導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

第1講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

★知識(shí)梳理★

1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.

(1)求函數(shù)的改變量Ay；(2)求平均變化率團(tuán).(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)團(tuán)(xO)=查.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物埋意義

幾何意義：曲線f(x)在某一點(diǎn)(xO,yO)處的導(dǎo)數(shù)是過(guò)點(diǎn)(xO,yO)的切線的

物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t),在點(diǎn)P(Qs(tO))處導(dǎo)數(shù)的意義是t=tO處

的___________

解析：斜率.；瞬時(shí)速度.

3.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

c=0(c為常數(shù))；(/')'=(〃￡/?)；

(sinx)=；(cosx)=；

(In=-；(log.xY=-log“e；

xx

00；00.

解析:國(guó)

4.運(yùn)算法則

①求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

/、’

(w±V)=M±V;(MV)=;—=("0).

解析:0；0

②復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:胴或團(tuán)

★重難點(diǎn)突破★

1.重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算法則，熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的計(jì)算和曲線的切線方程的求法

2.難點(diǎn)：切線方程的求法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

3.重難點(diǎn)：借助于計(jì)算公式先算平均增長(zhǎng)率,再利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)的問(wèn)題.

(1)平均變化率的實(shí)際含義是改變量與自變量的改變量的比。

問(wèn)題L比較函數(shù)f(x)=T與g(x)=3’，當(dāng)x￡[1,2J時(shí),平均增長(zhǎng)率的大小.

點(diǎn)撥:解題規(guī)律技巧妙法總結(jié)：計(jì)算函數(shù)的平均增長(zhǎng)率的基本步驟是

(1)計(jì)算官變量的改變量&*=工2X]

⑵計(jì)算雙應(yīng)函數(shù)值的改變量A)，=/(X2)-/(X2)

⑶計(jì)算平均增長(zhǎng)率：包J5)一/卬

AA-々一七

對(duì)于/(/)=2、，獸=與彳=3,又對(duì)J--g(x)=3、，普==8

A%12-1Aq2-1

故當(dāng)X￡[1,2]時(shí)，g(x)的平均增長(zhǎng)率大于/(X)的平均增長(zhǎng)率.

(2)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要堅(jiān)持“將求導(dǎo)進(jìn)行到底”的原則，

問(wèn)題2.已知0,則0.

點(diǎn)撥：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練，其與系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過(guò)程，有的同學(xué)忽視了，導(dǎo)致錯(cuò)解為：.

f

設(shè)y=/,w=1+cos2x,則y；=y'uux=2w(l+coslx)'=2w(-sin2x)(2x)

=2w(-sin2x)?2=-4sin2x(1+cos2x)/.y'=-4sin2x(1+cos2x).

(3)求切線方程時(shí)已知點(diǎn)是否切點(diǎn)至關(guān)重要。

問(wèn)題3.求在點(diǎn)和處的切線方程。

點(diǎn)撥：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過(guò)點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；

點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過(guò)設(shè)切點(diǎn)的方法求切線.切忌直接將，看作曲線上的點(diǎn)

用導(dǎo)數(shù)求解。

,/y=2x2+3,/=4x/.y［a產(chǎn)4

卻過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為4,故切線為：.

設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又，

故，。

即打線的斜率為4或12,從而過(guò)點(diǎn)的切線為：

y=4x-1,y=12x-15

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)概念

題型1.求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值

［例1］設(shè)函數(shù)口在口處可導(dǎo)，則口等于

A.B.C.D.

【解題思路】由定義直接計(jì)算

［解析］lim,小――)一?"%)=-lim力/+(3"-/(/)=_/(/).故選§

ASOAx(—Ax)

【名師指引】求解本題的關(guān)鍵是變換出定義式lim/(二十以)一=/'(%)

—Ar

考點(diǎn)2.求曲線的切線方程

［例2］(高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則

【解題思路】區(qū)分過(guò)曲線處的切線與過(guò)點(diǎn)的切線的不同，后者的點(diǎn)不一定在曲線.匕解析:觀察圖形，設(shè)，過(guò)P

點(diǎn)的切線方程為

)」/(5)=/,(5)(x-5)即y=/(5)冗+/(5)-5/'(5)

它與),=一工+8重合,比較系數(shù)知:/'(5)=-1,/(5)=3

故/(5)+:(5)=2

【名師指引】求切線方程時(shí)要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn).若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)

11

⑶)，二一--U+D=--

X+lX+1

【名師指引】注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法(分解團(tuán)求導(dǎo)團(tuán)回代)；注意問(wèn)題的變通：如團(tuán)的導(dǎo)數(shù)容易求錯(cuò)，但13的導(dǎo)數(shù)不易求

錯(cuò).

