第1課時橢圓的概念及基本性質(zhì)研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法橢圓的定義及應(yīng)用例1(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲線C：x2＋y2＝16(y＞0)，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點(diǎn)M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0)B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1(y＞0)C.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1(y＞0)D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1(y＞0)(2)(2019·全國乙卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.(2)橢圓的定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，簡化解題過程．因此，解題過程中遇到涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時，應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解．變式1(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|·|MF2|的最大值為()A.13 B.12C.9 D.6橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，過點(diǎn)A(3，0)，且以坐標(biāo)軸為對稱軸，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________．(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在橢圓上，|BP|＝eq\f(16,5)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________________．求橢圓方程的兩個基本方法(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．橢圓的簡單幾何性質(zhì)視角1離心率例3-1(1)(2024·蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且原點(diǎn)O到直線l的距離等于E的短軸長，則E的離心率為()A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)(2)(2024·湛江二模)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P滿足|PF1|2＝19|PF2|2，則C的離心率的取值范圍是___________________．(1)求橢圓的離心率的方法：①求出a，c，直接求出e；②借助a，b，c之間的關(guān)系，構(gòu)造出a，c的齊次式，通過兩邊除以a2，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程，通過解方程得出離心率e的值．(2)求橢圓離心率的取值范圍：關(guān)鍵在于找到含有a與c的不等關(guān)系，得出不等式常見的途徑有：①橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等；②題目中給出的或能夠根據(jù)已知條件得出的不等關(guān)系式．變式3-1(2025·湖州、衢州、麗水期中)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，過左焦點(diǎn)F作直線l與圓M：x2＋y2＝eq\f(c2,4)相切于點(diǎn)E，與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為P，且|PE|＝3|EF|，則橢圓C的離心率為___________________．視角2橢圓中最值與范圍例3-2(1)若O和F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為()A.2 B.3C.6 D.8(2)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，則|MA|＋|MF2|的最小值為()A.4－eq\f(\r(10),2) B.2－eq\f(\r(10),2)C.4＋eq\f(\r(10),2) D.2＋eq\f(\r(10),2)變式3-2已知點(diǎn)A(1，1)，F(xiàn)1是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則|PF1|＋|PA|的取值范圍是()A.[3，5] B.[3，＋∞)C.[3，eq\r(5)] D.(eq\r(5)，＋∞)圓錐曲線的第二定義到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線．當(dāng)0＜e＜1時為橢圓，當(dāng)e＝1為拋物線，當(dāng)e＞1時為雙曲線．定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為對應(yīng)的準(zhǔn)線，常數(shù)e為圓錐曲線的離心率．例4已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，則C的離心率為___________________．變式4過橢圓的左焦點(diǎn)F作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF|∶|BF|＝2∶3，且直線與長軸的夾角為eq\f(π,4)，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(3),5) D.eq\f(2,5)隨堂內(nèi)化1.(2024·濰坊二模)(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為C上一點(diǎn)，則()A.C的焦距為2eq\r(5)B.C的離心率為eq\f(\r(5),3)C.△F1PF2的周長為3＋eq\r(5)D.△F1PF2面積的最大值為2eq\r(5)2.(2025·寧波期中)已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過上頂點(diǎn)A作直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.若|AB|＝|F1B|，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)3.(2023·全國甲卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，則|OP|＝()A.eq\f(13,5) B.eq\f(\r(30),2)C.eq\f(14,5) D.eq\f(\r(35),2)配套精練A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題1.(2024·紹興二模)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，長軸長為4，則該橢圓的短軸長為()A.eq\r(3) B.2eq\r(3)C.4eq\r(3) D.6eq\r(3)2.(2023·全國甲卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|PF1|·|PF2|＝()A.1 B.2C.4 D.53.(2024·廣州一模)設(shè)B，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且eq\o(BF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2P,\s\up6(→))，則C的離心率為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(65),13)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)4.(2024·南平三檢)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1二、多項(xiàng)選擇題5.(2025·溫州一模)已知點(diǎn)A(－a，0)，B(a，0)，l1：ax－y＝0，l2：ax＋y＝0，其中a＞1.P為平面內(nèi)一點(diǎn)，記點(diǎn)P到l1，l2的距離分別為d1，d2，則下列條件中能使點(diǎn)P的軌跡為橢圓的是()A.|PA|＋|PB|＝4aB.|PA|2＋|PB|2＝4a2C.d1＋d2＝4aD.deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝4a26.(2024·阜陽一測)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若A，B兩點(diǎn)都在C上，A，O，B三點(diǎn)共線，P(不與A，B重合)為上頂點(diǎn)，則()A.|AB|的最小值為4B.|AF1|＋|BF1|為定值C.存在點(diǎn)A，使得AF1⊥AF2D.kPA·kPB＝－eq\f(1,3)三、填空題7.(2024·武漢4月調(diào)研)設(shè)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓上點(diǎn)P滿足|PF1|∶|PF2|＝2∶3，則△PF1F2的面積為__________________．8.(2024·唐山一模)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交E于A，B兩點(diǎn)，C(0，－1)是線段BF1的中點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，則E的方程為__________________．9.(2024·青島一模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C上，AB的中點(diǎn)為F，OA⊥OB，則C的離心率為___________________.四、解答題10.(2024·開封二模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0.(1)求橢圓C的離心率；(2)若射線AF1與C交于點(diǎn)B，且|AB|＝eq\f(8,3)，求△ABF2的周長．11.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，直線x＝4是橢圓的一條準(zhǔn)線．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且|PF1|2－|PF2|2＝4，求cos∠F1PF2的值；(3)設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)Q，使得|PQ|＋2|QF2|的值最小．B組能力提升練12.(2024·佛山二模)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點(diǎn)A，B在C上，且滿足eq\o(F1A,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,