4.3.2平面直角坐標(biāo)系-幾何綜合問題一、解答題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，求的三個頂點坐標(biāo)．2．如圖，在直角坐標(biāo)系中，AD是Rt△OAB的角平分線，已知點D的坐標(biāo)是（0，-4），AB的長是12，求△ABD的面積．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點為第三象限內(nèi)一點．(1)若到兩坐標(biāo)軸的距離相等，，且，則點坐標(biāo)為______．(2)若為，請用含的式子表示的面積．(3)在(2)條件下，當(dāng)時，在軸上有點，使得的面積是的面積的2倍，請直接寫出點的坐標(biāo)．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知且a、b滿足．(1)求a，b的值；(2)求證：；(3)若，求的度數(shù)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，的邊在軸上，點的坐標(biāo)為，點在軸正半軸上，且，點在軸的正半牰上，且，點是軸上的一個動點．(1)點坐標(biāo)為______，點坐標(biāo)為______．(2)若的面積為6，求點的坐標(biāo)．(3)若是等腰三角形時，點坐標(biāo)為______．(4)若點到直線和軸的距離相等，則點坐標(biāo)為______．6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、，為軸正半軸上一點，在第四象限．若，平分，．(1)直接寫出點坐標(biāo)（___________，___________）；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以線段為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，．點是軸上的一個動點，設(shè)．(1)求的面積；(2)若是以為腰的等腰三角形，求點的坐標(biāo)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點．(1)圖1，的平分線與的外角的角平分線所在直線交于點F，求的度數(shù)；(2)圖2，以為斜邊向左側(cè)作等腰直角三角形，即．①求點C的坐標(biāo)；②若交y軸于點D，求證：．9．已知中，，，A點在x負(fù)半軸上，直角頂點B在y軸上，點C在x軸上方．(1)如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（，0），點B的坐標(biāo)是（0，1），求點C的坐標(biāo)；(2)如圖2，過點C作軸于D，求證：；(3)如圖3，若x軸恰好平分，與x軸交于點E，過點C作軸于F，求證：．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為和，現(xiàn)將線段平移得到線段，且點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為，連接．(1)直接寫出點D的坐標(biāo)為，的面積為；(2)平移線段得線段，點A的對應(yīng)點E的坐標(biāo)為，如果是方程的解，且點F在第一象限內(nèi)，并且橫縱坐標(biāo)相等，求的值；(3)點P是x軸上位于點A右側(cè)的動點，連接，將線段向右平移得線段，其中點P的對應(yīng)點為Q，點C的對應(yīng)點為D，H是的中點，如果和面積相等，求t的值．11．解決下列與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的知識：(1)已知點P（，），解答下列問題①若點Q的坐標(biāo)為（4，5），直線軸，直接寫出點P的坐標(biāo)_____；②若點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，求的值．(2)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC各頂點的坐標(biāo)分別是O（0，0）、A（，10）、B（，8）、C（，0），求四邊形OABC的面積．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點．A、B兩點的坐標(biāo)分別為、，且，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．(1)求、OB的長；(2)連接，若的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；(3)過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線與y軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，的頂點B在x軸的正半軸上，點A在y軸正半軸上，△AOB的面積為4，且.(1)求點B的坐標(biāo)；(2)過點A作的垂線，點C在直線的下方垂直y軸于點D，當(dāng)時，求點C的坐標(biāo)：(3)在（2）的條件下，連接，點E為的中點，求點E的坐標(biāo).14.如圖，，點B在y軸上，將三角形沿軸負(fù)方向平移，平移后的圖形為三角形，點的坐標(biāo)為．(1)點B的坐標(biāo)為_______，點的坐標(biāo)為______；(2)點P從點出發(fā)，沿移動，若點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為秒．①用含的式子表示點P的坐標(biāo)；②當(dāng)為多少時，點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；③當(dāng)三角形的面積為2時，直接寫出此時的值．15．如圖，將一個含45°角的三角尺的直角頂點放在點M（8，8）處，三角尺的兩邊分別交x軸、y軸的正半軸于A，B兩點．(1)求OA+OB的值；(2)把三角尺繞點M旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中保持AP平分∠OAB，AP交OM于P，PN⊥x軸于N．