專題03極值點(diǎn)處單調(diào)變，導(dǎo)數(shù)調(diào)控討論參

【題型綜述】

函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)函數(shù)極值的判斷：先確定導(dǎo)數(shù)為o的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)致為。的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).

(2)求函數(shù)/(x)極值的方法：

①確定函數(shù)/(x)的定義域.

②求導(dǎo)函數(shù)廣(%).

③求方程/''(力=0的根.

④，檢查了'(X)在方程的根的左、右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn).如果左正右.負(fù)，那么/(可在這個(gè)根處

取得極大值；如果左負(fù)右正，那么J(x)在這個(gè)根處取?得極小值；如果廣(x)在這個(gè)根的左、右兩側(cè)

符號(hào)不.變，則/(力在這個(gè)根處沒(méi)有極值..

(?3)利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)/'(X),求方程/(”=0的根的情況,

得關(guān)于參數(shù)的方程(或不等式)，進(jìn)而確定參數(shù)的取值或范圍.

【典例指引】

例I.已知函數(shù)/(x)=x-2-Hnr,oeR.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

例2.已知函數(shù)f(x)=xex-1--mx2-mx?m6R

(1)當(dāng)m=0時(shí)，求曲線y=f(x%E點(diǎn)Q,f(l))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.

例3.”已知f(x)="-2ax)lnx+2ax—x?,其中aER.

2

(1)若a=0,且曲線f(x)在x=t處的切線I過(guò)原點(diǎn)，求直線I的方程；

(2)求f(x)的極值；

(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X?x2(X1<x2),證明f(X])+f%)<『2+3a.

例4.已知函數(shù)f(x)=ln(x-l)+x+m,xE/-+l,e+lj.

([)若m=l,求曲線y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程；。

(ID探究函數(shù)”F(x)=xf(x)的極值點(diǎn)情況，并說(shuō)明理由.

【新題展示】

[X

1.12019湖北仙桃?、天門、潛江期末】已知函嗷f(x)=-x2-+axlnx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

2e

([)當(dāng)a20時(shí)，求證:xNl時(shí),f(x)>0：

(II)當(dāng)a之一時(shí)，計(jì)論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

e

2.12019山東棗莊期末】已知f(x)=J-ax2(aER).

(I)求函數(shù)f'(x)的極值;

(II)設(shè)g(x)=xe、-f(x)，若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【同步訓(xùn)練】

1.己知函數(shù)=？(人)二一@/一人，(其中QEA,6為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828……).

(1)令〃(x)=/(x)+g*),求力(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知/(x)在x=()處取得極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.設(shè)/(X)=xlnx-a/+(2〃-1卜，aeR.

(1)令g(x)=f("，求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知/(x)在x=l處取得極大值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.已知函數(shù)f(x)=e、-(a-l)x+b?

(1)求函數(shù)f(x)的極小值；

4.設(shè)f(x)=x(lnx-l)+a(2x-x3，aWR-.

(1)令g(x)=f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知f(x)在x=l處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5.設(shè)/(x)=(xlrLi+a尤+〃2一,a>-2.

(1)若〃=0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間.；

(2)討於/(X)在區(qū)間(3,+oc)上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

6.已知函數(shù)/'(x)="1)/一/?.

⑴求函數(shù)f(x)的極小.值:

7.設(shè)函數(shù)/(<)--A(2-1n.r)(女為常數(shù)，e=2.7l828...是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

x2x

(1)當(dāng)440時(shí)，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/*)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求A的取值范圍.

8.已知函數(shù)/(人)=12+9一"%〃仁尺).

X

(I)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間與極值；

9.已知/(1)=/-以2,g(x)是/(X)的導(dǎo)函數(shù).

(1)求g(x)的極值;

10.已知函數(shù)/(X)=/一2工+1,g(x)=2Hn(x-l)(aER).

(I)求函數(shù)力(力=/(同一g&)的極值;

11.己知函數(shù)f(x)=ax-lnx-l(aWR).