題型2:求導(dǎo)運(yùn)算后求切線方程

例2.(廣州市2008屆二月月考)已知函數(shù)

(1)若回，點(diǎn)P為曲線閉上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；

(2)若函數(shù)閉上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a.

【解題思路】先按運(yùn)算法則求導(dǎo),再按幾何意義求切線方程.

解析：(1)設(shè)切線的斜率為k,則回

又團(tuán)，所以所求切線的方程為：團(tuán)即團(tuán)

【名師指引】求三次函數(shù)圖象的切線在高考中經(jīng)常出現(xiàn).

與曲線)，二」/相切于p(e*)處的切線方程是([))

e

A.B.C.D.

題型3:求導(dǎo)運(yùn)算后的小應(yīng)用題

例3.某市在一次降雨過(guò)程中，降雨量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，則在時(shí)刻的降雨強(qiáng)度為()

A.0B.0C.0D.0

【解題思路】先對(duì)f的求導(dǎo)，再代，的數(shù)值.

解析：小=會(huì)*扁一/扁年選。

[名師指引】求某一時(shí)刻的降雨量相當(dāng)于求瞬時(shí)變化率，即那一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值.

【新題導(dǎo)練】.

4.設(shè)函數(shù)，且，則

A.0B.-1C.3D.-6

思路分析：按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo)，然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于k的方程求解.

解：

f'(/)=(x+&)(x+2k)(x-3&)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x(x+k)(x+2k)

故/'(O)=-6A3又f'(O)=6,故人=—I

5.設(shè)函數(shù)，(、、是兩兩不等的常數(shù))，

則回

解析:/'(%)=(x-a)(x一〃)+(x—b)(x-c)+(x-c)(x一。)代入即得0..

6.質(zhì)量為的物體按的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能，則物體在運(yùn)動(dòng)后的動(dòng)能是

解析:先求瞬時(shí)速度后，再代入公式求解提3125J

★搶分頻道★

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

L(廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試卷)是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是

解析：/'(x)=I+2故/'(-1)=3

2.(廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)在處的導(dǎo)數(shù)值是___________.

解析:因故填團(tuán)

3.已知直線x+2y—4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線的弧上求一點(diǎn)P,當(dāng)APAB

面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為.V

解析：|AB|為定值，4PAB面枳最大，只要P到AB的距離最大，只要點(diǎn)P是拋物線的平行于AB的切線的切點(diǎn)，設(shè)P

（x,y）.由圖可知，點(diǎn)P在x軸下方的圖象上

/.y--24x,：,y'=--^=,*：公8=一g''一寧=~~

；?x=4,代入y2=4x（y<0）得y=—4.P（4,—4）

4.（廣東省深圳市2008年高三年級(jí)第?次調(diào)研考試）已知胤團(tuán)（0）,直線回與函數(shù)團(tuán)、回的圖像都相切，且與函數(shù)回的圖像的

切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.求直線團(tuán)的方程及舊的值；

解：依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，故其斜率

>

所以直線回的方程為國(guó).

又因?yàn)橹本€團(tuán)與團(tuán)的圖像相切，所以由

得田（田不合題意，舍去）；

5.（湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考）

已知函數(shù)的圖象都相切，且1與函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線1的方程及a的值；

解由，故直線1的斜率為1,切點(diǎn)為

即（1,0）???①又???

/./:y-（―+67）=x-1即y=x-g+。②

比較①和②的系數(shù)得一工+。=-l.:.a=--

22

綜合拔高訓(xùn)練

6.對(duì)于三次函數(shù)口，定義：設(shè)口是函數(shù)口的導(dǎo)函數(shù)口的導(dǎo)數(shù)，若口有實(shí)數(shù)解ZL則稱點(diǎn)口為函數(shù)二的“拐點(diǎn)”?，F(xiàn)

已知口，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）求函數(shù)/（X）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；

（2）求證/"）的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱;并寫(xiě)出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論（此結(jié)

論不要求證明）.