下列兩個結(jié)論：①的值不變；②PN+AB的值不變，其中只有一個正確，請選擇正確的結(jié)論，直接寫出其值．16．如圖，已知A（3，0），B（0，﹣1），連接AB，過B點作AB的垂線段BC，使BA＝BC，連接AC．(1)如圖1，求C點坐標(biāo)；(2)如圖2，若P點從A點出發(fā)沿x軸向左平移，連接BP，作等腰直角△BPQ，連接CQ，當(dāng)點P在線段OA上，PA與CQ有何位置和數(shù)量關(guān)系，猜想并證明；(3)在（2）的條件下若C、P，Q三點共線，求此時∠APB的度數(shù)及P點坐標(biāo)．17．如圖，將放在平面直角坐標(biāo)系中，點、分別在軸、軸上，，是的角平分線，交軸于點，，垂足為(1)求的長度．(2)點是線段上的任意一點（點不與、、重合），以為邊，在的下方畫出，交的延長線于點，在備用圖中畫出圖形，并求的長、（用含的式子表示）．18．如圖，在下面直角坐標(biāo)系中，已知，，三點，其中、、滿足關(guān)系式：．(1)求、、的值；(2)如果在第二象限內(nèi)有一點，請用含的式子表示四邊形的面積；(3)在的條件下，是否存在負(fù)整數(shù)，使四邊形的面積不小于面積的兩倍？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，且，，滿足關(guān)系式，點在第一象限．(1)求，，的值；(2)如圖1，當(dāng)時，的面積等于10，求的值；(3)如圖2，連接，當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積時，求滿足上述條件的整點（，都是整數(shù)）的坐標(biāo)．20．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，ABAC，AF是過點A的一條直線，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；DE與BD、CE的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比延伸：如圖②，，BA=BC，點A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，求點C的坐標(biāo)．（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點P（不與點C重合），使與△ABC全等．直接寫出點P的坐標(biāo)．21．如圖，在平面有角坐標(biāo)系中，已知、分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．(1)如圖1．若a、b滿足，以B為直角頂點，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則點C的坐標(biāo)是；(2)如圖2，若，點D是的延長線上一點，以D為直角頂點，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；(3)如圖3，設(shè)的平分線過點，請問的值是否為定值，請說明理由．22．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為，．且a，b滿足，現(xiàn)同時將點A，B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，分別得到點A、B的對應(yīng)點C、D，連接AC，BD，CA的延長線交y軸于點K．(1)點P是線段CK上的一個動點，點Q是線段CD的中點，連接PQ，PO，當(dāng)點P在線段CK上移動時（不與A，C重合），請找出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)連接AD，在坐標(biāo)軸上是否存在點M，使的面積與的面積相等？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．23．等腰直角三角形△ABC和等邊三角形△ACD位置在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，A點在y軸，B點在x軸上且AB=BC，∠ABC=90°．(1)若點A的坐標(biāo)為（0，5），B的為（2，0），C點坐標(biāo)為_________．(2)過D作DE垂直y軸于E，連接OD、OC若∠EDO=60°，求證：△OCD是等腰三角形；(3)在（2）的條件下，判定線段和的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．24．如圖1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，線段ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于E．(1)求證：△BEC≌△CDA.(2)如圖2，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（0，8），點C的坐標(biāo)為（-6，0），點B是第二象限中的一點，若△ABC是以AC為直角邊的等腰直角三角形，求點B的坐標(biāo)；(3)如圖3，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，在等腰直角△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=8，點M在線段OB上從O向B運動（運動到點B停止），以點M為直角頂點向右上方做等腰直角△AMM，求點N移動的距離．答案一、解答題1．解：∵∴∴∵∴，∴∴．2．解：作DE⊥AB于E，如圖，∵點D的坐標(biāo)是（0，-4），∴OD=4，∵AD是Rt△OAB的角平分線，∴DE=OD=4，∴．∴△ABD的面積為24．解：（1）解：∵到坐標(biāo)軸的距離相等，∴，或8，∵M(jìn)為第三象限內(nèi)一點，∴，∴，∵，且，∵，且，∴或．故答案為：或；（2）∵M(jìn)為，且M在第三象限，∴，∴的面積；（3）當(dāng)時，的面積為，∵的面積是的面積的2倍，∴，∴，，∴或．4．