（提優(yōu)卷）期中滿分沖刺模擬卷一-【考點(diǎn)培優(yōu)尖子生專用】2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練滬教版（提優(yōu)卷）期中滿分沖刺模擬卷一（原卷版）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題(共30分)1．下列說法正確的有（）①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)2．碌碡是我國古代人民發(fā)明的一種把米、麥、豆等糧食加工成粉末的器具，如圖，近似圓柱形碌碡的軸固定在經(jīng)過圓盤圓心且垂直于圓盤的木樁上，當(dāng)人或動(dòng)物推動(dòng)木柄時(shí)，碌碡在圓盤上滾動(dòng).若人或動(dòng)物推動(dòng)木柄繞圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周，碌碡恰好滾動(dòng)了3圈，則該圓柱形碌碡的底面圓的半徑與其高之比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：33．在四面體中，，與直線，均垂直，且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點(diǎn)，則其爬過的路程最小值為（）A． B． C． D．4．如圖，棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（）A．不存在 B．2條C．4條 D．無數(shù)條6．四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為矩形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，頂點(diǎn)在底面的射影為，則下列結(jié)論正確的是（）A．棱上存在點(diǎn)使得面B．當(dāng)落在上時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)落在上時(shí)，四棱錐的體積最大值是2D．存在的值使得點(diǎn)到面的距離為7．已知長方體中，，點(diǎn)在線段上，，平面過線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)，若平面截長方體所得截面為平行四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．粽子，古時(shí)北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米?泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長為，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．9．如圖，在三棱錐的平面展開圖中，四邊形是菱形，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長時(shí)，則四棱錐P-ABCD的體積為（）A． B． C． D．二、填空題(共24分)11．如圖，正三棱柱的棱長均為2，點(diǎn)M是側(cè)棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)與平面垂直的平面與側(cè)面的交線為l，則直線l與直線所成角的余弦值為__________．12．已知四棱錐的條棱長都相等，任取其中條棱的中點(diǎn)做平面，截該四棱錐所得的平面圖形可能是______（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五邊形.13．在棱長為2的正四面體中，是的高線，則異面直線和夾角的正弦值為__________．14．已知水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C'（斜二測畫法）是邊長為的正三角形，則原△ABC的面積為____________．15．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)為底面的四條棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為______．16．如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，?分別是側(cè)棱?上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則___________.17．如圖，三個(gè)半徑都是的小球放在一個(gè)半球面的碗中，三個(gè)小球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，則這個(gè)碗的半徑是______.18．正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面投影是底面中心）的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切，則此球表面積是___________.三、解答題(共46分)19．(本題9分)棱錐是生活中最常見的空間圖形之一，譬如我們熟悉的埃及金字塔，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.我國數(shù)學(xué)家很早就開始研究棱錐問題，公元一世紀(jì)左右成書的《九章算術(shù)》第五章中的第十二題，計(jì)算了正方錐、直方錐（陽馬）、直三角錐（鱉臑）的體積，并給出了通用公式.公元三世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作的注中，運(yùn)用極限思想證明了棱錐的體積公式.請(qǐng)你使用學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，解決下列問題：如圖，正三棱錐中，三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，側(cè)棱長是3，底面內(nèi)一點(diǎn)P到側(cè)面的距離分別為x，y，z.（1）求證：；（2）若，試確定點(diǎn)P在底面內(nèi)的位置.20．(本題9分)正四棱臺(tái)的下底邊長，它的內(nèi)切球半徑為3．（1）求正四棱臺(tái)的表面積；（2）求與底面所成角的正弦值．21．(本題9分)在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型．