3.1.1函數(shù)及其表示方法（第一課時）高中數(shù)學(xué)人教B版(2019)必修一主講人：1．能用集合語言與對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求一些簡單函數(shù)的定義域．2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用．3．通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．1．理解函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素，會求函數(shù)的定義域．(數(shù)學(xué)運算)2．能判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù)，會求簡單函數(shù)的值域．(數(shù)學(xué)運算)3．掌握函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法以及各自的優(yōu)缺點．(直觀想象)4．結(jié)合實例，經(jīng)歷函數(shù)三種表示法的抽象過程，體會三種表示法的作用．(數(shù)學(xué)抽象)5．會解決與分段函數(shù)有關(guān)的問題．(數(shù)學(xué)運算)課標解讀素養(yǎng)目標我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些函數(shù)的知識例如，已經(jīng)總結(jié)出:

在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量;

在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù).再例如，我們知道

y=2x是正比例函數(shù)，

y=3x-1是一次函數(shù)，是反比例函數(shù)，

y=x2+2x-3是二次函數(shù)，等等.溫故知新變量的觀點定義函數(shù)的概念(1)國家統(tǒng)計局的課題組公布，如果將2005年中國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來中國創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示：以y表示年度值，i表示中國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的函數(shù)嗎?如果是，這個函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示?情境與問題年度20082009201020112012201320142015中國創(chuàng)新指數(shù)116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5i是y的函數(shù)，但是這個函數(shù)與初中的函數(shù)也有所不同，很難用一個解析式表示，且每個變量的取值范圍也有了限制(2)利用醫(yī)療儀器可以方便地測量出心臟在各時刻的指標值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如圖3-1-1所示，醫(yī)生在看心電圖時，會根據(jù)圖形的整體形態(tài)來給出診斷結(jié)果(如根據(jù)兩個峰值的間距來得出心率等).如果用t表示測量的時間，v表示測量的指標值，則v是t的函數(shù)嗎?如果是這個函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示?情境與問題v是t的函數(shù)，但是這個函數(shù)與初中的函數(shù)有所不同，比如都很難用一個解析式表示，而且每個變量的取值范圍也有了限制知識點一、函數(shù)的概念一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應(yīng)關(guān)系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應(yīng)，則稱為定義在集合A上的一個函數(shù).記作：y=f(x)，x∈A.注：(1)函數(shù)中變量x,y的對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或者是“多對一”，而不能“一對多”．(2)關(guān)于f(x)的理解：①f(x)是一個整體，不能分開，也不能理解為f與x的乘積，它表示一個f是對自變量x進行操作的程序或方法，是連接x與y的紐帶，按照這一“程序”，從定義域集合A中任取一個x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y值與之對應(yīng)的函數(shù)②函數(shù)的這種定義強調(diào)的是“對應(yīng)關(guān)系”，對應(yīng)關(guān)系也可用其他小寫英文字母如g，h等表示．知識點二、函數(shù)的定義域與值域在y=f(x)，x∈A中(1)x稱為自變量，y稱為因變量;(2)自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個函數(shù)的定義域;(3)如果自變量取值a，則由對應(yīng)關(guān)系f確定的值y稱為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作：y=f(a)或ylx=a(4)所有函數(shù)值組成的集合{y|y=f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域.知識點三、函數(shù)的三個要素定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域知識點四、同一函數(shù)一般地，如果兩個函數(shù)表達式表示的函數(shù)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同(即對自變量的每一個值，兩個函數(shù)表達式得到的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個函數(shù)表達式表示的就是同一個函數(shù)．例如：表示同一個函數(shù)在表示函數(shù)時，如果不會產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫，此時就約定:函數(shù)的定義域就是使得這個函數(shù)有意義的所有實數(shù)組成的集合在上述約定下，以下表達式都可以表示函數(shù)f(x)=2x+1，x∈Rf(x)=2x+1,y=2x+1.例1（教材）求下列函數(shù)的定義域:解：(1)因為函數(shù)有意義當(dāng)且僅當(dāng)解得x>-1，所以函數(shù)的定義域為(-1，十∞).(2)因為函數(shù)有意義當(dāng)且僅當(dāng)

解得x≠0且x≠-2，因此函數(shù)的定義域為(-∞，-2)U(-2，0)U(0，+∞).以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù):(1)分式中分母不能為零;(2)二次根式中的被開方數(shù)要大于或等于零鞏固訓(xùn)練1求函數(shù)定義域1.求下列函數(shù)的定義域，并用區(qū)間表示．解：(1)要使函數(shù)有意義，須使－x2＋2x＋8≥0，解得－2≤x≤4，因此函數(shù)的定義域為[-2,4]．解：(1)要使函數(shù)有意義，則解得，所以函數(shù)定義域為例2（教材）設(shè)函數(shù)的值域為S，分別判斷和3是否是S中的元素.解：由于恒成立，所以無解，因此當(dāng)時，可解得x=8，即g(8)=3，所以3∈S.本題實質(zhì)上是在用方程判斷一個數(shù)是否屬于函數(shù)的值域。例3（教材）已知(1)求f(-1)，f(0)和f(2);(2)求函數(shù)fx)的值域.解:(1)由已知可得(2)(方法一)因為x2≥0，所以x2+1≥1恒成立，從而可知又因為當(dāng)x的絕對值逐漸變大時，函數(shù)值會逐漸接近于0，但不會等于0，因此所求函數(shù)的值域為(0，1].(方法二)假設(shè)t是所求值域中的元素，則關(guān)于的方程應(yīng)該有解，即應(yīng)該有解，從而即，解得0<t≤1.因此所求值域為(0，1].求下列函數(shù)的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}；解：(1)當(dāng)x＝1時,y＝3;當(dāng)x＝2時,y＝5；當(dāng)x＝3時，y＝7;當(dāng)x＝4時，y＝9．所以函數(shù)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}的值域為{3，5，7，9}．鞏固訓(xùn)練2求函數(shù)的值域(2)y＝1－x2；解：因為1－x2≤1，所以函數(shù)y＝1－x2的值域為(－∞，1]．一次函數(shù)二次函數(shù)解(3)方法一：由于可取任意非零實數(shù)，因此y可取任意不為2的實數(shù)，即函數(shù)的值域為{y|y≠2}．方法二：由,得

，則y≠2．所以函數(shù)的值域為{y|y≠2}．反比例型函數(shù)分離常數(shù)法反解法解：當(dāng)x＞0時(當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝2時等號成立)．當(dāng)x＜0時，(當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝－2時等號成立)，因此函數(shù)的值域是(－∞，－4]∪[4,+∞）．對勾函數(shù)利用均值不等式求值域解：(1)因為，它們的對應(yīng)關(guān)系不相同，所以它們不是同一個函數(shù)．(2)因為函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，而的定義域為R，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù)．鞏固訓(xùn)