（1）解：∵，∴，解得：，故答案為：；（2）證明：由（1）得：，∴；（3）解：如圖，過點O作交于F，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，在△OBE和△OAF中，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴．5．解：（1）解：∵，∴，∵，∴，∵點A在y軸正半軸上，∴．在中，∵，∴，∴點C的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，∵，∴∴或，∴P的坐標(biāo)為或；（3）當(dāng)，是等腰三角形，∵，∴，∴，當(dāng)時，是等腰三角形，∴或，∴或，當(dāng)時，是等腰三角形，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，∴，在中，有，∴，解得：，∴，∴點P的坐標(biāo)為或或或；故答案為：或或或；（4）設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點P到y(tǒng)軸的距離為，；設(shè)點P到直線AC的距離為h，∵，∴，∵點P到直線AC和y軸的距離相等，∴，解得：或，∴點P的坐標(biāo)為：或，故答案為：或．6．（1）解：∵，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：0，7；（2）解：如圖所示，在上取一點E使得，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點D作軸于F，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）得，∴，∴，∵，∴，∴，∴．7．（1）解：∵，，∴，，∴∵是等腰直角三角形，∴，∴．（2）解：∵是以為腰，當(dāng)時，如圖：，，∴點的坐標(biāo)為：，，②當(dāng)時，以軸為對稱軸，此時，如圖：∴點的坐標(biāo)為：，綜上：點的坐標(biāo)為：，，．8．（1）解：∵的平分線與的外角的角平分線所在直線交于點F，∴，∵∴，∵，∴；（2）解：①過點C作軸于E，過點A作交延長線于F，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴點C的坐標(biāo)為；②如圖所示，過點C作于H，由①可知，又∵，∴，∴．9．解：（1）解：作軸于H，如圖1，∵點A的坐標(biāo)是（，0），點B的坐標(biāo)是（0，1），∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴C（，4）；（2）證明：如圖2，∵，，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴；證明：如圖3，和的延長線相交于點D，∴，∵軸，∴，又，∴，在和中∴，∴，∵x軸平分，軸，∴，∴．10．（1）解：∵，，∴線段向右平移1個單位再向上平移2個單位得到，∴點向右平移1個單位再向上平移2個單位得到點D，∴點D的坐標(biāo)為；．故答案為：；4．（2）解：∵，∴由平移與坐標(biāo)的關(guān)系可知，點，∵點F在第一象限內(nèi)，橫縱坐標(biāo)相等，∴，即，又∵是方程的解，∴，解方程組：得：．（3）解：分兩種情況：①當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，過點B作，垂足為點M，如圖所示：則，，又∵H是的中點，，∴，∴，即，又∵，，，∴，解得：；②當(dāng)點P在線段上時，過點B作BN⊥DQ，垂足為點N，如圖所示：同上有：，即，又∵，，，∴，解得：；綜上所述，．11．（1）解：①點Q的坐標(biāo)為（4，5），直線軸，，，，點P的坐標(biāo)為（4，8）．故答案為：（4，8）．②點P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，，，，．（2）解：如圖，過點A作軸于點E，作軸于點D，．12．（1）解：∵，∴，，解得：，，∴，；（2）解：分為兩種情況：①當(dāng)P在線段上時，如圖所示：，，∴的面積，∵若的面積不大于3且不等于0，∴，解得：；②當(dāng)P在線段的延長線上時，如圖所示：∵，，∴的面積，∵若的面積不大于3且不等于0，∴，解得：；即t的范圍是且；（3）解：∵，∴，分兩種情況：①當(dāng)P在線段上時，如圖所示：∵，∴；②當(dāng)P在線段的延長線上時，如圖所示：∵，∴；即存在這樣的點P，使，t的值是3或9．13．（1）解：∵，∴，∴或（舍去），∴，∴B（4，0）；（2）∵，∴，∵，，∴．∵，，∴（AAS），∴，CD=OA=2，∴，∴C（-2，）；（3）連接并延長交于點F，∵，∴，∴，，∵E為的中點，∴，∴（ASA），∴，，∵，∴，∴，連接OE，∴（SSS），∴，，∴，過點E作于H，∴，，∴，∴，過點E作于K，∵，，，∴，∴E（1，）．14．（1）解：∵C（，2），A（1，0），∴BC=3，OA=1，OB=2，∴B（0，2），∵BC=AE=3，∴OE=AEAO=2，∴E（，0），故答案為：（0，2），（，0）；（2）解：①點P在OB上時，點P的坐標(biāo)為（0，t）；點P在BC上時，點P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為2，即點P的坐標(biāo)（，2）；當(dāng)點P在CD上時，點P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點P的坐標(biāo)（，）；②∵點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，t＞0；∴點P在線段BC上或在線段CD上，∴或，即t=4；∴當(dāng)t=4秒時，點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；③當(dāng)點P在OB上時，點P的坐標(biāo)為（0，t），∵，∴t=，當(dāng)點P在線段BC上時，點P的坐標(biāo)（，2），此時，，∴點P不在BC上，當(dāng)點P在線段CD上時，點P的坐標(biāo)（，）．∵，∴t=，綜上所述：t=或．15．