第49講數(shù)據(jù)分析——一元線性回歸模型及其應(yīng)用鏈教材夯基固本激活思維1.(2024·上海卷)已知氣候溫度和海水表層溫度相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是(C)A.氣候溫度高，海水表層溫度就高B.氣候溫度高，海水表層溫度就低C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢2.(人A選必三P103習(xí)題T1改)已知兩個變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系依次是(D)(第2題)A.①②③ B.②③①C.②①③ D.①③②【解析】第一個散點圖中的點是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，是正相關(guān)；第三個散點圖中的點是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，是負相關(guān)；第二個散點圖中的點的分布沒有什么規(guī)律，是不相關(guān)．3.(人A選必三P138復(fù)習(xí)參考題T2)對于變量Y和變量x的成對樣本觀測數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))得到經(jīng)驗回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，對應(yīng)的殘差如圖所示，模型誤差(C)(第3題)A.滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B.不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0的假設(shè)C.不滿足一元線性回歸模型的D(e)＝σ2的假設(shè)D.不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假設(shè)【解析】由一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))得到經(jīng)驗回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，根據(jù)對應(yīng)的殘差圖，殘差的均值E(e)＝0可能成立，但明顯殘差的x軸上方的數(shù)據(jù)更分散，D(e)＝σ2不滿足一元線性回歸模型，正確的只有C.4.(人A選必三P113練習(xí)T2)假如女兒身高y(單位：cm)關(guān)于父親身高x(單位：cm)的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋25.82.已知父親身高為175cm，則估計女兒的身高是_168_cm_(結(jié)果保留整數(shù)).【解析】當(dāng)x＝175時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.81x＋25.82＝0.81×175＋25.82≈168.5.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位：t)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位：t)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：x3456y2.5t44.5如果根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為_3_．【解析】由經(jīng)驗回歸直線過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即eq\x\to(y)＝0.7eq\x\to(x)＋0.35，得eq\f(2.5＋t＋4＋4.5,4)＝0.7×eq\f(3＋4＋5＋6,4)＋0.35，解得t＝3.聚焦知識1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負相關(guān)．(3)線性相關(guān)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在_一條直線_附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)樣本相關(guān)系數(shù)r的計算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下：r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－\x\to(y))2))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)·\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)當(dāng)r_＞_0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)_正_相關(guān)；當(dāng)r_＜_0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)_負_相關(guān)；當(dāng)r＝0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．3.一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型，其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a和b為模型的未知參數(shù)，e是_Y與bx＋a之間_的隨機誤差．我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線．這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))2),＝_\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)_，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)．))4.殘差與決定系數(shù)(1)殘差對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預(yù)測值，_觀測值減去預(yù)測值所得的差_稱為