［解析］（1）（3,團(tuán).令國(guó)得

回?◎拐點(diǎn)。

（2）設(shè)團(tuán)是國(guó)圖象上任意一點(diǎn)，則同因?yàn)閲?guó)關(guān)于團(tuán)的對(duì)稱點(diǎn)為國(guó)把國(guó)代入國(guó)得

左邊=-4—y（）=—￡+3x（;—2/—2,

32

右邊=（2-^0）—3（2—x0）+2（2—x0）-2=一x；+3片—2Ao-2

.,.右邊=右邊，尸'（2-%,-4一%）在），=f（x）圖象上y=/（x）關(guān)于A對(duì)稱

7.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)團(tuán)其中團(tuán)。設(shè)兩曲線團(tuán)有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。

（1）若團(tuán)求0的值;

（2）用團(tuán)表示團(tuán)，并求團(tuán)的最大道。

解：（1）設(shè)團(tuán)與團(tuán)在公共點(diǎn)團(tuán)處的切線相同

f\x）=x+2,g\x）=-

x

由題意知0，，團(tuán)

由團(tuán)得,團(tuán)，或13（舍去）

即有6=2

2

（2）設(shè)），=/（x）與），=g（x）（x>（））在公共點(diǎn)（小,為）處的切線相同

q2

/'（x）=x+2a,g\x）=—

x

由題意知團(tuán)，，團(tuán)

由國(guó)得，團(tuán)或團(tuán)（舍去）

2222

即有〃+2a-3a\na=—a-3a\na

22

令一則0,于是

當(dāng)瓦即（3時(shí)，團(tuán)；

當(dāng)團(tuán)，即團(tuán)時(shí),團(tuán)

故團(tuán)在團(tuán)論最大值為團(tuán)，故⑦的最大值為13

8.設(shè)三次函數(shù)團(tuán)在團(tuán)處取得極值，其圖象在住處的切線的斜率為團(tuán)。求證:叱

解：（1）方法一、.由題設(shè)，得①

f（"?）=3am2+2bm+c=-3a②

????

?,??o

由①代入②得，???，

得（2/+竺之24一6或2之（）③

aaaa

將代入中，得④

由③、④得0?2<i；

a

方法二、同上可得：將（1）變?yōu)椋捍耄?）可得：，所以，則

方法三：同上可得：將（1）變?yōu)椋捍耄?）可得：，顯然，所以

因?yàn)閳D象的開(kāi)口向下，且有一根為x1=1

由韋達(dá)定理得X'X=——,X-y=——<0<X)

}23a~3a

，所以，即，則，由得：

所以：

第2講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

★知識(shí)梳理★

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：

在某個(gè)區(qū)間團(tuán)內(nèi)，如果團(tuán)那么函數(shù)團(tuán)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)；如果(3,那么函數(shù)團(tuán)在這個(gè)區(qū)間內(nèi).

解析：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞減

2.判別f(x0)是極大、極小值的方法

若回滿足囿且在(3的兩側(cè)團(tuán)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，貝幅是團(tuán)的極值點(diǎn)，(3是極值，并且如果團(tuán)在團(tuán)兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，貝岫是團(tuán)

的，團(tuán)是極大值；如果國(guó)在團(tuán)兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則國(guó)是回的極小值點(diǎn)，團(tuán)是

解析：極大值點(diǎn)；極小值.

3.解題規(guī)律技巧妙法總結(jié)：求函數(shù)的極值的步驟：

⑴確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f'僅).

(2)求方程r(M=O的根.

⑶用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.檢查

f'(x)在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取

得極小值;如果左右不改變符號(hào),那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.

4,求函數(shù)最值的步驟：(1)求出自在回二的極值.(2)求出端點(diǎn)函數(shù)值團(tuán).

(3)比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值.

★重難點(diǎn)突破★

L重點(diǎn)：熟悉利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值與最值的一般思路，熟練掌握求常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值與最值的方法

2.難點(diǎn)：與參數(shù)相關(guān)單調(diào)性和極值最值問(wèn)題

3.重難點(diǎn)：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題

(1)在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。

問(wèn)題1.設(shè)，.令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

點(diǎn)撥:根據(jù)求導(dǎo)法則有口，

故胤于是回

列表如下：

X(0,2)2(2,+8)

故知同在G)內(nèi)是減函數(shù)，在團(tuán)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在團(tuán)處取得極小值(3.

—

(2)借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù).F'(x)0+

問(wèn)題2.已知函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù)，若在時(shí)恒成立.

F(x)減極小值F(2)增

(1)求證：函數(shù)0在閉上是增函數(shù)；

(2)求證：當(dāng)回時(shí)，有團(tuán).

點(diǎn)撥：由xf\x)>/(x)轉(zhuǎn)化為為增函數(shù)是解答本題關(guān)鍵.類(lèi)似由

X

VV)+/(x)>0轉(zhuǎn)化為xf(x)為增函數(shù)等思考問(wèn)題的方法是我們必須學(xué)會(huì)的.

