第1課時空間角的計算研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題固法異面直線所成角的計算例1(2025·蘇州期中)如圖(1)，在平面四邊形ABCD中，CB＝CD＝2eq\r(3)，tan∠CDB＝eq\r(2)，O為對角線BD的中點，F(xiàn)為BC的中點，E為線段AD上一點，且BE⊥AO，CO＝AB，AB⊥BD.圖(1)圖(2)(例1)(1)求AE的長；(2)在平面四邊形ABCD中，以BD為軸將△BCD向上折起，如圖(2)，當平面CBD⊥平面ABD時，求異面直線OF與BE所成角的余弦值．向量法求異面直線所成角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．變式1(2024·武漢5月訓練)已知菱形ABCD中∠DAB＝eq\f(π,3)，將△DAC沿對角線AC折起，使以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(3),4)線面所成角的計算例2(2024·廣州一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△DCP是等邊三角形，∠DCB＝∠PCB＝eq\f(π,4)，M，N分別為DP和AB的中點．(例2)(1)求證：MN∥平面PBC；(2)求證：平面PBC⊥平面ABCD；(3)求CM與平面PAD所成角的正弦值．變式2(2024·青島一模)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1與BB1的距離為eq\r(3)，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2eq\r(2).(變式2)(1)求證：平面A1ABB1⊥平面ABC；(2)若點N在棱A1C1上，求直線AN與平面A1B1C所成角的正弦值的最大值．二面角例3(2024·新高考Ⅱ卷)如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5eq\r(3)，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，點E，F(xiàn)滿足eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，將△AEF沿EF折起至△PEF，使得PC＝4eq\r(3).(例3)(1)求證：EF⊥PD；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．可通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．如果題干是夾角，則一定是銳角或直角．變式3(2024·全國甲卷)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝eq\r(10)，F(xiàn)B＝2eq\r(3)，M為AD的中點．(變式3)(1)求證：BM∥平面CDE；(2)求二面角F-BM-E的正弦值．．配套精練一、單項選擇題1.在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分別為AC，AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),6)2.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(30),10) D.eq\f(\r(2),2)3.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是B1C1和A1D1的中點，則直線AC與平面ABEF所成角的正弦值為()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(2\r(3),5) D.eq\f(\r(15),5)4.如圖，底面ABCD是邊長為2的正方形，半圓面APD⊥底面ABCD，點P為圓弧AD上的動點．當三棱錐P-BCD的體積最大時，二面角P-BC-D的余弦值為()(第4題)A.eq\f(\r(2),5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2\r(5),5)二、多項選擇題5.如圖，E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱CD上的兩點，且AB＝2，EF＝1，則下列說法中不正確的有()(第5題)A.異面直線B1D1與EF所成的角的大小為45°B.異面直線B1D1與EF所成的角的大小為30°C.直線B1D1與平面B1EF所成的角的大小為45°D.直線B1D1與平面B1EF所成的角的大小為60°6.如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝BC＝2，AB＝AD＝1，CF＝eq\f(8,7)，則()A.BD⊥ECB.BF∥平面ADEC.平面BDE與平面BDF的夾角的余弦值為eq\f(1,3)D.直線CE與平面BDE所成角的正弦值為eq\f(5,9)(第6題)三、填空題7.已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，SD⊥平面ABCD，線段AB，SC的中點分別為E，F(xiàn)，若異面直線EC與BF所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，則SD＝___________________．8.在正四棱錐S-ABCD中，已知O為頂點在底面內的射影，P為側棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角為__________________．9.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和側面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1與平面D1EB的夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3)，則線段D1E的長為___________________.(第9題)四、解答題10.(2025·無錫期末)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，側面ADD1A1⊥底面ABCD，AA1＝eq\r(2)，∠A1AD＝eq\f(π,4)，E是線段BC的中點．(第10題)(1)求證：D1B∥平面C1DE；(2)求二面角E-DC1-C的余弦值．11.(2024·晉城二模)如圖(1)，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝4eq\r(2)，D是線段AC的中點，E是線段AB上的一點，