(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若函數(shù)f(x)在x=l處取得極值，對(duì)任意”的x6(0,+8)恒成立，f(x)>bx-2,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

12.設(shè)函數(shù)=+bln(%+l)(bwO).

(l)若函數(shù)/(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

(2)求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)；

13.已知函數(shù)/(X)=Int+Q尤2-OY,其中.

(」)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(X)在X=1處的切線方程：

(2)若函數(shù)/(x).在定義域上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

14.已知函數(shù)/(1)=

32

⑴當(dāng)4=2時(shí)，求曲線)=/(x)在點(diǎn)(3./(3))處的切線方程:

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx.,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.

專題03極值點(diǎn)處單調(diào)變，導(dǎo)數(shù)調(diào)控討論參

【題型綜述】

函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)函數(shù)極值的判斷：先確定導(dǎo)數(shù)為o的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)致為。的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).

(2)求函數(shù)/(x)極值的方法：

①確定函數(shù)/(x)的定義域.

②求導(dǎo)函數(shù)廣(%).

③求方程/''(力=0的根.

④檢查/'(力在方程的根的左、右兩側(cè)的符號(hào)，確定極值點(diǎn).如果左正右負(fù)，那么/")在這個(gè)根處取

得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值；如果:(4)在這個(gè)根的左、右兩側(cè)符號(hào)

不變，則“X)在這個(gè)根處沒(méi)有極值.

(3)利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求字?jǐn)?shù);(x),求方程廣("=0的根的情況,

得關(guān)于參數(shù)的方程(或不等式)，進(jìn)而確定參數(shù)的取值或范圍.

【典例指引】

例I.已知函數(shù)/(x)=x-2-Hnr,oeR.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

【思路引導(dǎo)】

試寇分析：(1)求得/'(x)=l—巴二'二應(yīng),可分。40和。＞0兩種情況分類討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，

XX

即可求得函數(shù)的極值；

試題解析：(1)/(力=%-2-疝可定義域?yàn)?0,+8),/(x)=l--=^—.

XX

①當(dāng)4fo時(shí)，，(力＞0,/(%)為(0：+8)上的增函數(shù)，所以函數(shù)“X)無(wú)極值.

②當(dāng)。＞0時(shí)，令“力=0,解得x=a.

當(dāng)上￡((),〃),/'(X)＜(),/(X)在((),〃)上單調(diào)遞減；

當(dāng)工e(〃,+oo),/(x)在(a,+8)上單調(diào)遞增.

故/(x)在x=a處取得極小值，且極小值為-HM,無(wú)極小值.

綜上，當(dāng)。4()時(shí)，函數(shù)“X)無(wú)極值；

當(dāng)〃>0時(shí)，/(x)有極小值為〃-2-Hna,無(wú)極大值.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考杳了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利

用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，試題綜合性較強(qiáng)，屬「中檔試題，此類問(wèn)題的解答

中正確把握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系是解答關(guān)鍵，同時(shí)準(zhǔn)確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)重要的環(huán)節(jié).

例2.已知函數(shù)f(x)=xex-1--mx2-mx,m6R

⑴當(dāng)m=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.

【思#各引導(dǎo)】

(1)欲求曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的切線方程，只需求出斜率k=f'(l)和和f(l)的值，即可利用直線的點(diǎn)斜式

方程求解切線的方程；

(2)求出f'(x)=xeXT+eXT-mx-m=(Ji-m)(x+l)，通過(guò)討論m的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求

出函數(shù)的極值即司.，可分m40,m>0兩種情況，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出函數(shù)的極值.