(1)由團(tuán)得(3因?yàn)閳F(tuán)

所以團(tuán)在01時(shí)恒成立，所以函數(shù)目在向上是漕函數(shù).

（2）由（1）知函數(shù)團(tuán)在12上是增函數(shù)，所以當(dāng)回時(shí),

有團(tuán)成立，

從而/(王)<--一()

/X+X,),f(x2)<——f(xl+x2)

X14-x2+x2

兩式相加得了(2+x2)>/(x,)+/(x2)

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

題型1.討論函數(shù)的單調(diào)性

例1（08廣東高考）設(shè)，函數(shù)，，，試討論函數(shù)的單調(diào)性.

［解題思路］先求導(dǎo)再解f\x）N0和/,（x）<0

1

k,x<1,

----------X<1,(1)2

【解析】F（x）=f（x）-kx=U-x'「(x)=

-\Jx-\-kx,x>1,x>1,

對(duì)于，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

對(duì)于，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

【名師指引】解題規(guī)律技巧妙法總結(jié)：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.

求函數(shù)（3的導(dǎo)數(shù)團(tuán)（2）令團(tuán)解不等式，得力的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令回解不等式，得用的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對(duì)"照定

義域得出結(jié)論.

［誤區(qū)警示］求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易忽視定義域，如求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，錯(cuò)誤率高，請(qǐng)你一試，該題正確答案為

題型2.由單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍

例2:若同在區(qū)間上單調(diào)遞增，求同的取俏范圍.

【解題思路】解這類(lèi)題時(shí),通常令廣（幻之。（函數(shù)/（外在區(qū)間m,切上遞增）或

尸口）?0（函數(shù)/⑴在區(qū)間m刈上遞減），得出恒成立的條件，再利用處理不等式恒成立的方法獲解.

解析:團(tuán)又團(tuán)在區(qū)間上單調(diào)遞增

??./'"）=3.+120在［一1,1］上恒成立即42一一L在X/［-1,1］的最大值為‘

3x3

故〃的取值范圍為［」,十8］

3

【名師指引】：本題主要考杳函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)值的關(guān)系，要特別注意導(dǎo)數(shù)值等于零的用法.

題型3.借助單調(diào)性處理不等關(guān)系

例3.當(dāng)，求證

【解題思路】先移項(xiàng)，再證左邊恒大于0

解析：設(shè)函數(shù)題

當(dāng)田時(shí)，團(tuán)團(tuán)故回在回遞增，團(tuán)當(dāng)團(tuán)時(shí),團(tuán),又回,凡即同故回

【名師指引】若要證的不等式兩邊是兩類(lèi)不同的基本函數(shù)，往往構(gòu)造函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明

【新題導(dǎo)練】.

1.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+l在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.a>3B.a=2C.a<3D.0<a<3

分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.利用函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的圖象確定參數(shù)的范圍.

解析：M(x)=3x2—2ax=3x(x—ma),由f(x府。2)內(nèi)單調(diào)遞減，得3x(x-0a)WO,

即由a22,，a23.答案:A

2.函數(shù)y=x3+x的單調(diào)增區(qū)間為

A.(—8,+8)B.(O,+8)c.(—8,0)D.不存在

解析：??？'=3x2+l>0恒成立，.??y=x3+x在(-8,+8)上為增函數(shù),沒(méi)有減區(qū)間.

答案:A

3.已知函數(shù)，，設(shè).

(I)求函數(shù)尸(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若以函數(shù)用圖像上任意一點(diǎn)團(tuán)為切點(diǎn)的切線的斜率用恒成立，求實(shí)數(shù)團(tuán)的最小值；

解析:⑴0,0

V0,由團(tuán)，工團(tuán)在團(tuán)上單調(diào)遞增。

由胤??福在團(tuán)上單調(diào)遞減。

???團(tuán)的單調(diào)遞減區(qū)間為回單調(diào)遞增區(qū)間為團(tuán)。

(II)0,

%=尸(X。)=豆U?,(0<%?3)恒成立oQ之(_L石+%］

%2\2/n)ax

當(dāng)回時(shí)，團(tuán)取得最大值團(tuán)。

A0,???團(tuán)

考點(diǎn)2:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值.

題型1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最大(小)值

例1.若函數(shù)在處取得極值，則

【解題思路】若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且，那么是的極大值；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且，那么

是的極小值.