點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，滿足，要求同學(xué)們按照以下方案進(jìn)行切割：（1）試在棱上確定一點(diǎn)，使得平面；（2）過點(diǎn)的平面交于點(diǎn)，沿平面平將四棱錐模型切割成兩部分，在實(shí)施過程中為了方便切割，需先在模型中確定點(diǎn)的位置，請(qǐng)求出的值．22．(本題9分)如圖，在直三棱柱中，．（1）求證：；（2）若與的所成角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．23．(本題10分)如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C是邊長為2的正方形，ACC1A1是菱形，，且平面BB1C1C垂直平面ACC1A1，M為A1C1中點(diǎn)．（1）求證：平面MBC⊥平面A1B1C1；（2）求點(diǎn)C1到平面MB1C的距離．（提優(yōu)卷）期中滿分沖刺模擬卷一（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題(共30分)1．下列說法正確的有（）①有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】利用棱錐的定義和性質(zhì)，結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】解析①不正確．棱錐的定義是：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．②如圖1，不正確，側(cè)棱延長線可能不交于一點(diǎn).③錯(cuò)誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面BCD為等邊三角形．三個(gè)側(cè)面ABD，ABC，ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定等于AD，即三條側(cè)棱不一定全部相等．④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個(gè)全等的小正三角形，三角形所有邊長相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.故選：A.2．碌碡是我國古代人民發(fā)明的一種把米、麥、豆等糧食加工成粉末的器具，如圖，近似圓柱形碌碡的軸固定在經(jīng)過圓盤圓心且垂直于圓盤的木樁上，當(dāng)人或動(dòng)物推動(dòng)木柄時(shí)，碌碡在圓盤上滾動(dòng).若人或動(dòng)物推動(dòng)木柄繞圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周，碌碡恰好滾動(dòng)了3圈，則該圓柱形碌碡的底面圓的半徑與其高之比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【答案】B【分析】由題意結(jié)合圓的周長公式，得到它們的半徑之比，從而求得答案.【詳解】設(shè)碌碡的底面圓的半徑為r，其高為h，由已知可得圓盤的半徑h，由已知可得，∴即碌碡的底面圓的半徑與其高之比為，故選：B.3．在四面體中，，與直線，均垂直，且，一只螞蟻從的中心沿表面爬至點(diǎn)，則其爬過的路程最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用垂直條件證明得平面，即可得平面平面，然后根據(jù)平面展開圖判斷最短距離，再利用勾股定理計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以平面，所以平面平面，將底面旋轉(zhuǎn)，以為軸，旋轉(zhuǎn)至平面與平面共面，如圖，此時(shí)的直線距離即為最短距離，設(shè)到直線的距離為，則，所以.故選：A4．如圖，棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為【答案】D【分析】利用直線與平面垂直判定定理，三棱錐體積公式，以及余弦定理與極限位置分別判斷選項(xiàng)真假即可?！驹斀狻坑善矫?，可得，則由，可得平面又平面，則，所以A項(xiàng)命題正確；由于M，N分別為中點(diǎn)，可得∥因?yàn)辄c(diǎn)P在上，所以點(diǎn)P到平面的距離為定值，則三棱錐的體積由于和h都為定值所以三棱錐的體積為定值，所以B項(xiàng)命題正確；設(shè)，由對(duì)稱性可得，則當(dāng)P與C重合時(shí)，，此時(shí)，達(dá)到最小為，當(dāng)交于P時(shí)，由等面積法可得，此時(shí)，達(dá)到最大為，所以C項(xiàng)命題正確；將平面與平面沿展成平面圖，當(dāng)交于P時(shí)，可得，此時(shí)為最小值，所以D項(xiàng)命題錯(cuò)誤；故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查命題真假判斷，空間幾何體中直線與平面垂直，幾何體的體積，以及余弦定理求夾角，以及夾角最值問題，考查空間想象能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，屬于中檔題。5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（）A．不存在 B．2條C．4條 D．無數(shù)條【答案】C【分析】連接，由此求出直線BA1和B1D1所成角，把問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，讓繞著點(diǎn)B從的平分線AO開始在過直線AO并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)觀察是否存在，再在的鄰補(bǔ)角中同理去觀察即可得解.【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，連接，如圖，則有，顯然，即直線BA1和B1D1所成角，過點(diǎn)C做直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)B做直線與直線BA1和BD所成的角均為，的平分線AO與直線BA1和BD都成的角，讓繞著點(diǎn)B從AO開始在過直線AO并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，由于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，又的鄰補(bǔ)角大小為，其角平分線與直線BA1和BD都成的角，當(dāng)直線繞著點(diǎn)B從的鄰補(bǔ)角的平分線開始在過該平分線并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，由于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，綜上得，這樣的直線有4條，所以過點(diǎn)C與直線BA1和B1D1所成的角均為的直線l有4條.