PAGE1PAGE2專專題12柱、錐、臺體的軸截面問題綜合難點(diǎn)專練-【考點(diǎn)培優(yōu)尖子生專用】2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練滬教版含答案題12柱、錐、臺體的軸截面問題綜合難點(diǎn)專練（原卷版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的軸截面（過圓柱的軸作截面）的面積為（）A．2π B．π C．2 D．12．圓臺的兩個底面面積之比為，母線與底面的夾角是，軸截面的面積是，則圓臺母線長（）A．2 B． C．3 D．43．一個圓柱內(nèi)接于一個底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（）A． B． C． D．4．過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（）A． B． C． D．5．用一個平面截正方體和正四面體，給出下列結(jié)論：①正方體的截面不可能是直角三角形；②正四面體的截面不可能是直角三角形；③正方體的截面可能是直角梯形；④若正四面體的截面是梯形，則一定是等腰梯形．其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．②③ B．①②④ C．①③ D．①④6．已知圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在一半徑為1的球的球面上，當(dāng)圓錐體積為球體積的時，圓錐的高為（）A．1或 B．1或 C．1或 D．1或7．一個倒置的圓錐形漏斗，底面半徑是10cm，母線長是26cm，把一個球放在漏斗內(nèi)，圓錐的底面正好和球相切，則這個球的體積是（）A． B． C． D．8．將一個底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個圓柱體，能切割出的圓柱最大側(cè)面積為（）A．3π B．4π C．π D．2π9．在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹揭环N用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法不正確的是（）A．斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為120°B．過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米C．若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個球上，則該球的表面積為平方厘米D．此斗笠放在平面上，可以完全蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為厘米10．如圖所示的幾何體是一個正方體挖掉一個圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點(diǎn)在下底面上)，用一個垂直于正方體某個面的平面截該幾何體，下列圖形中一定不是其截面圖的是（）A． B．C． D．11．已知圓錐的母線長為2，側(cè)面積為，則過定點(diǎn)的截面面積的最大值等于（）A． B． C．3 D．2二、填空題12．已知圓錐的底面半徑為2，高為4，在圓錐內(nèi)部有一個圓柱，則圓柱的側(cè)面積的最大值為______.13．圓柱上?下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的表面積為___________.14．若圓臺的兩底面半徑分別為2和5，母線長是5，則它的軸截面面積為_________.15．圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為____.16．已知一球體剛好和圓臺的上?下底面及側(cè)面都相切，且圓臺上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該球體的表面積為___________.17．一個圓錐的軸截面是一個等邊三角形，是底面圓的一個內(nèi)接正三角形，V是圓錐的頂點(diǎn)，則二面角的正切值是______________．18．圓臺的軸截面上?下底邊長分別為2和4，母線長為2，則圓臺的體積是___________.19．2020年底，中國科學(xué)家成功構(gòu)建了76個光子的量子計(jì)算機(jī)“九章”，推動全球量子計(jì)算的前沿研究達(dá)到一個新高度.該量子計(jì)算機(jī)取名“九章”，是為了紀(jì)念中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》.在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，棱柱為一“塹堵”，是的中點(diǎn)，，設(shè)平面過點(diǎn)且與平行，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為等腰梯形時，該圖形的面積等于；②當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為直角梯形時，該圖形的面積等于；③異面直線與所成角的余弦值為；④三棱錐的體積是該“塹堵”體積的.所有正確結(jié)論的序號是___________.20．在平面上，將兩個半圓弧和?兩條直線和圍成的封閉圖形記為，如圖中的陰影部分.記繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為.試?yán)米鏁溤恚梢粋€平放的圓柱和一個長方體得出的體積值為___________.三、解答題21．圓臺的兩底面面積分別為1，49，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，求圓臺的高被截面分成的兩部分的比.22．