［解析］因?yàn)?(x)可導(dǎo)，且/(x)=-/〃sinx+cos2x,所以/(乙)=一〃癡11工+<：0$巳=(),解得m=0.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)〃2=()

442

1JT

時(shí)，函數(shù)/(工)二一5出2工在1=一處取得極大值.

【名師指引】若團(tuán)是可導(dǎo)函數(shù)，注意團(tuán)是團(tuán)為函數(shù)團(tuán)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在回左右判斷單調(diào)性.

例2.(2008?深圳南中)設(shè)函數(shù)()，其中，求函數(shù)的極大值和極小值.

【解題思路】先求駐點(diǎn)，再列表判斷極值求出極值。

解析:.團(tuán)，

0.

令團(tuán)，解得團(tuán)

/0、a

或回.(a3+9)

37。)

由于此當(dāng)團(tuán)

變化時(shí),國(guó)的

正負(fù)如下表：

X

fM—0十0—

因此，函數(shù)團(tuán)在El處取得極小值感且團(tuán)；

函數(shù)因在回處取得極大值團(tuán)，且團(tuán).

【名師指引】求極值問(wèn)題嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行。

例3.（廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2009屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè)）已知函數(shù).

（I）求f（x）的最小值;

（II）若對(duì)所有回都有以求實(shí)數(shù)回的取值范圍.

【解題思路】先求極值再求端點(diǎn)值，比較求出最大（?。┲?當(dāng)區(qū)間只有一個(gè)極大（?。┲禃r(shí),該值就是最大（?。┲?/p>

解析：的定義域?yàn)椋?.......1分

的導(dǎo)數(shù).................3分

令，解得；令，解得.

從而團(tuán)在國(guó)單調(diào)遞減，在回單調(diào)遞增............5分

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值?.....................6分

（II）解法一：令⑼則回，................8分

①若，當(dāng)時(shí)，，

故在上為增函數(shù)，

所以，時(shí)，，即..................10分

②若，方程的根為，

此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).

所以時(shí)，，

即，與題設(shè)相矛盾.................13分

綜上，滿足條件的團(tuán)的取值范圍是團(tuán)..............................14分

解法二：依題意，得在上恒成立，

即不等式回對(duì)于團(tuán)恒成立.................8分

令跖則團(tuán)..................10分

當(dāng)團(tuán)時(shí)，因?yàn)閳F(tuán)，

故是上的增函數(shù)，所以的最小值是，............13分

所以的取值范圍是.....................................14分

【名師指引】求函數(shù)團(tuán)在閉區(qū)間團(tuán)上的最大值（或最小值）的步驟：①求國(guó)在回內(nèi)的極大（?。┲?，②將極大（小）值與端

點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中較大者的一個(gè)是最大者，較小的一個(gè)是最小者.

題型2.已知函數(shù)的極值和最大（?。┲?，求參數(shù)的值或取值范圍。

例3.:廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考）

已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)處的切線方程為.

（1）若函數(shù)在時(shí)有極值，求的表達(dá)式

（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍

【解題思路】求函數(shù)的解析式一般月待定系法法，求參數(shù)的取值范圍一般需建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）

解析：，-----------------2分

因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為-3,

所以，即，-------------------------3分

又/⑴MT+a+A+cu-Z得a+Z?+c=-L----------------------------------------4分

（1〕函數(shù)在時(shí)有極值，所以，-------5分

解得，--------------------------------------------7分

所以.--------------------------------------8分

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)

在區(qū)間上的值恒大于或等于零，---------------------------------10分

則得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為一一14分

【名師指引】已知13在田處有極值，等價(jià)于凱

【新題導(dǎo)練】

4.團(tuán)在區(qū)間團(tuán)上的最大值為國(guó)貝旭」()

A.0B.0C.0D?或(3

解析：選B

團(tuán)在團(tuán)上的最大值為團(tuán)團(tuán)且在團(tuán)時(shí),團(tuán)，解之團(tuán)或團(tuán)(舍去)，00選B.

5.在區(qū)間上的最大值是

A.0B.0C.2D.4

［解析］匚，令口可得口或口(2舍去)，當(dāng)口時(shí)，匚］(0,當(dāng)□時(shí)，口(0,所以當(dāng)口時(shí)，f取得最大值為2.選C

6.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極值.

(1)求/。)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)證明對(duì)任意司,當(dāng)€(-1,1),不等式|/(不)一/(%)1<4恒成立.