故選：C6．四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，底面為矩形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，頂點(diǎn)在底面的射影為，則下列結(jié)論正確的是（）A．棱上存在點(diǎn)使得面B．當(dāng)落在上時(shí)，的取值范圍是C．當(dāng)落在上時(shí)，四棱錐的體積最大值是2D．存在的值使得點(diǎn)到面的距離為【答案】A【分析】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，取SC中點(diǎn)P，連結(jié)PE、PD.利用面PDE∥面BFS，可以證明面；對(duì)于B：利用時(shí)，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，判斷B錯(cuò)誤；對(duì)于C：求出體積的最大值為1.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:先判斷當(dāng)?shù)淖畲髸r(shí)，點(diǎn)B到面的距離d最大；然后求出，判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，取SC中點(diǎn)P，連結(jié)PE、PD.∵PE為△BCS的中位線，∴PE∥BS又面BFS，面BFS，∴PE∥面BFS；在矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，∴DE∥BF,又面BFS，面BFS，∴DE面BFS；又,∴面PDE∥面BFS，∴面.故A正確；對(duì)于B：∵為等邊三角形，，∴當(dāng)時(shí)，S與H重合，圖形不能構(gòu)成四棱錐，與已知條件相悖，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在Rt△SHE中，，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為1.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:由選項(xiàng)C的推導(dǎo)可知：當(dāng)?shù)淖畲髸r(shí)，點(diǎn)B到面的距離d最大.此時(shí)∴∴.故D錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】(1)證明線面平行，用線面平行的判定定理，在面內(nèi)找一條直線與已知直線平行；(2)等體積法是求三棱錐高的常用方法．7．已知長方體中，，點(diǎn)在線段上，，平面過線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)，若平面截長方體所得截面為平行四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為M，平面與交于點(diǎn)G，連接GE，由已知得四邊形是平行四邊形，所以，隨著點(diǎn)E從C向移動(dòng)，則點(diǎn)G沿著向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G仍在線段上時(shí)，面截長方體所得截面始終是平行四邊形，臨界狀態(tài)為點(diǎn)E為的中點(diǎn)，由此可得選項(xiàng).【詳解】解：設(shè)，則，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，平面與交于點(diǎn)G，連接GE，若平面截長方體所得截面為平行四邊形，即四邊形是平行四邊形，所以，隨著點(diǎn)E從C向移動(dòng)，則點(diǎn)G沿著向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G仍在線段上時(shí)，面截長方體所得截面始終是平行四邊形，則點(diǎn)G從的中點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)E與重合，直到點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D為止，此時(shí)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以臨界狀態(tài)為點(diǎn)E為的中點(diǎn)，此時(shí)，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，常需動(dòng)中覓靜，這里的"靜"是指問題中的不變量或者是不變關(guān)系，動(dòng)中覓靜就是在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性."靜"只是"動(dòng)"的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，然而抓住"靜"的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，問題便迎刃而解.8．粽子，古時(shí)北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米?泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長為，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．【答案】C【分析】易知，當(dāng)球體與正四面體內(nèi)切時(shí)，球體（蛋黃）的體積最大，用等體積法即可求得.【詳解】如圖，正四面體ABCD，其內(nèi)切球O與底面ABC切于O1，設(shè)正四面體棱長為a，內(nèi)切球半徑為r，連接BO1交AC于F，易知O1為的中心，點(diǎn)F為邊AC的中點(diǎn).易得：，則，，∴，∴，∵，∴，∴球O的體積.故選：C.9．如圖，在三棱錐的平面展開圖中，四邊形是菱形，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將三棱錐的直觀圖還原，確定出球心，進(jìn)而算出球的半徑得到答案.【詳解】將三棱錐的直觀圖還原，如圖所示，則，∴，∴．取的中點(diǎn)O，連接，則，∴O為三棱錐外接球的球心，半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：C.10．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長時(shí)，則四棱錐P-ABCD的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】推導(dǎo)出點(diǎn)在與垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，達(dá)到最長，推導(dǎo)出平面，將四棱錐補(bǔ)形為長方體，其體對(duì)角線為，底面邊長為的正方形，由此能求出四棱錐體積．