉆，利用勾股定理求出4?

的長(zhǎng)，找出最短的即可.

【解答】解：①如圖，將長(zhǎng)方體的正面和上面展開在同一平面內(nèi)，AD=6,

9=6+9=15，

AB=762+152=3叵(dm)；

②如圖，將長(zhǎng)方體的正面和右面展開在同一平面內(nèi)，AC=6+6=12,BC=9,

AB=A/122+92=15(dm),

③將長(zhǎng)方體的正面和左面展開在同一平面內(nèi)，同理可得A2=河+92=15（而）,

由于15<34，

所以螞蟻爬行的最短路程為15血1.

故選：c.

（2023春?乾安縣期末）如圖，有一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、

寬、高分別是50皿、30cm>10aw,點(diǎn)A和點(diǎn)3是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，

有一只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬向3點(diǎn)去吃可口的食物；請(qǐng)你想一想,

這只壁虎至少需要爬cm.

【答案】130.

【分析】首先畫出A到3的最短路徑的展開圖，然后利用勾股定理求出答案.

【解答】解：如圖所示：AC=10x3+3x30=120c〃?，BC=50cm,ZACB=90°,

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=A/1202+502=130（cm）,

故答案為：130.

單位cm

【典例12］（2024春?古浪縣期中）如圖，是一個(gè)長(zhǎng)8加，寬6〃?，高5機(jī)的倉(cāng)庫(kù)，

在其內(nèi)壁的A（長(zhǎng)的四等分點(diǎn)）處有一只壁虎，B（寬的三等分點(diǎn)）處有一

只蚊子，則壁虎爬到蚊子處的最短距離為多少米.

【分析】將點(diǎn)A和點(diǎn)3所在的面展開，則為矩形，連接分類探討壁虎爬到

蚊子處的距離，找到最短距離即可.

【解答】解：①將正面和左面展開，過點(diǎn)3向底面作垂線，垂足為點(diǎn)C,則AABC

為直角三角形，

31

AC=—x8+—x6=8m，BC=5m，

43

AB=JAC'+BC?=VS2+52=陶”.

故壁虎爬到蚊子處的最短距離為即.

②將正面和上面展開，則A到3的水平距離為6根，垂直距離為7利，

此時(shí)的最短距離為阿《

③將下面和右面展開，則A到3的水平距離為11加，垂直距離為2祖，

此時(shí)的最短距離為5房.

綜上所述，壁虎爬到蚊子處的最短距離為炳米.

考點(diǎn)05勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用

解題六招

利用勾股定理解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找直角三角形，若不存在直角三角形，可通

過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形.

【典例13]（2025春?蒙陰縣期中）如圖所示，一根樹在離地面5米處斷裂,

樹的頂部落在離底部12米處.樹折斷之前（）米.

A.10mB.15mC.18mD.20m

【分析】根據(jù)圖形，可以知道兩直角邊的長(zhǎng)度，從而構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股

定理就可求出斜邊的長(zhǎng).

【解答】解：?52+122=169,

^/i69=13,

.-.13+5=18（米）.

二樹折斷之前有18米.

故選：C.

【典例14］（2025?羅定市一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問

題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭

長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正

方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一

邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是（

）尺.（丈和尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）

B.10,11C.11,12D.12,13

【分析】，設(shè)AC=x尺，則：AB=AB，=（x+l）尺，在利用勾股定理

進(jìn)行求解即可.

【解答】解：水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺，如圖,

設(shè)AC=x尺，則AB=AB，=（x+l）尺，

由題意，得：ZAC^=90°,5^=—=5（尺），

2

在放△AC8f中，由勾股定理得：（X+1）2=X2+52,

解得：x=12,

.*.x+l=13,

即水深為12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺，

故選：D.

（2025春?防城區(qū)期中）某校八年級(jí)（1）班的小華和小軒學(xué)習(xí)了

“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE,他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)

得水平距離池的長(zhǎng)為12米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線3c的長(zhǎng)為

20米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為L(zhǎng)6米.

（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE;

（2）如果小明想風(fēng)箏沿8方向下降11米到點(diǎn)則他應(yīng)該往回收線多少米？

【答案】（1）17.6米；

（2）7米.