底面半徑為2，高為的圓錐有一個內(nèi)接的正四棱柱(底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱).（1）設(shè)正四棱柱的底面邊長為，試將棱柱的高表示成的函數(shù).（2）當(dāng)取何值時，此正四棱柱的表面積最大，并求出最大值.23．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率（材料利用率）為多少？24．已知某圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，球O內(nèi)切于該圓錐.（1）求該圓錐的高；（2）求內(nèi)切球O的體積.25．在正三棱臺中，已知，棱臺一個側(cè)面梯形的面積為，分別為上、下底面正三角形的中心，連接，并延長，分別交，于點(diǎn)，，，求上底面的邊長.PAGE1專題12柱、錐、臺體的軸截面問題綜合難點(diǎn)專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的軸截面（過圓柱的軸作截面）的面積為（）A．2π B．π C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的軸截面的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵撜叫涡D(zhuǎn)一周所得圓柱的高為1，底面的半徑為1，所以圓柱的軸截面的面積為：，故選：C2．圓臺的兩個底面面積之比為，母線與底面的夾角是，軸截面的面積是，則圓臺母線長（）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【分析】畫出圓臺的軸截面，結(jié)合圖形設(shè)出圓臺的上下底面半徑分別為，母線長為，結(jié)合題意和面積公式求得的值，即可求解.【詳解】畫出圓臺的軸截面，如圖所示，設(shè)圓臺的上下底面半徑分別為，母線長為，因?yàn)閳A臺的兩個底面面積之比為，可得，即又由母線與底面的夾角是，可得，解得，則軸截面等腰梯形的高為，因?yàn)檩S截面的面積是，可得，解得，所以圓臺的母線長為.故選:D.3．一個圓柱內(nèi)接于一個底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，根據(jù)題中條件，得到內(nèi)接圓柱的高，由圓柱的側(cè)面積公式，表示出側(cè)面積，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】圓錐的底面半徑為2，高為4，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則它的上底面截圓錐得小圓錐的高為，因此，內(nèi)接圓柱的高；圓柱的側(cè)面積為，令，當(dāng)時，；所以當(dāng)時，，即圓柱的底面半徑為1時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.故選：D.4．過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合立體圖，先由面積計(jì)算底面半徑和側(cè)棱，再利用側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形，面積為8，故邊長，即底面半徑，側(cè)棱長為.則圓柱的側(cè)面積是.故選：C.5．用一個平面截正方體和正四面體，給出下列結(jié)論：①正方體的截面不可能是直角三角形；②正四面體的截面不可能是直角三角形；③正方體的截面可能是直角梯形；④若正四面體的截面是梯形，則一定是等腰梯形．其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．②③ B．①②④ C．①③ D．①④【答案】D【分析】利用正方體和正四面體的幾何特征逐項(xiàng)判斷.【詳解】①當(dāng)正方體的截面是三角形時，截面與正方體三條相鄰棱相交，如圖所示，設(shè)，則，所以，所以正方體的截面不可能是直角三角形，正確；②如圖所示設(shè)正四面體的棱長為，取CD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)G及四等分點(diǎn)F（靠近點(diǎn)C），即時，滿足，所以是直角三角形，不正確；③若截面為梯形，則截面與一組平行的對面相交，如圖所示：，則，又，所以，所以，則，所以截面是等腰梯形，不正確；④若正四面體的截面是梯形，如圖所示：則，又，所以，所以，，所以，所以截面一定是等腰梯形，正確．故選：D．6．已知圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在一半徑為1的球的球面上，當(dāng)圓錐體積為球體積的時，圓錐的高為（）A．1或 B．1或 C．1或 D．1或【答案】D【分析】分球的球心在圓錐的內(nèi)部和圓錐外兩種情況，利用軸截面，根據(jù)圓錐體積為球體積的求解.【詳解】如圖所示：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則，因?yàn)閳A錐體積為球體積的，所以，化簡得，令，則，所以，解得（舍去）或或，所以或如圖所示：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則，因?yàn)閳A錐體積為球體積的，所以，化簡得，令，則，所以，解得（舍去）或，所以，綜上：或故選：D7．一個倒置的圓錐形漏斗，底面半徑是10cm，母線長是26cm，把一個球放在漏斗內(nèi)，圓錐的底面正好和球相切，則這個球的體積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】欲求球的體積，只需求球的半徑，根據(jù)題意，球與圓錐的側(cè)面和底面相切，畫出幾何體的軸截面，利用直角三角形即可求球的半徑?！驹斀狻繋缀误w如下圖，設(shè)球的半徑為r，根據(jù)幾何體的軸截面，圓錐的高,點(diǎn)D是求與圓錐側(cè)面的切點(diǎn)，CB=CD=10，OB=OD=r，AD=26-10=16，，OA=AB-OB=24-r，在中，,，解得，，故選：B.【點(diǎn)睛】幾何體與球相切問題解題策略；1.體積分割法求內(nèi)切球半徑；