【詳解】如圖，由及，得平面，即點(diǎn)在與垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，由題意知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，達(dá)到最長，此時(shí)，是圓的直徑，則，又，所以平面，此時(shí)可將四棱錐補(bǔ)形為長方體，其體對(duì)角線為，底面邊長為2的正方形，由題意得高，故四棱錐體積．故選：C二、填空題(共24分)11．如圖，正三棱柱的棱長均為2，點(diǎn)M是側(cè)棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)與平面垂直的平面與側(cè)面的交線為l，則直線l與直線所成角的余弦值為__________．【答案】【分析】取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理證明平面平面，由此確定直線l，再確定直線l與直線所成角，解三角形求其大小.【詳解】依題意，分別取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，，，，．因?yàn)檎庵睦忾L均為2，所以四邊形為正方形，由點(diǎn)M是側(cè)棱的中點(diǎn)，得．因?yàn)槠矫?，所以，，所以平面，所以平面平面，所以過點(diǎn)與平面垂直的平面與側(cè)面的交線l即為．又因?yàn)椋傻弥本€l與直線所成角即與所成的角，在中，，，，，所以直線l與直線所成角的余弦值為．12．已知四棱錐的條棱長都相等，任取其中條棱的中點(diǎn)做平面，截該四棱錐所得的平面圖形可能是______（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五邊形.【答案】①②③【分析】推導(dǎo)出四邊形為正方形，取點(diǎn)、、為、、的中點(diǎn)，可判斷①；分別取、、的中點(diǎn)、、，可判斷②；分別取、、的中點(diǎn)作平面，交于點(diǎn)，可判斷③；說明④不可能.由此可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示，連接、交于點(diǎn)，則為、的中點(diǎn)，，則，同理可得，故，所以，，因?yàn)槠矫嫠倪呅蔚乃臈l邊相等，故四邊形為正方形.已知四棱錐的條棱長都相等，任取其中條棱的中點(diǎn)做平面，截該四棱錐所得的平面圖形可能是：如圖所示：點(diǎn)、、為、、的中點(diǎn)，所以，故①正確；對(duì)于②：如圖所示：分別取、、的中點(diǎn)、、，所以：構(gòu)成的平面交的中點(diǎn)，則，且，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t且，又因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，故四邊形為平行四邊形，則且，所以，且，故四邊形為等腰梯形，故②正確；對(duì)于③，如上圖，分別取、、的中點(diǎn)作平面，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由已知條件可知，且，，因?yàn)椋瑒t，故四邊形為正方形，故③正確；對(duì)于各個(gè)棱的中點(diǎn)，構(gòu)成的多邊形也不可能得到正五邊形，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.13．在棱長為2的正四面體中，是的高線，則異面直線和夾角的正弦值為__________．【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，再在等腰中求解即可【詳解】取中點(diǎn)，連接，則異面直線和夾角即為，又棱長為2的正四面體，故，，故，故故答案為：【點(diǎn)睛】異面直線夾角可將兩條直線利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中，結(jié)合三角形的性質(zhì)求解角度正余弦等14．已知水平放置的△ABC的直觀圖△A'B'C'（斜二測畫法）是邊長為的正三角形，則原△ABC的面積為____________．【答案】【分析】作于D點(diǎn)，由△A'B'C'是正三角形求，進(jìn)而求，根據(jù)斜二測法的作圖原則，可求△ABC底邊上的高，最后求△ABC的面積.【詳解】如下圖，作于D點(diǎn)，∵△A'B'C'是邊長為的正三角形，∴，而△為等腰直角三角形，∴，故△ABC底邊上的高為，∴.故答案為：15．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)為底面的四條棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為______．【答案】【分析】由于對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在棱上，設(shè)，則，由勾股定理可得：，利用幾何意義，為軸上一動(dòng)點(diǎn)（）到兩定點(diǎn)與的距離之和，即可得解.【詳解】由于點(diǎn)在底面各棱上相對(duì)點(diǎn)B、D位置相同，不妨設(shè)點(diǎn)在棱上，設(shè)，則，由勾股定理可得：，其幾何意義為軸上一動(dòng)點(diǎn)（）到兩定點(diǎn)與的距離之和．易知其最小值即為到的距離，即．在平面幾何中，的最大值在或處取得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，．故的取值范圍為．故答案為：.16．如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，?分別是側(cè)棱?上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則___________.【答案】1【分析】先連接AC交BD于O，進(jìn)而通過線面平行的性質(zhì)定理得出∥，然后在上截取PQ，使得PQ=PA=1，進(jìn)而證明∥，得出∥，進(jìn)一步得到四邊形是平行四邊形，得出，結(jié)合條件的長度關(guān)系最后得到答案.【詳解】由題意可知，長方體的高為4，底面ABCD是邊長為1的正方形，連接AC交BD于O，連接PO，因?yàn)镋F∥平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以∥.在上截取PQ，使得PQ=PA=1，連接QC，易知O為AC的中點(diǎn)，所以∥，所以∥，又∥，所以四邊形是平行四邊形，所以.又，所以，所以CF=1.