【分析】（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再加上DE的長(zhǎng)度，即可求出CE的高

度；

（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）在中，由勾股定理得，

CEr=BC2-BD2=202-122=256,

..CD=16（負(fù)值舍去）,

:.CE=CD+DE=16+1.6=11.62（米），

答：風(fēng)箏的高度CE為17.6米；

（2）由題意得，CM=11米，

:.DM=5米，

BM=>JDM2+BD2=752+122=13（米），

.?.BC-BM=20-13=7（米），

,他應(yīng)該往回收線7米.

考點(diǎn)06利用勾股定理的逆定理判斷三角形形狀

解題六招

利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形的一般步驟：

①確定三角形的最長(zhǎng)邊；

②分別計(jì)算出最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和；

③通過比較來判斷最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等；

④作出結(jié)論，若相等，則說明這個(gè)三角形是直角三角形，否則不是直角三角形.

（2025春?道里區(qū)校級(jí)期中）由下列線段a,b,c可以組成直角

三角形的是（）

A.a=\ib=2,c=3B.a=b=l,c=^/3

C.a=2>b=3>c=4D.a=l,b=也,c=2

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、a+Z?=l+2=3,c=3,:.a+b=c；

，不能組成三角形，

故A不符合題意；

B、a2+b2=2,C2=(A/3)2=3,

a2+b2^c2,

.?.不能組成直角三角形，

故3不符合題意；

C、a?+=2?+3?=13,c?=4'=16,a2+b2c2>

.?.不能組成直角三角形，

故C不符合題意；D、a2+b2=12+(A/3)2=4,c2=22=4,

:.cr+b2=c2,

...能組成直角三角形，

故。符合題意；

故選：D.

【典例17](2025春?香坊區(qū)校級(jí)期中)以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形是直角

三角形的是()

A.1、1、V3B.5、12、13C.5、7、8D.4、5、6

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、12+12=2,(同=3,

12+12^(73)2,

.?.不能構(gòu)成直角三角形，

故A不符合題意；

B、52+122=169,132=169,

.-.52+122=132,

...能構(gòu)成直角三角形，

故3符合題意；

C、52+72=74,82=64,

.-.52+72片82,

.?.不能構(gòu)成直角三角形，

故C不符合題意；

D、52+42=41,62=36,

,-.52+42^62,

.?.不能構(gòu)成直角三角形，

故。不符合題意；

故選：B.

(2025春?大余縣期中)若a,。，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且a,b,

c滿足(a-5)2+|6-12|+Jc-13=0.

(1)求a,b,c的值；

(2)△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)a—5>6=12,c=13;

(2)是，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出a,b,c的值；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)由題意得：(a-5)2+|&-12|+Vc-13=0,

ci—5=0,h—12=0,c—13=0,

.,.a—59b=129c=13;

(2)△ABC是直角三角形，

a2+b2=52+122=25+144=169,c2=132=169,

a2+b2=c2,

故^ABC是直角三角形.

考點(diǎn)07勾股數(shù)

常見的勾股數(shù)有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④7,24,25；⑤5,

12,13；⑥9,12,15.常見的勾股數(shù)需牢記，平時(shí)在解決問題時(shí)常用，有利于

打開思路.

（2025春?滑縣期中）下列屬于勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.0.3,0.4,0.5C.1,2,3D.也,2,也

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：A.42+32=52,3,4,5屬于勾股數(shù)，符合題意；

B.0.32+0.42=0.52,但0.3,0.4,0.5不是正整數(shù),不屬于勾股數(shù),不符合題意；

C.F+22/32,1,2,3不屬于勾股數(shù)，不符合題意；

D.（y/3）2+22^（y/5）2,G，君不屬于勾股數(shù)，不符合題意；

故選：A.

（2025春?防城區(qū)期中）下列幾組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.5,12,13C.0.3,0.4,0.5D.1,瓜肥

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：A.12+22^3\L2,3不屬于勾股數(shù)，不符合題意；

B.52+122=13\5,12,13屬于勾股數(shù)，符合題意；

C.0.32+0.42=0.52,但0.3,0.4,0.5不是正整數(shù)，不屬于勾股數(shù)，不符合題意；

>（a）2+仔=（6）2,1,R及不是正整數(shù)，不屬于勾股數(shù)，不符合題意；

故選：B.