試題解析：(1)m=O0寸,f(x)=xe*Sf(x)?xe*l+exS所以*)=1,f(l)=2

因此曲線V=f(x在點(diǎn)處的切線方程是V-l=2(x-l),即2x-y-l=0

(2)f(x)=xex1?eK1-mx-m=(eK1?m)(x+1)

①當(dāng)msOfl寸，JT.E>01恒成立，

所以當(dāng)Xw(?8.?1)時(shí)f，)<0,f(x)單調(diào)通遍

當(dāng)xW(?l,/8)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

1m

所以當(dāng)x=?1時(shí)，f(x)取極小值*?D=?w+二

a/

②當(dāng)m>Ofl寸，由f&)=謂或"TSnm

(i)當(dāng)即m>e，寸

由f(x)>函x<-1或X>1+Inm

由f(x)〈函?1<X<1+Inm

所以f(x座1)上單調(diào)遞場(chǎng)在(7,1+lnm)上單調(diào)遞減，在Q?lnm,+8)上單調(diào)遞喈，故x=?l時(shí)，f(x)取

1m1

極大值*-1)=?々+1，*=1+始01時(shí)，心)取極小值“1+1a11)=?m(l?Inm)

e22

(ii)當(dāng)A：'?,即m=J時(shí)，f&)201恒成立

此時(shí)函數(shù)f(x)在(?一,?一)上單調(diào)遞增，函數(shù)心)無(wú)極值

(iii)當(dāng)%>4,BPo<m<e,W

由f(x)>函X<1+Inm或X>?1

由f(x)<"導(dǎo)]?Inm<x<-1

所以f(x)在(--J+Inm)上單調(diào)遞增，在(1+Inm,?1)上單調(diào)遞減，在(-1,+?)上單調(diào)遞增，故X=1+Inm時(shí)，f(x)

取極大值f(l+Inm)=-；m(l?Inm)2

1m

x=?1時(shí)，f(x)取極小值*1)=

e2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題的解答中涉及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)處

的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)

用，熟記利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.

例3.已知f(x)=(x2-2ax)lnx+2ax—x2,其中a6R.

2

(1)若a=0,且曲線f(x府x=t處的切線I過(guò)原點(diǎn)，求直線I的方程；

(2)求f(x)的極值；

(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X],x2(X1<x2),證明f(X])+f%)<『2+3a.

【思路引導(dǎo)】

(I)當(dāng)a=0時(shí)，求得f(x)的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程：(II)

求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得f'(x)=(2x-2a)lnx有兩個(gè)不同的實(shí)根，討論當(dāng)空0時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，判斷單調(diào)性可得

極大值大于0,解不等式即可得到所求范圍；(III)由(H)知當(dāng)a>0且a。1時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值f(x)點(diǎn)x2,

22

f(xp+f(x2)=-alna+-a+2a--,構(gòu)造函數(shù)g(x)對(duì)不等式進(jìn)行證明.

22

試卷解析：(I)當(dāng)a=06寸，f(x)=x2lnx--x\f(x)=2xlnx,

所以切線I的斜率k=f(t)=2Hnt,又直線?過(guò)原點(diǎn)，所以k=J=HN?卜

由2tlnt=tint--t得Int=-t=7

22乖

.11x

所以k="『)=-7，故切線I的方程為丫=-―即x+Jey=0.

(II)由f(x)=(1?2ax)lnx?2ax?^x2..可得f(*)=(九?7a)lnx.,

①當(dāng)aSOB寸沁)>0=x>l,f(x)<0<x<1,f(x)在(l,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減,

f(x)在x=l時(shí)取到極小值，且f(l)=2a」，f(x)沒(méi)有極大值；

2

②當(dāng)0<a<iMf'(x)>0<=>x>1或0<x<a,f'(x)<0ca<x<1.f(x)在(0,a),(1,+g)上單調(diào)遞增，

在(a,l)上單調(diào)遞減，f(x)在x=a時(shí)取到極大值，

31

Kf(a)=-a2lna+-a2,f(x府x=1時(shí)取到極小值，且f⑴=2a?r

22

卷)當(dāng)a=l時(shí)f'(x)zofi成立，f(x)在(?8,+8)上單調(diào)遞增，f(x)沒(méi)有極大值也沒(méi)有極小值；

④當(dāng)a>l時(shí)f'(x)>0Ox>a或0<x<l,f'(x)<()ol<x<a,f(x施(0,1),(a,+8)上單調(diào)遞增,

在(1,a)上單調(diào)遞減，f(x)在x=a時(shí)取到極小值，且*)=?|恒+".￡僅)在*=1時(shí)取到極大值，且f⑴=2a--.