［解析］(1)由奇函數(shù)定義，有口.即口因此，口口

由條件為的極值，必有

a+c=-2

故，解得a=\yc=-3.

3。+c=()

32

因此f(x)=x-3蒼fU)=3A:-3=3(x+l)(x-1),/'(-1)=/'(1)=0.

當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).

所以，在處取得極大值，極大值為

(2)由(1)知，是減函數(shù)，且

/*)在［-1,1］上的最大值為M=/(-1)=2,最小值為m=f(\)=-2.

所以，對(duì)任意恒有

［方法技巧］善于用函數(shù)思想不等式問(wèn)題，如本題|/(%)-/(々)區(qū)

★搶分頻道★

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

1.(廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試卷)

函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在內(nèi)有極小值點(diǎn)共有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：觀察圖象可知，只有一處是先減后增的，選A

2.、函數(shù)有()

A.極小值-1,極大值1B.極小值-2,極大值3

C.極小值-2,極大值2D.極小值一1，極大值3

解析:外令團(tuán)得0

當(dāng)回時(shí)，團(tuán)；當(dāng)回時(shí)，回；當(dāng)區(qū)團(tuán)

0團(tuán)時(shí)，團(tuán)當(dāng)00,故選D.

3.函數(shù)y=f(x)=lnx-x,在區(qū)間9e］上的最大值為

A.l—eB.—1C.-eD.O

解析:y'前一(04)i(l,e)e

1,令y'=0,即

x=l,在(0,c］上

列表如下:

X

y+0—

y增函數(shù)極大值一1減函數(shù)1~e

由于/(e)=1—e,而一1>1-e,從而y最大=/(1)=-1.

答案:B

4.(廣東深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2008-2009學(xué)年高三第二次月考)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

［解析］f(x)=~^=--—,

x+a

>0,得一\=>---=26<x+a=4x<(x+a)2,

2Vxx+a

f\x)>0<=>x2+(la-4)x+a2>0,

同樣,f\x)v0o—+(2。_4?+〃2<o,

=(2a-4/-4a2=16(1-a),

(當(dāng)a.>1時(shí)，對(duì)x￡(0,+8)恒有>0,?,?當(dāng)a.>l時(shí)，f(x)在(0,+8)上為增函數(shù)；

5.(汕頭市金山中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月月考)已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2—x+1,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)

在(0,4)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

解：(x)=3ax2+6x-l.要使f(x)在［0,4］遞減，則當(dāng)x￡(0,4)時(shí)，(x)<0?

:.或，解得a<—3.

綜合拔高訓(xùn)練

6.(東莞高級(jí)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月教學(xué)監(jiān)控測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x二±1處取得極侑.

(I：'求函數(shù)f(x)的解析式;

(II)求證:對(duì)于區(qū)間［一1,1］上任意兩個(gè)自變量的值xl,X2,都有If(xl)—f(x2)|W4；

(III)若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m#—2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：(I)f'(x)=3ax2+2bx—3,依題意，f'(l)=f*(—1)=0,

解得a-1,b-0.

Af(x)=x3—3x...........................................4分

(II)Vf(x)=x3-3x,Afz(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l),

當(dāng)一1<X<1時(shí),f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間［-1,1］上為減函數(shù),

fmax(x)=f(-l)=2,fmin(x)=f(1)=-2.............................6分

???對(duì)丁?區(qū)間［-1,1］上任意兩個(gè)自變量的值x】，x2,

都有|f(X1)—f(X2)|W|fm.t(X)—fmin(X)|

|f(xi)—f(x?)W|fm,x(x)—fmr(x)1=2—(—2)=4........................8分

(Ill)f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-1),

???曲線方程為y=x3-3x,???點(diǎn)A（l,m）不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為U（xO,yO）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足

因，故切線的斜率為

整理得2片—34+〃7+3=0.

???過(guò)點(diǎn)A（1,m）可作曲線的三條切線，

???關(guān)于加方程2M-+優(yōu)+3=0有三個(gè)實(shí)根...............10分

設(shè)g（xO）=,則g'（x0）=6,

由g'（x0）=0,得x0=0或xO=L

，g（xO）在（一8,o）,（1,+8）上單調(diào)遞增，在（0,1）上單調(diào)遞減.

???函數(shù)g（xO）=的極值點(diǎn)為x0=0,x0=l..........12分

???關(guān)于x。方程2算-3需+優(yōu)+3=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

,解得一3<m<—2.