（2025春?蜀山區(qū)期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它

被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”

的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.母,也,卡D.5,12,13

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義，三個(gè)正整數(shù)，兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于較大數(shù)的平

方，這三個(gè)正整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)，進(jìn)行判定即可.

【解答】解：A、-F+22/3。故不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、42+52^62,故不是勾股數(shù)，不符合題意；

c、④，出,新不是整數(shù)，故0，5行不是勾股數(shù)，不符合題意;

D.-122+52=132,且都是整數(shù)，故是勾股數(shù)，符合題意，

故選：D.

考點(diǎn)08勾股樹

在解決勾股樹問題時(shí)，常常用到“同一直角三角形兩直角邊上的兩個(gè)正方形面

積和等于斜邊上的正方形的面積”.

【典例22］（2025春?淮北期中）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式

設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是3,4,5,7,9.選

取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大

的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）

【答案】C

【分析】設(shè)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：。、6、c（c>“,c>6）,根據(jù)勾股定理可得a2+b2=c2,

則小的兩個(gè)正方形的面積等于大正方形的面積，再分別進(jìn)行判斷，即可得到面積

最大的三角形.

【解答】解：設(shè)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：八6、c（oa,ob）,且使所圍成的三角

形是直角三角形，

a2+b2=c2,

，兩個(gè)較小的正方形面積等于最大的正方形面積；

A.3+4=7w5,

.?.不能圍成直角三角形，

B.3+4=7,

，能圍成直角三角形，且該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為2,后，

，三角形的面積為、2><也=石；

2

C.4+5=9,

...能圍成直角三角形，且該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為2,占，

，三角形的面積為工x2xd=石；

2

D.3+7=10/9,

.?.不能圍成直角三角形，

A/5>73,

，面積最大的一組是4,5,9,

故選：C.

（2024春?杭錦后旗期中）畢達(dá)哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢

達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹狀圖形，其中所有的四

邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.如圖，若正方形A,B,C,

。的邊長(zhǎng)分別是2,3,1,2,則正方形G的邊長(zhǎng)是（）

G

A.8B.2A/2C.3忘D.5

【答案】C

【分析】分別設(shè)中間兩個(gè)正方形和最大正方形的邊長(zhǎng)為x,y,z,由勾股定理

得出f=2?+3?=13,V=F+22=5,z2=x?+y2=i8即最大正方形的面積為z?=18,

則可求出答案.

【解答】解：設(shè)中間兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為x、y,最大正方形G的邊長(zhǎng)為z,

則由勾股定理得：

尤2=2?+3?=13;

222

y=I+2=5；

z2=x2+y2=18;

即最大正方形E的面積為：Z2=18,

，最大正方形E的邊長(zhǎng)為3立.

故選：C.

（2025?雁江區(qū)一模）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40。和

50。，其三邊上分別有一個(gè)正方形.執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別

作銳角為40。和50。的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)

作正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形,

人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”.若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為3,則10次操

作后圖形中所有正方形的面積和為一.

【答案】108.

【分析】根據(jù)勾股定理易得圖①中所有正方形的面積和為18,那么經(jīng)過一次操

作后增加的4個(gè)小正方形的面積的和為9,那么經(jīng)過一次操作后所有正方形的面

積和=18+9,同理可得經(jīng)過2次操作后增加的8個(gè)小正方形的面積的和也為9,

那么經(jīng)過2次操作后所有正方形的面積和=18+2x9,那么可推斷10次操作后所

有正方形的面積和=圖1中所有正方形的面積和+10x9.

【解答】解：把圖②中各個(gè)小正方形標(biāo)上字母，設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為x,正方形

3的邊長(zhǎng)為y.

，正方形A的面積為正方形3的面積為丁.

由題意得：正方形C的邊長(zhǎng)為3,并且是直角三角形的斜邊.

正方形C的面積為9.

根據(jù)勾股定理可得：X2+/=32=9.

正方形A的面積+正方形3的面積=9;

，圖①中所有正方形的面積和=9+9=18.

同理可得：正方形E的面積+正方形尸的面積=正方形A的面積，正