22

1

綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在x=l時(shí)取到極小值2a--,f(x)沒(méi)有極大值：

2

?3，1

當(dāng)G<a<1時(shí)，f(x)在x=a時(shí)取到極大值-aIna+-a,在x=1時(shí)取到極小值2a--；

22

)3)

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)沒(méi)有極大值也沒(méi)有極小值:當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在x=a時(shí)取到極小值Tlna+d.

2

在x=1時(shí)取到極大值2a

2

(III)由(II)知當(dāng)a>0且awl忙，f(x)有兩個(gè)極值f(x)點(diǎn)X］，x2,

31

且f(xJ+f(X2)=f(a)+f(l)=-a2lna+-a2+2a--.

111

所以f(xj+f(x2)-(-a2+3a)=-a2lna-a--<-a2(lna-1+-)>

1,11a-1

設(shè)g(a)=lna-l+-,則g(a)=--,所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

aaaa

由a>0且a工1可得g(a)>g⑴=0,所以fixj+fg)-(^a2+3a)<-a2(lna-1+-)<0,

即fjxj+f%)<^a2+3a.

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，利月導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，求切線方程

和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中

檔題.

例4.已知函數(shù)f(x)=ln(x-l)+x+m,xE/-+l,e+lj.

(I)若m=l,求曲線Y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程;

(ID探究函數(shù)F(x)=xf(x)的極值點(diǎn)情況,并說(shuō)明理由.

【思路引導(dǎo)】

(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)兒何意義得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程(2)先求導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化研

究函數(shù)y=g(x)=ln(x-l)+/一+2x,利用導(dǎo)數(shù)易得g(x)先減后增，討論與兩個(gè)端點(diǎn)值以及最小值點(diǎn)大小關(guān)系，

x-1

確定極值點(diǎn)情況.

試題解析：(I)依題意。X)=——+1,故，(2)=2,因?yàn)閒(2)=3,故所求切線方程為Y.3=2(x?2),即2x.y-1=0.

x-1

(II)F(x)=xf(x)=xln(x-1)x+mx,F(x)=ln(x-1)?-----?2x+m,

x-1

.，112x(x--|3

記g(x)=F(x)?m,貝忸(x)=x.1?/2=Ig(x)=0=>x=-■

?."(x-1)2

當(dāng)xE卜亦寸'當(dāng)XE(產(chǎn)?叩寸'所以當(dāng)2時(shí)，國(guó)*取得極小值6.皿2,

又l[=e+3+2,g(e+l)=2e+-+4,F(x)=0^g(x)=-m.

\eJee

(i)當(dāng)?mS6?ln2,即m21n2?60寸，F(xiàn)(x"O恒成立，函數(shù)F(x)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn);

(ii)當(dāng)6-ln2<-m<e?-+2,即2Vm<ln2?6fl寸，F(xiàn)(x)=oW兩不同解，函數(shù)F(x)在l,e?上有

ee\eI

兩個(gè)極值點(diǎn)5

(iii)當(dāng)e?-?2<-m<2e+-+4^-2e---4<m<-e---2時(shí),F(x)=oW—解,函數(shù)F(x)在區(qū)間(一+l,e?1

eeee\e

上有一個(gè)極值點(diǎn)；

(iv)當(dāng)-m22e+—+4,即m￡2e-----4時(shí)，F(xiàn)(X)40，函數(shù)F(x)在區(qū)間(一+l,e+1)上無(wú)極值點(diǎn).

