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西藏那曲地區(qū)班戈縣2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),且的最小值為,則()A. B. C. D.2.已知定義在R上的函數(shù)(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù),記,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.4.的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.405.已知集合,則元素個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.46.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.7.在中,“”是“為鈍角三角形”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.如圖,在中,,是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.9.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.10.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.11.中國(guó)的國(guó)旗和國(guó)徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.12.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說(shuō),他自己覺(jué)得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.14.已知集合,,則_____________.15.若非零向量,滿足,,,則______.16.如圖是一個(gè)算法流程圖,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則輸入的實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M,N.18.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19.(12分)已知拋物線,直線與交于,兩點(diǎn),且.(1)求的值;(2)如圖,過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn),與直線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn),證明:直線過(guò)定點(diǎn).20.(12分)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.21.(12分)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),為的前n項(xiàng)和,求證:.22.(10分)已知函數(shù)(),不等式的解集為.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,因?yàn)檎归_(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).2.B【解析】
根據(jù)f(x)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解:∵f(x)為偶函數(shù);∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故選B.本題考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0,+∞)上,根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小.3.C【解析】
由題意可知,,由可得出,,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得出,由此可得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域?yàn)?,?duì)恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,則,,則,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,.故選:C.本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,有一定的難度.4.A【解析】
化簡(jiǎn)得到,再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得到答案.【詳解】展開(kāi)式中的項(xiàng)為.故選:本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5.B【解析】
作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象,可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,集合A表示以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn),作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示,得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B,所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素,所以元素個(gè)數(shù)為2,故選:B.本題考查集合的交集運(yùn)算,關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象,再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).7.C【解析】分析:從兩個(gè)方向去判斷,先看能推出三角形的形狀是銳角三角形,而非鈍角三角形,從而得到充分性不成立,再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí),也推不出成立,從而必要性也不滿足,從而選出正確的結(jié)果.詳解:由題意可得,在中,因?yàn)?,所以,因?yàn)椋?,,結(jié)合三角形內(nèi)角的條件,故A,B同為銳角,因?yàn)?,所以,即,所以,因此,所以是銳角三角形,不是鈍角三角形,所以充分性不滿足,反之,若是鈍角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以為既不充分也不必要條件,故選D.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化,余弦的和角公式,誘導(dǎo)公式等,需要明確對(duì)應(yīng)此類問(wèn)題的解題步驟,以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.8.C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)區(qū)間,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,由單調(diào)遞增,則(),解得(),當(dāng)時(shí),D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)是遞減區(qū)間,A,B選項(xiàng)中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選:D本小題考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).10.C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問(wèn)題.【詳解】解:.故選:A本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.-15【解析】
是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計(jì)算.14.【解析】
由集合和集合求出交集即可.【詳解】解:集合,,.故答案為:.本題考查了交集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15.1【解析】
根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積公式,得出,解方程即可得出答案.【詳解】,即解得或(舍)故答案為:本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.16.【解析】
根據(jù)程序框圖得到程序功能,結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:程序的功能是計(jì)算,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,此時(shí)無(wú)解.故答案為:.本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷,理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.y=2sin2x.【解析】
計(jì)算MN,計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式.【詳解】∵M(jìn),N,∴MN,∴在矩陣MN變換下,→∴曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.本題考查了矩陣變換,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18.(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn),要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn),考慮利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:19.(1);(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)聯(lián)立直線和拋物線,消去可得,求出,,再代入弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.(2)由(1)可得,設(shè),計(jì)算直線的方程為,代入求出,即可求出,再代入拋物線方程,求出,最后計(jì)算直線的斜率,求出直線的方程,化簡(jiǎn)可得到恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】(1)由,消去可得,設(shè),,則,.,解得或(舍去),.(2)證明:由(1)可得,設(shè),所以直線的方程為,當(dāng)時(shí),,則,代入拋物線方程,可得,,所以直線的斜率,直線的方程為,整理可得,故直線過(guò)定點(diǎn).本題第一問(wèn)考查直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題,需熟記弦長(zhǎng)公式.第二問(wèn)考查直線方程和直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,需有較強(qiáng)的計(jì)算能力,屬于難題.20.(1)an=2n+1;(2)2.【解析】
(1)根據(jù)題意求出首項(xiàng),再由(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,求得該數(shù)列為等差數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和.【詳解】(1)∵an2+2an=4Sn+1,∴a12+2a1=4S1+1,即,解得:a1=1或a1=﹣1(舍),又∵an+12+2an+1=4Sn+1+1,∴(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,整理得:(an+1﹣an)(an+1+an)=2(an+1+an),又∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正,∴an+1﹣an=2,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=1+2(n﹣1)=2n+1;(2)由(1)可知bn,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=1?5?(2n+1)?,Tn=1?5??…+(2n﹣1)?(2n+1)?,錯(cuò)位相減得:Tn=1+2(?)﹣(2n+1)?=1+2,∴Tn()=2.此題考查求等差數(shù)列的基本量,根據(jù)遞推關(guān)系判定等差數(shù)列,根據(jù)錯(cuò)位相減進(jìn)行數(shù)列求和,關(guān)鍵在于熟記方法準(zhǔn)確計(jì)算.21.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng),,可得,又∵當(dāng)時(shí)也成立,;(2),本題主要考查了與的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法,屬于基礎(chǔ)題.22.(1)(2)32【解
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