故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是一3<m<-2.................14分

7.（廣東省北江中學(xué)2009屈高三上學(xué)期12月月考）

已知胤其中團(tuán)是自然常數(shù),回

（I）討論。=1時(shí)，/（幻的單調(diào)性、極值：

（II）求證：在（【）的條件下,回；

（III）是否存在實(shí)數(shù)團(tuán)，使13的最小值是3,若存在，求出團(tuán)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

解：（I）00,團(tuán)……1分

???當(dāng)時(shí)，,此時(shí)單調(diào)遞減

當(dāng)國(guó)時(shí),國(guó),此時(shí)回單調(diào)遞增……3分

???/（K）的極小值為/⑴=1……4分

（II）跚的極小值為1,即同在團(tuán)上的最小值為1,

/.0,0...5分

令團(tuán)團(tuán)，……6分

當(dāng)團(tuán)時(shí),團(tuán)看在團(tuán)上單調(diào)遞增……7分

???力（X）max=/?（?）="+1|+!=1=1fMLin

e222

???在（1）的條件下，……9分

（III）假設(shè)存在實(shí)數(shù)團(tuán),使團(tuán)（0）有最小值3,

①當(dāng)團(tuán)時(shí),13在團(tuán)上單調(diào)遞減,團(tuán)（3（舍去），所以，此時(shí)團(tuán)無(wú)最小值.……10分

②當(dāng)團(tuán)時(shí)，團(tuán)在團(tuán)上單調(diào)遞減，在團(tuán)上單調(diào)遞增

0,0,滿足條件....11分

③當(dāng)團(tuán)時(shí),但在團(tuán)上單調(diào)遞減，0,0(舍去)，所以，此時(shí)①無(wú)最小值.綜上,存在實(shí)數(shù)團(tuán),使得當(dāng)團(tuán)時(shí)團(tuán)有最小值3.

(1)工(潮南區(qū)08—09學(xué)年度第一學(xué)期期末高三級(jí)質(zhì)檢)已知函數(shù)()

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

證明:lnx<0

解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閳F(tuán)，團(tuán)

①當(dāng)團(tuán)時(shí),ao,f(x)在回上遞增

②當(dāng)團(tuán)時(shí)，令團(tuán)得國(guó)解得：

團(tuán)，因回(舍去)，故在團(tuán)上[3<0,f(x)遞減；在團(tuán)上，團(tuán)>0,f(x)遞增.

(2)由(1)知田在田內(nèi)遞減,在回內(nèi)遞增.

四")]…=g(2+2Q)=l+0—ln(2+20)

故國(guó),又因團(tuán)

故胤得回

第3講導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

★知識(shí)梳理★

利用導(dǎo)數(shù)解決生活、生產(chǎn)優(yōu)化問(wèn)題，其解題思路是：

★重難點(diǎn)突破★

1.重點(diǎn)：利用于數(shù)學(xué)知識(shí)建立函數(shù)模型，借助于導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題。

2.難點(diǎn)：建模的過(guò)程

3.重難點(diǎn)：認(rèn)真審題，建立數(shù)學(xué)模型，解決與函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問(wèn)題.

(1)關(guān)注由導(dǎo)數(shù)的定義和物理意義處理實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

問(wèn)題1：路燈距地平面為口,一個(gè)身高為口的人以口的速率在地面上行走，從路燈在地平面上射影點(diǎn)C,沿某直線離開(kāi)

路燈，求人影長(zhǎng)度的變化速率v.

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)的物理意義解決

設(shè)路燈距地平面的距離為，人的身高為.設(shè)人從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處路程為米，時(shí)間為(單位：秒)，AB為人

影長(zhǎng)度，設(shè)為，則

——=—,y.84A??/min=1Amis,/.y=—x=——t(x=}At)

y+x8-420

77

???)/二一，工人影長(zhǎng)度的變化速率為一機(jī)/s.

2020

<2)利用W數(shù)處理最大(小)值問(wèn)題是高考常見(jiàn)題型.

問(wèn)題2.(2006?江蘇)請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱

錐(如右圖所示)。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)0到底面中心回的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？

[剖析]設(shè)0。為Xm，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為

0（單位：回）

于是底面正六邊形的面積為（單位：）

團(tuán)帳篷的體積為（單位:回）0

求導(dǎo)數(shù)，得令解得（不合題意，舍去），.

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)。

所以當(dāng)時(shí)，最大.答當(dāng)為時(shí)，帳篷的體積最大.

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)：最優(yōu)化問(wèn)題

題型1.函數(shù)模型中的最優(yōu)化問(wèn)題

例1.設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某

處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車(chē)站，再由車(chē)站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)

選在何處，才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最??？

【解題思路】由勾股定理建模.

