河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則的面積是（

）

A．6 B．10 C．12 D．242．已知點(diǎn)，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角的對邊分別為，則（

）A． B． C． D．14．在中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，設(shè)向量，若，則角A的大小為（

）A． B． C． D．5．底面圓周長為，母線長為4的圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，異面直線MN與所成角為（

）A． B． C． D．8．在中，，點(diǎn)E在上，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C． D．10．（多選）某工廠生產(chǎn)出一種機(jī)械零件，如圖所示，零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺，在軸截面中，，則下列說法正確的有（

）A．該圓臺的高為B．該圓臺軸截面面積為C．該圓臺軸截面面積為D．一只螞蟻從點(diǎn)C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為11．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，則（

）A．B．若，則C．若，則為銳角三角形D．若，則的形狀能唯一確定三、填空題12．復(fù)數(shù)的虛部為．13．已知等邊邊長為2，平面，且，則點(diǎn)C到平面的距離為．14．已知滿足，若在方向上的投影向量為，則．四、解答題15．已知，.(1)求；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，且，求實(shí)數(shù)的值.16．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.(1)求及AD的長度；(2)求BC的長度.17．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若求直三棱柱的體積和表面積；18．在銳角中，角的對邊分別為，，，已知且．(1)求角A的大??；(2)若，求的面積；(3)求的取值范圍．19．如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，點(diǎn)在棱上．(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)，且為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大?。}號12345678910答案CACBCDBCABCCD題號11答案AB1．C根據(jù)直觀圖與斜二測畫法的定義求解.【詳解】由題可知，為直角三角形，且，如圖：

由斜二測畫法知，所以.故選：C.2．A設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)、，且，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，，，求得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A．3．C利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及定義法求向量數(shù)量積．【詳解】解：中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，則，故選：C．4．B【詳解】因?yàn)?所以,即,所以因?yàn)?故故選：B．5．C作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，利用直角三角形求出內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的體積.【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：根據(jù)圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓，即為等腰的內(nèi)切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，即內(nèi)切球的半徑，故內(nèi)切球體積為.故選：C.6．D設(shè)復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)式，利用復(fù)數(shù)相等，可得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法，可得答案.【詳解】設(shè)，則，即，解得，所以.故選：D.7．B連結(jié)，，根據(jù)題中條件，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】連結(jié)，，因?yàn)樵谡襟w中，M，N分別為的中點(diǎn)，所以，因此，異面直線與所成角即為直線與所成角，即，顯然為.故選：B8．C利用向量的線性運(yùn)算將用與表示出來，再利用向量共線定理的推理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故選：C9．ABCA利用復(fù)數(shù)的模的定義計(jì)算；B利用復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算；C先計(jì)算，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義；D利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.【詳解】由題意可得，，則，故A正確；，故B正確；，則，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．CD由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項(xiàng)；由梯形面積公式即可判斷BC選項(xiàng)；由圓臺側(cè)面展開圖結(jié)合勾股定理即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】如圖①，作交于E，則，則，則圓臺的高為，故A錯(cuò)誤；圓臺的軸截面面積為，故B錯(cuò)誤，C正確；將圓臺的一半側(cè)面展開，如圖②，設(shè)P為的中點(diǎn)，由圓臺補(bǔ)成圓錐，圓臺對應(yīng)的圓錐的一半側(cè)面展開為扇形，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，連接，可得，，則，所以沿著該圓臺表面從點(diǎn)C到中點(diǎn)的最短距離為，故D正確．故選：CD．11．AB應(yīng)用正弦定理及邊角關(guān)系判斷A、B、D；由余弦定理易得為銳角，而角和角是否為銳角無法確定，即可判斷C.【詳解】因?yàn)椋裕蔄正確；因?yàn)?，則，故B正確；由余弦定理，可知為銳角，但無法判斷角和角是否為銳角，不一定為銳角三角形，故C錯(cuò)誤；由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D錯(cuò)誤.故選：AB12．5利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出該復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以該復(fù)數(shù)的虛部為5．故答案為：5.13．利用等體積計(jì)算即可.【詳解】因平面，則為三棱錐的高，則，由平面，平面，則，在直角中，，同理，則等腰的底邊上的高為，則,設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，則，得故答案為：.14．利用投影向量的定義求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】由在方向上的投影向量為，得，則，而，于是，所以.故答案為：15．(1)，(2)（1）由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所?（2）由（1）可知，則，，因?yàn)椋?，解?16．(1)(2)（1）運(yùn)用平方關(guān)系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，，，所以，，由于，又，∴，∴，則，∴，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17．(1)證明見解析(2)，（1）取的中點(diǎn)，連接，只需證為平行四邊形，由此，進(jìn)而可證平面；（2）由題干條件可知底面為等腰直角三角形，且直棱柱高為1，利用三棱柱的體積和表面積公式即可算出答案.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，為的中點(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)椋?，由勾股定理的逆定理可知，且在直三棱柱中，為高，由三棱柱的體積公式可得體積，表面積為5個(gè)面面積之和.18．(1)(2)(3)（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）先利用余弦定理求得，進(jìn)而可求面積；（3）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，且，則，可得，整理得，所以.（2）由余弦定理，即，解得或（舍去），所以的面積.（3）由正弦定理，可得，則，因?yàn)闉殇J角三角形，且，則，解得，則，可得，則，所以的取值范圍為.19．(1)證明見解析(2)（1）先證平面，再根據(jù)線面垂直證