故答案為：1.17．如圖，三個(gè)半徑都是的小球放在一個(gè)半球面的碗中，三個(gè)小球的頂端恰好與碗的上沿處于同一水平面，則這個(gè)碗的半徑是______.【答案】【分析】根據(jù)三個(gè)小球和碗的相切關(guān)系，作出對(duì)應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到碗的半徑【詳解】分別作出空間幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示，在俯視圖中，球心（也是圓心）是三個(gè)小球與半圓面的三個(gè)切點(diǎn)的中心，因?yàn)樾∏虻陌霃綖?cm，所以三個(gè)小球球心之間的長度為10cm，即cm，在正視圖中，球心，球心（也是圓心）和球與碗半圓面的切點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則，其中，所以，即，所以，則，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查了球的相切問題的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件作出正視圖和俯視圖，確定球半徑之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力和空間想象能力，屬于較難題18．正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面投影是底面中心）的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切，則此球表面積是___________.【答案】【分析】用等體積法先求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而算出球的表面積.【詳解】如示意圖，正三棱錐P-ABC，點(diǎn)O為內(nèi)切球球心，底面ABC，D為BC的中點(diǎn)，球O與底面ABC，側(cè)面PBC分別切于，于是.因?yàn)檎切蜛BC邊長為，所以易知為正三角形ABC的重心，所以所以,所以.所以，所以球O的表面積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】棱錐內(nèi)切球的問題是一個(gè)比較常見的問題，用等體積法求解比較常規(guī)，運(yùn)算量較大，平常注意總結(jié)多面體的內(nèi)切球和外接球題型的做法.三、解答題(共46分)19．(本題9分)棱錐是生活中最常見的空間圖形之一，譬如我們熟悉的埃及金字塔，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.我國數(shù)學(xué)家很早就開始研究棱錐問題，公元一世紀(jì)左右成書的《九章算術(shù)》第五章中的第十二題，計(jì)算了正方錐、直方錐（陽馬）、直三角錐（鱉臑）的體積，并給出了通用公式.公元三世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作的注中，運(yùn)用極限思想證明了棱錐的體積公式.請(qǐng)你使用學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，解決下列問題：如圖，正三棱錐中，三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，側(cè)棱長是3，底面內(nèi)一點(diǎn)P到側(cè)面的距離分別為x，y，z.（1）求證：；（2）若，試確定點(diǎn)P在底面內(nèi)的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)P為正三角形的中心.【分析】（1）P為底面ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PS，如圖，可將原三棱錐分成三個(gè)三棱錐，它們的高分別為，三棱錐的體積公式可得證；（2）由，可整理得.再利用基本不等式可得結(jié)論.【詳解】（1）在正三棱錐中，SA，SB，SC兩兩垂直且AB=BC=CA，P為底面ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PS，如圖，可將原三棱錐分成三個(gè)三棱錐，它們的高分別為，由，即，得（2）由，得.又，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為正三角形的中心.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間中點(diǎn)到面距離的關(guān)系，關(guān)鍵在于利用三棱錐的體積，將點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高得以解決.20．(本題9分)正四棱臺(tái)的下底邊長，它的內(nèi)切球半徑為3．（1）求正四棱臺(tái)的表面積；（2）求與底面所成角的正弦值．【答案】（1）52；（2）.【分析】（1）利用正四棱臺(tái)和球的對(duì)稱性，做軸截面，觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)得出MP長度，可得上底面正方形邊長，利用等體積法求出表面積；（2）先找出線面角為，利用正四棱臺(tái)的特點(diǎn)，求出,，即可求出角的正弦值.【詳解】（1）如圖，做該正棱臺(tái)的軸截面，中，，所以，根據(jù)對(duì)稱性，，故所以，正四棱臺(tái)上底面是一個(gè)邊長為的正方形，即（2）正四棱臺(tái)中，上下底面均為正方形，且側(cè)棱長相等，在底面的射影為，所以,與底面所成角為,,,,.【點(diǎn)睛】充分利用正四棱臺(tái)及其內(nèi)切球的對(duì)稱性，利用軸截面來找出突破口，以及等體積法的應(yīng)用，找準(zhǔn)線面角，再進(jìn)行求解.21．(本題9分)在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型．點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，滿足，要求同學(xué)們按照以下方案進(jìn)行切割：（1）試在棱上確定一點(diǎn)，使得平面；（2）過點(diǎn)的平面交于點(diǎn)，沿平面平將四棱錐模型切割成兩部分，在實(shí)施過程中為了方便切割，需先在模型中確定點(diǎn)的位置，請(qǐng)求出的值．【答案】(1)答案見解析；（2）【分析】（1）利用平行線的判定和線面平行的判定定理，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)；（2）由平行線的性質(zhì)和平面的基本性質(zhì)，可畫出截面，進(jìn)而可求得比值【詳解】（1）由已知得，點(diǎn)