【新題展示】

1)x

1.12019湖北仙桃、天門、潛江期末】已知函數(shù)電)=/一+axlnx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

2e

(I)當(dāng)a20時(shí)，求證：X21時(shí)，f(x)>0；

(11)當(dāng)a2」時(shí)，計(jì)論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

e

【思路引導(dǎo)】

(I)求出f'(x)，令g(x)=f'(x)，求出g(x)，從而判斷g(x)的單調(diào)性，由g(3=o即可判斷f'(x)的正負(fù)情況，從而

e

求得f(x)在(0,$遞減，(t+8成增；當(dāng)X21時(shí)，f(x)2f⑴成立，命題得證。

ee

(II)對(duì)a的范圍分類討論，由g(x)=f'(x)的單調(diào)性求得g(x)mm，把a(bǔ)看作變量，求得g(x)mm的單調(diào)性，從而得

11

到h(a)4h(--)=0(當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)取等號(hào))，再對(duì)a的范圍分類討論g(x)的單調(diào)性，從而判斷f(x)的單調(diào)性，

ee

從而求得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。

【解析】

11?1,1X+3,I11

(I)由f(x)=x--+a(lnx+l),易知f㈠=0,設(shè)g(x)=f(x)，則g(x)=—,當(dāng)aNO時(shí)，g(x)>0,又f㈠=8㈠=0

eexee

???0<x<—時(shí)，g(x)<0,x>-時(shí)，g(x)>0,即f(x)在(0,-)遞減，(一,+8)遞增：所以當(dāng)x21時(shí)，f(x)>f(l)=--->0

eeee2e

得正

1

(U)由(I)可得，當(dāng)a20時(shí)，f(x)當(dāng)且僅當(dāng)在x=一處取得極小值，無(wú)極大值，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為I；

e

11

當(dāng)-Ya<0時(shí)，易知g(x)在(0,-a)遞減，(-a,+?>)遞增，所以g(x)mm=g(-a)=--+aln(-a),又設(shè)

ee

11,1

h(a)=—+aln(-a)?其中—4a<0,則h(a)=l+ln(-a)SO對(duì)—4a<0t旦成立,所以h(a)單調(diào)遞減，

eee

h(a|4h(--)=0(當(dāng)且僅當(dāng)2=--時(shí)取等號(hào))，所以當(dāng)a=-U寸，g(x)20即f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，故此時(shí)極值點(diǎn)

eee

個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，g(x)在(.a,+?>)遞增，又gd)=O,所以當(dāng)-aSx<%寸g(x)<0,

eeee

當(dāng)寸g(x)>0,即3總在x="b取得極小值；又當(dāng)x10且x>0時(shí)，8僅)9+8,所以存在唯一X。6(°，?a)使

ee

得以")=。，且當(dāng)°<x<x0a寸g(x)>o,當(dāng)％<x?a時(shí)綱<0,則心)在*=%處取得極大值；故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)

為2;

綜上，當(dāng)a=4寸，W)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;當(dāng)」<a<0時(shí)，f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2：當(dāng)a200才(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)

ee

為1.

2.12019山東棗莊期末】已知f(x)=eX_ax2(aWR).

⑴求函數(shù)f'(x)的極值；

(ID^g(x)=xex-f(x)?若g(x)有1個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

【思、路弓I導(dǎo)】

⑴?求得函數(shù)的f'(x)=eX-2ax,f"(x)=eX_2a，將a分成a40,a>0兩類，利用彳&)的正負(fù)情況，得到f'(x)的單調(diào)

區(qū)間，進(jìn)而求得f'(x)的極值,(1【)先求得函數(shù)g(x)的表達(dá)式，并求得其導(dǎo)數(shù)g(x)，對(duì)a分成

111

a>0,a=0,--<a<0,a=--,a<--5類，利用g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值情況，結(jié)合題意“g(x)W兩個(gè)零點(diǎn)''的要求，

求得a的取值范圍.

【解析】

(1)，《)=?、-22小扁=1-23.(1)若2?0,顯然f"(x)>0,所以f'(x)在R上遞增，所以f'(x)沒(méi)有極值.(2)若a>0,

fflf"(x)<00x<In2a?f"(x)>0<=>x>ln2a?所以f'(x)在(-8,ln2a)上是減函數(shù)，在(In2a,+8)上是增函數(shù).所以為)在

x=ln2a處取極小值，極小值為f'(|n2a)=2a(l-ln2a>(II)g(x)=xe'-f(x)=(x-l)e'+ax?.函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽，

g(x)=xex+2ax=x(ex+2a).(1)/1a>0,W,Jg(x)<0<=>x<0：g(x)>O^x>0.所以g(x)在L0,。)上是減函數(shù)，