（1）解：作ME⊥x軸于E，MF⊥y軸于F，∵M(jìn)（8，8），∴ME=MF=OE=OF=8，∵∠AMF+∠AME=∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME=∠BMF，在△AME和△BMF中，，∴△AME△BMF（ASA），∴AE=BF，∴OA+OB=OA+OF+BF=OA+OF+AE=OE+OF=16；（2）解：的值不會發(fā)生變化，理由如下：過P作PQ⊥ME于Q，延長PQ到R，使QR=PQ，連接MR，∵△AEM△BFM，∴MB=MA，∵∠AMB=90°，∴∠MBA=∠MAB=45°，∵M(jìn)（8，8），∴ME=MF=OE=OF=8，∴△OEM和△OFM都是等腰直角三角形，∴∠MOA=∠MOB=45°，∴ON=PN，∵AP平分∠BAO，∠BOA=90°，∴∠BAP=∠PAO，∴∠MOA+∠PAO=∠MAB+∠BAP，即∠MAP=∠MPA，∴MP=MA，∵∠MOE=45°，ME=OE=8，∴∠OME=45°，∵PR⊥ME，PQ=QR，∴MP=MR，∴MB=MP=MA=MR，∴∠RMQ=∠PMQ=45°，∴∠PMR=90°=∠BMA，在△BMA和△PMR中，，∴△BMA△PMR（SAS），∴AB=PR，∴PN+AB=ON+AB=ON+PR=ON+PQ=OE=8，即的值不會發(fā)生變化．16．（1）解：作CH⊥y軸于H，則∠BCH+∠CBH=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH=90°，∴∠ABO=∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH，∴BH=OA=3，CH=OB=1，∴OH=OB+BH=4，∴C點坐標(biāo)為（1，-4）；（2）解：相等和垂直，∵∠PBQ=∠ABC=90°，∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC，∴PA=CQ，∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，∴∠OAB=∠BCH=∠QCB，∴CQOH，∵CH⊥OA，∴PA⊥CQ；（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP=45°，當(dāng)C、P，Q三點共線時，∠BQC=135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA=∠BQC=135°，∴∠OPB=45°，∴OP=OB=1，∴P點坐標(biāo)為（1，0）．17．（1）解：點C（0，-2），，，在中，，是的平分線，，，．（2）P（0，n），，如圖中，當(dāng)點在線段上時，在上取一點，使得．，，，，，是等邊三角形，，，，即，，，≌，，，，．當(dāng)點在線段上時，在的延長線上取一點，使得．，，，，是等邊三角形，，，即，，，≌，，，，，綜上所述，．18．（1）解：，，，，，，；（2）點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，四邊形的面積；（3）存在．理由如下：，，，為負(fù)整數(shù)，或或，點的坐標(biāo)為或或19．（1）解：∵，∴，解得：；解：如圖，過點P作PD⊥y軸于點D，，∵，，∴PD=m，OD=AE=5，由（1）得：，，∴OA=4，OB=3，∴BD=2，∵的面積等于10，∴，解得：；（3）解：∵，，，∴AC=6，OB=3，∴，∵的面積等于的面積，∴，∵點在第一象限．∴AE=OD=n，DE=OA=4，當(dāng)，時，如圖，過點P作PD⊥y軸于點D，過點A作AE⊥PD交DP延長線于點E，則軸，，∴，∴，∴，∵，都是整數(shù)，∴m=2，n=6，此時P（2，6）；如圖，過點B作BG⊥AE于點G，則AG=OB=3，BG=OA=4，∴△ABG的面積為，∴，不成立；當(dāng)，時，如圖，過點P作PF⊥x軸于點F，∴，∴，∵，都是整數(shù)，∴m=6，n=3，此時點P（6，3）；當(dāng)，時，如圖，過點P作PH⊥y軸于點H，∴，∴，∵，都是整數(shù)，此時無解；綜上所述，點P的坐標(biāo)為（2，6）或（6，3）．20．解：（1）∵BD⊥AE，，CE⊥AE∴，，∴．在和中，，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=BD+CE．故答案為：CE，DE=BD+CE；（2）作軸于點E，∵軸，OA⊥OB，，∴，，，∴∠ABO=∠BCE．又∵，∴（AAS），∴，∵點A，B的坐標(biāo)分別是(-2，0)，(0，3)，∴，∴，∴(-3，5)；（3）分類討論：①當(dāng)∠PAB=90°時，，∴，．∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，∴，，設(shè)P(x，y)，∴，，∴，解得：，，∴(?5，2)，(1，?2)，如圖；②當(dāng)∠ABP=90°時，，∴AP=AC，BP=AB，∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，∴，，設(shè)P(x，y)，∴，，∴，解得：，，∵點P與點C不重合，∴(?3，5)舍去，∴(3，1)，如圖．綜上，存在這樣的P點，坐標(biāo)分別為(5，2)，(3，1)，(1，2)．21．解：（1）∵，，∴，∴，∴，∴，過點作軸于點，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點C的坐標(biāo)是，故答案為：；（2）證明：過點E作軸于點M，∵為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，即，∴，，∴，∴，又∵，設(shè)與相交于點N，∴在和中，，，∴；（3）解：，理由如下：作軸于H，軸于H，交的延長線于K，則，∵平分軸，，∴，∵，，，∴，∴，在和中，，∴∴，∴，∴，∴．22.（1）解：，證明如下：證明：∵∴，，解得，，∴，，∵將點A、B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，得到對應(yīng)點C、D，∴，，過點P作，由平移的性質(zhì)可得，∴，∴，，∴，即．（2）解：存在，M點坐標(biāo)為，，，