1第三章復(fù)變函數(shù)的積分

§3.1復(fù)積分的概念22

1、復(fù)積分的概念及基本計(jì)算方法2、柯西-古薩積分定理3、復(fù)合閉路定理4、柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式第三章復(fù)變函數(shù)的積分本章主要內(nèi)容：33

1、有向曲線§1復(fù)變函數(shù)積分的概念特別申明今后所說(shuō)的曲線總是指光滑或逐段光滑曲線,特別說(shuō)明的例外。44

閉曲線正向的定義:與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.曲線方向的說(shuō)明:一般:曲線C的正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.那么終點(diǎn)到起點(diǎn)的方向就是曲線C的負(fù)向,記為C-對(duì)周線而言,逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)方向C55

2、復(fù)積分的定義B

xyo（1）分割（2）取近似（3）求和66

.

)

(

,

)

(

)

(

ò

?

C

dz

z

f

B

A

C

z

f

I

C

z

f

記作

的積分

從

沿曲線

為

上可積，上述極限值

在

則稱

被積函數(shù)積分路徑（4）取極限77

----一元函數(shù)定積分的定義.注88

3、積分存在的條件1.必要條件2.充分條件

將各函數(shù)代數(shù)化99

因此積分存在的條件問(wèn)題，歸為尋求右端兩個(gè)式子極限存在的條件問(wèn)題，由分析可知，這只需u(x,y),v(x,y)均在C上連續(xù)即可，且極限分別為1010

這是實(shí)的第二型曲線積分記憶1111

4、復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).被積函數(shù)的線性可加性1212

積分路徑的可加性積分估值定理3.21313

性質(zhì)(5),(6)的證明兩端取極限得[證畢]性質(zhì)5積分估值定理1414

5、復(fù)積分計(jì)算的參數(shù)方程法若能寫出C的參數(shù)方程為:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

則因?yàn)镃是光滑曲線

x(t),y(t)

C[

,

]:1515

1616

定理設(shè)曲線C的參數(shù)方程為:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.f(z)沿曲線C連續(xù)

注:該公式可看成由下式形式相乘而得到1717

（1）連接z1和z2兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為幾類常見(jiàn)曲線的復(fù)數(shù)方程（

2）1818

例12

，其中積分路徑為C

計(jì)算

dz

z

I

c

=

ò

x1+io11yAB于是，解:(i)C的參數(shù)方程1919

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有相同的值.01+i1yxAB112020

于是，03+4i34yx解:(i)C的參數(shù)方程AB2121

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有不同的值.03+4i34yxAB2222

例3解ox

y

r

C2323

綜上所述，我們有

記住這一結(jié)果，后面經(jīng)常用到，并且注意該結(jié)果與圓心、圓的半徑?jīng)]有關(guān)系2424

解：練習(xí)：這幾題結(jié)果都跟有關(guān)?。。∫蓡?wèn)：這里邊到底有什么玄機(jī)呢？還需繼續(xù)研究2525

例5i2+iOxy練習(xí)計(jì)算積分：26

（1）

（重要積分）（2）

解

的參數(shù)方程為

27（4）（