2.作出合適的截面（過球心、切點(diǎn)等），在平面上求解；3.多球相切問題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題.8．將一個底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個圓柱體，能切割出的圓柱最大側(cè)面積為（）A．3π B．4π C．π D．2π【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，進(jìn)而根據(jù)三角形相似得，故，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最值.【詳解】解：如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，則根據(jù)題意得，所以，因?yàn)椋?，即，所以，所以圓柱的側(cè)面積為，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)配方得，所以當(dāng)時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.故選：C9．在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹揭环N用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法不正確的是（）A．斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為120°B．過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為平方厘米C．若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個球上，則該球的表面積為平方厘米D．此斗笠放在平面上，可以完全蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為厘米【答案】B【分析】根據(jù)母線長與底面半徑用正弦可求頂角；當(dāng)頂角為是面積最大；根據(jù)頂角與母線長即可求外接球半徑；根據(jù)三角開內(nèi)切圓幾何關(guān)系即可求解半徑．【詳解】對A選項(xiàng)，設(shè)頂角為，則，得，所以頂角為，A正確；對B選項(xiàng)，因?yàn)轫斀菫闀r，則截面三角形的最大面積為平方厘米，B錯誤；對C選項(xiàng)，因?yàn)轫斀菫?，則，所以外接球半徑等于圓錐母線長，即，則該球的表面積為平方厘米，C正確；對D選項(xiàng)，設(shè)球的最大半徑為，因?yàn)轫斀菫?，則，所以，D正確．故選：B10．如圖所示的幾何體是一個正方體挖掉一個圓錐(圓錐的底面圓與正方體的上底面正方形各邊相切，頂點(diǎn)在下底面上)，用一個垂直于正方體某個面的平面截該幾何體，下列圖形中一定不是其截面圖的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析用不同方式去截幾何體得到截面的形狀即可求解.【詳解】用過圓錐的軸且與上底面一組對棱垂直的平面截該兒何體可得A圖，用平行于圓錐底面的平面截該幾何體可得C圖，用垂直于圓錐底面且不過圓錐的軸的平面截該幾何體可得D圖，而B圖用垂直于正方體的任何面的平面截都無法得到.故選：B11．已知圓錐的母線長為2，側(cè)面積為，則過定點(diǎn)的截面面積的最大值等于（）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】結(jié)合圓錐的母線長和側(cè)面積可求得底面圓的周長、半徑，再得到軸截面的頂角，進(jìn)而得到截面三角形頂角的取值范圍，故當(dāng)截面為頂角是的等腰三角形時面積最大，即得解【詳解】由圓錐的母線長為2，側(cè)面積為，假設(shè)底面圓周長為，因此，故底面圓周長為，底面圓的半徑為.由于軸截面為腰長為2，底邊長為底面圓直徑的等腰三角形，因此軸截面的頂角是.故當(dāng)截面為頂角是的等腰三角形時面積最大，此時.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積和截面面積問題，考查了學(xué)生綜合分析，空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，為中檔題二、填空題12．已知圓錐的底面半徑為2，高為4，在圓錐內(nèi)部有一個圓柱，則圓柱的側(cè)面積的最大值為______.【答案】【分析】作出軸截面，設(shè)內(nèi)接圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，利用平行線的性質(zhì)得比例式求得關(guān)系，然后表示出表面積可得最大值．【詳解】如圖是圓錐與圓柱的軸截面，設(shè)內(nèi)接圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，則由，可得，所以圓柱的側(cè)面積，所以時，該圓柱的側(cè)面職取最大值.故答案為：．13．圓柱上?下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的表面積為___________.【答案】80π【分析】作出圓柱的軸截面，求出圓柱的高，即可得表面積．【詳解】如圖是圓柱的軸截面，其外接圓是球的大圓，由得，，又，∴，∴圓柱表面積為．故答案為：．14．若圓臺的兩底面半徑分別為2和5，母線長是5，則它的軸截面面積為_________.【答案】【分析】根據(jù)題意，圓臺的軸截面為等腰梯形，上底為，下底，腰為，進(jìn)而求解即可.【詳解】解:如圖,根據(jù)題意得圓臺的軸截面為等腰梯形，其中,過點(diǎn)作的垂線，垂足為，由圓臺的性質(zhì)易知四邊形是矩形，所以，所以，即圓臺的軸截面的高為所以軸截面的面積為故答案為：15．圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為____.【答案】100π【分析】作出圓柱的軸截面矩形，矩形的外接圓是球的大圓，由軸截面計(jì)算出球的半徑可得表面積．【詳解】如圖矩形是圓柱的軸截面，矩形的外接圓是球的大圓，O是球心，也是矩形對角線交點(diǎn)，中點(diǎn)是圓柱底面圓心，由圓柱的性質(zhì)知：O1A＝3，OO1＝4，所以O(shè)A＝5，所以球的表面積為100π.故答案為：100π．16．已知一球體剛好和圓臺的上?下底面及側(cè)面都相切，且圓臺上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該球體的表面積為___________.【答案】【分析】如圖在截面梯形中，，，，然后利用，求出母線長，再由可求出球的半徑，從而可求出球體的表面積【詳解】如圖，在截面梯形中，，，.因?yàn)椋獾?又因?yàn)?，所以，所以該球體的表面積為.故答案為：17．一個圓錐的軸截面是一個等邊三角形，是底面圓的一個內(nèi)接正三角形，V是圓錐的頂點(diǎn)，則二面角的正切值是______________．【答案】【分析】底面圓心為O，取AB的中點(diǎn)D，可證明為二面角的平面角，設(shè)，求出各個數(shù)據(jù)，計(jì)算正切值.【詳解】設(shè)底面圓心為O，取AB的中點(diǎn)D，點(diǎn)D在平面VOC內(nèi)，連接VD，OD，VO，軸截面如圖所示，則底面，，，所以二面角的平面角是．設(shè)，則，則，所以，所以．故答案為：18．圓臺的軸截面上?下底邊長分別為2和4，母線長為2，則圓臺的體積是___________.【答案】【分析】根據(jù)圓臺的軸截面的長度關(guān)系，可得到，代入圓臺的體積公式，即得解【詳解】如圖所示，不妨設(shè)圓臺的軸截面為，過分別作于由于圓臺的軸截面為等腰梯形，因此由圓臺的體積公式，其中，故答案為：19．2020年底，中國科學(xué)家成功構(gòu)建了76個光子的量子計(jì)算機(jī)“九章”，推動全球量子計(jì)算的前沿研究達(dá)到一個新高度.該量子計(jì)算機(jī)取名“九章”，是為了紀(jì)念中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》.在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，棱柱為一“塹堵”，是的中點(diǎn)，，設(shè)平面過點(diǎn)且與平行，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為等腰梯形時，該圖形的面積等于；②當(dāng)平面截棱柱的截面圖形為直角梯形時，該圖形的面積等于；③異面直線與所成角的余弦值為；④三棱錐的體積是該“塹堵”體積的.所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】①③④【分析】分別對四個結(jié)論結(jié)合題意分析判斷即可.【詳解】對于①，如圖，取，，分別為對應(yīng)邊中點(diǎn)，易知四邊形是等腰梯形，且高為，當(dāng)不是中點(diǎn)時，不平行平面，則四邊形不是梯形，等腰梯形有且僅有一個，.所以①正確；對于②，向下作截面滿足題意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且僅有一個，其面積.所以②錯誤；對于③，將三棱柱補(bǔ)成正方體，為對應(yīng)邊中點(diǎn)，易知為異面直線與所成角或補(bǔ)角，，，所以，所以③正確；對于④，，，所以④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求兩異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出兩異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角（或補(bǔ)角）；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由于兩異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．20．在平面上，將兩個半圓弧和?兩條直線和圍成的封閉圖形記為，如圖中的陰影部分.記繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為.試?yán)米鏁溤?，由一個平放的圓柱和一個長方體得出的體積值為___________.【答案】【分析】將截面面積分為和，分別看作是截長方體和平放的圓柱得到的，進(jìn)而利用祖暅原理求得結(jié)果.【詳解】幾何體的水平截面面積由兩個部分和組成，其中的部分可看作是截一個底面積為，高為的長方體得到的，如下圖所示：的部分可看作是截一個底面半徑為，高為的平放的圓柱平放得到的，如下圖所示：根據(jù)祖暅原理知：每個平行水平面的截面面積相等，則它們的體積相等，的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查祖暅原理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒔孛婷娣e拆分為兩個部分，將兩個部分分別對應(yīng)到長方體和圓柱的截面面積上，進(jìn)而根據(jù)祖暅原理求得體積.三、解答題21．圓臺的兩底面面積分別為1，49，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，求圓臺的高被截面分成的兩部分的比.【答案】2∶1.【分析】作出圖像，根據(jù)高的比和半徑的關(guān)系列方程求解即可.【詳解】將圓臺還原為圓錐，如圖所示.O2，O1，O分別是圓臺上底面、截面和下底面的圓心，V是圓錐的頂點(diǎn)，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，則所以即h1∶h2＝2∶1.故圓臺的高被截面分成的兩部分的比為2∶1.22．底面半徑為2，高為的圓錐有一