解析：設(shè)BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運(yùn)費(fèi)為元/km,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為元/km.故從原

料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運(yùn)費(fèi)為：+,（）.對(duì)該式求導(dǎo)，得=+=，令，即得

25=9（），解之得

西=15,￡=T5（不符合實(shí)際意義,舍去）.且匹=15是函數(shù)），在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以匹=15是函數(shù)y的極小值

點(diǎn),而且也是函數(shù)），的最小值點(diǎn).由此可知，車(chē)站D建于B,C之間并且與B相距15km處時(shí),運(yùn)費(fèi)最省.

【名師指引】這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),用過(guò)去的知識(shí)求其最值往往沒(méi)有一般

方法,即使能求此也要涉及到較高的技能技巧.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí),求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單.

例2.某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次生產(chǎn)第一檔（即最低檔次）的利潤(rùn)是每件8元,每提高一個(gè)檔次,利潤(rùn)每件增加2

元,但在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時(shí)間內(nèi)，最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問(wèn)在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的

產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大?有多少元？

思路分析:在一定條件下，“利潤(rùn)最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問(wèn)題，在生產(chǎn)、生活中經(jīng)

常用到，在數(shù)學(xué)上這類(lèi)問(wèn)題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.除了常見(jiàn)的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無(wú)

論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.

解法一:設(shè)相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第x（x￡N：lWxW10）檔次的產(chǎn)品利澗y最大.2分

依題意，得y=[8+2（x-l）][60-3（x-l）]4分

=-6X2+108X+378=-6（x-9）2+864（10）,8分

顯然，當(dāng)x=9時(shí),Vmax=864（元），

即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為864元.10分

解法二:由上面解法得到y(tǒng)=-6x2+108x+378.

求導(dǎo)數(shù)，得，=-12x+108,令/=-12x4-108=0,

解得x=9.因x=9￡[1,10],y只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以它是最值點(diǎn)，即在相同的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)最大，最

大利潤(rùn)為864元.

【名師指引】一般情況下,對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)簡(jiǎn)單的無(wú)

理函數(shù)、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，或它們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了中學(xué)

數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間.

題型2:幾何模型的最優(yōu)化問(wèn)題

【名師指引】與最值有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)合理解模,使問(wèn)題猶解.

例3.（07上海春季高考）某人定制了一批地磚.每塊地轉(zhuǎn)（如圖1所示）是邊長(zhǎng)為口米的正方形口，點(diǎn)E、F分別在邊BC

和CD上，△口、△口和四邊形口均由單一材料制成，制成△口、△口和四邊形口的三種材料的每平方米價(jià)格之比依

次為3:2:1.若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形口.

（1）求證：四邊形團(tuán)是正方形；

⑵團(tuán)在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最?。?/p>

AD

【解題思路】圖2是由四塊圖1所示地磚繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖2后得到，△為等

腰直角三角形，四邊形是正方形.

［解析］（2）設(shè)團(tuán)，則胤每塊地磚的費(fèi)用

為胤制成△?、△回和四邊形團(tuán)三種材料的每平方米價(jià)格依次為3a、2a、a（元），0

=a（x2-0.2x+0.24）

0.

由（3,當(dāng)（3時(shí),0有最小值，即總費(fèi)用為最省.

答：當(dāng)團(tuán)米時(shí)，總費(fèi)用最省.

（名師指引】處理較復(fù)雜的應(yīng)用題審題時(shí)要逐字逐句地去啄磨.

題型3:三角模型的最優(yōu)化問(wèn)題

例4.若電燈B可在桌面上一點(diǎn)。的垂線上移動(dòng).桌面上有與點(diǎn)0距離為口的另一點(diǎn)A,問(wèn)電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可

使點(diǎn)A處有最大的照度？（□照度與口成正比，與口成反比）

【解題思路】如圖，由光學(xué)知識(shí)，照度與成正比，與成反比，

即）,=。?。āＪ桥c燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）要想點(diǎn)A處有最

大的照度，只需求的極值就可以了.

解析：設(shè)到的距離為，則，

于是，.

當(dāng)時(shí)，即方程(0,)a

（下收）

的根為（舍）與V2

,在我們討論的半

閉區(qū)間內(nèi)，所以函

數(shù)在點(diǎn)取極大

值,也是最大值。即

當(dāng)電燈與點(diǎn)距離為

時(shí)，點(diǎn)的照度

為最大.

y+—

y