第五章

留數(shù)及其應(yīng)用第五章留數(shù)及其應(yīng)用1、孤立奇點(diǎn)2、留數(shù)3、留數(shù)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用§1孤立奇點(diǎn)1、孤立奇點(diǎn)的定義定義1

.

)

(

,

0

,

)

(

0

0

0

0

的孤立奇點(diǎn)

為

則稱

內(nèi)解析

的某個(gè)去心鄰域

但在

處不解析

在

若

z

f

z

z

z

z

z

z

f

d

<

-

<

例如孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)未必是孤立的.

若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).2、孤立奇點(diǎn)的分類注2.1可去奇點(diǎn)：展式中不含z-z0負(fù)冪項(xiàng)，即特點(diǎn)?“可去”一詞的解釋?和函數(shù)（從新定義）因?yàn)?.2極點(diǎn)：展式中僅含有有限多個(gè)z-z0負(fù)冪項(xiàng)，即特點(diǎn)?2.3本性奇點(diǎn)：展式中含有無窮多個(gè)z-z0負(fù)冪項(xiàng),

特點(diǎn)?3、函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)若z0為

f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：性質(zhì)1（可去奇點(diǎn)的判定定理）證：只須證顯然由極限定義即可其中由于性質(zhì)2（m級(jí)極點(diǎn)的特征）若為f(z)

的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：證：去心鄰域則例如：為f(z)的一個(gè)4級(jí)極點(diǎn)，為f(z)的單極點(diǎn).注意：在判斷孤立奇點(diǎn)類型時(shí)，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論.例如

利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的單極點(diǎn)，可去奇點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn).性質(zhì)3

若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是

在判斷函數(shù)的極點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)比較性質(zhì)2和性質(zhì)3.4、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系性質(zhì)4證明:先證明必要性.必要性證畢.充分性請(qǐng)自己完成.例如：結(jié)論：一個(gè)不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.性質(zhì)5分析例如，15性質(zhì)6

（極點(diǎn)的運(yùn)算性質(zhì)）性質(zhì)7

z0為

f(z)的本性奇點(diǎn)注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時(shí)，也有同實(shí)函數(shù)類似的羅必塔法則.由性質(zhì)1和性質(zhì)3，得性質(zhì)8

(Weierstrass)定理例如：本性奇點(diǎn)答：解：又記5、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)23

定義4洛朗展式判別法則25

極限判別法例如：26

解：27

本講小結(jié)：28

和函數(shù)（從新定義）因?yàn)?9

和函數(shù)（從新定義）因?yàn)榈谖逭?/p>

留數(shù)及其應(yīng)用1、留數(shù)的定義§5.2留數(shù)1.1引入0

(高階導(dǎo)數(shù)公式)

0(柯西-古薩基本定理)

1.2定義1Residual注：2、留數(shù)定理定理1證明:Dcznz1z3z2于是，得留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法(留數(shù)法).

由復(fù)合閉路定理得：規(guī)則23、留數(shù)的計(jì)算如果

為

的1級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則1證明:由條件,得規(guī)則3注可直接展開洛朗級(jí)數(shù)求來計(jì)算留數(shù)

.2.在應(yīng)用規(guī)則2時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.1.在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則.

為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把m取得比實(shí)際的如

為

m級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)

m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),證畢.證明:

例1解:例2解:例3解:例4解:例5解:另解:例如取

m=6,

提示：還有其它奇點(diǎn)么？

被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部

,所以由規(guī)則3解:又記4、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)50

定義4洛朗展式判別法則極限判別法例如：解：(這個(gè)方向很自然地可以看作是繞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向).5、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義2注注意到：再由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到：定理2若在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，則在所有奇點(diǎn)（包括無窮點(diǎn)）處的留數(shù)之和為零.規(guī)則5證明：說明:定理2和規(guī)則4提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單.解：函數(shù)在的外部,除點(diǎn)外沒有其他奇點(diǎn).與以下解法作比較

:被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部

,所以由規(guī)則3可見,利用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡(jiǎn)單.例7

計(jì)算積分C為正向圓周

:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為則由于與1在C的內(nèi)部,所以練習(xí)解:所以故3、留數(shù)的計(jì)算規(guī)則本講小結(jié)1、留數(shù)的定義2、留數(shù)定理第五章留數(shù)及其應(yīng)用§3留數(shù)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用本節(jié)主要內(nèi)容：考察三種類型的實(shí)函數(shù)的定積分的計(jì)算.這類積分可以化為單位圓上的復(fù)變函數(shù)積分.在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.解：例1于是因此法則3解：例2于是因此法則1法則2提示：不失一般性，設(shè)根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO再由（1），得計(jì)算(1)取輔助函數(shù)R(z)并求有限值奇點(diǎn);(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理;(3)最后得到留數(shù)之和乘以2πi.解：因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù),

其位于上半平面的奇點(diǎn)是:（均為單極點(diǎn)）(1)取輔助函數(shù)并求有限值奇點(diǎn);故(2)應(yīng)用留數(shù)基本定理

問題的處理方法：同第二種類型一樣，通過引進(jìn)輔助半圓周，得到一個(gè)閉合路徑（半圓周加實(shí)軸）上的復(fù)變函數(shù)的積分，然后取極限（令半徑趨于無窮），并且可證明：根據(jù)留數(shù)定理，得到xy......-RRO即：例４計(jì)算解：相當(dāng)于：思考：0例５計(jì)算例６計(jì)算解：先考察積分xy-rrcr

Ｏ-hhch

在所示閉合路徑上應(yīng)用留數(shù)定理，得（因閉合路徑內(nèi)被積函數(shù)無奇