在(0,+8)上是增函數(shù).所以g(x；min=g(°)=T.令h(x)=(x-l)ex，則h'(x)=xJ.顯然h'(x)<0<=>x<0，所以

h(x)=(x-l)ex在(-8,0)上是減函數(shù).乂函數(shù)y=ax?在(-8,0)上是減函數(shù)，取實(shí)數(shù)-〒<0，則

=-1+1=O.Xg(O)=-1<O,g(l)=a>O.g(x)ffi(-8,0)上是減函數(shù)，在(0,+8)上是增函

數(shù).由零點(diǎn)存在性定理，g(x)在(-三,0卜0,1)上各有一個(gè)唯一的零點(diǎn).所以a>0符合題意.(2)若a=0,則

g(x)=(x-l)e'，顯然g(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)L所以a=。不符合題意.(3)若a<0,則g(x)=*同-押②)].①若|n(-2a)=0,

貝必=一.此時(shí)g(x)20,即g(x)在R上遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，所以a=q不符合題意.②若ln(-2a)<0,則

--<a<0,函數(shù)g(x注(-8jn(-2a))上是增函數(shù)，在(ln(-2a),0)上是減函數(shù)，在(0,?上是增函數(shù)，所以g(x在

2

x=ln(-2a)處取得極大值，且極大值g(ln(-2a))=a{[ln(-2a)-l]2+1}<0,所以g(x最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以-?<③<。

不符合題意.③若ln(-2a)>0,則a函數(shù)g(x在濟(jì)口(ln(-2a),?一)上遞增，在(0Jn(-2a))上遞減，所以g(x)

2

在x=。處取得極大值，且極大值為6(。)=Tv。，所以6(x最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以。<一不符合題意.綜上所述,

2

a的取值范圍是⑹+8).

【同步訓(xùn)練】

1.己知函數(shù)/(x)=e[^(A)=--X2-X,(.其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，6=2.71828……).

2

(1)令r(%)=f(x)+g(x)，求人(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)己知/(x)在R=()處取得極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】

(1)求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得〃(x)=eX-4,再根據(jù)是否變號(hào)進(jìn)行分類討論單調(diào)性：當(dāng)。工0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào),

為單調(diào)遞增；當(dāng)。>0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間為先減后增(2)由題意得/(0)=0,結(jié)合(1)

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)〃(x)單調(diào)性分類討論在x=0處是否為極小值：當(dāng)“W0時(shí)，/(x)在工=0附近先減后增，

為極小值；當(dāng)。>0時(shí)，按In。與零大小關(guān)系進(jìn)行二次討論：1M〈0,廣(工)在(1114,+8)單調(diào)遞增；

“X)在犬=0附近先減后增，為極小值；當(dāng)〃=1時(shí)，r(x)>0,無(wú)極值；ln〃>()時(shí)，

在(一8,1恒)單調(diào)遞減；/")在x=0附近先增后減，為極大值；綜上可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

試題解析：(I)因?yàn)椋?x)=e'-6T,所以〃")=/一明

當(dāng)a”時(shí)，^(x)>0,力⑺的單調(diào)遞熠區(qū)間為(/：+孫

當(dāng)a>0時(shí)，由%'(%)=/一〃=0,得x=lntz,xw(ix』na|時(shí)，Zzf(x)<0,xe(lnq+ao)時(shí),

〃(x)>0,所以〃(％)的城區(qū)間為(YOJM),增區(qū)間為(Inq+x)

綜上可得，當(dāng)a&O時(shí)，〃(x)在(Y0>8)上單調(diào)遞增

當(dāng)a>0時(shí)，方(X)的增區(qū)間為(1nq+x),減區(qū)間為

(II】由題意得/<(%)=--ax-l,門0)=0,

⑴當(dāng)4W0時(shí),尸(工)在(Y°，X°)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％<o時(shí)，ra)</(o)=o,當(dāng)丁>。時(shí)，"力>/'(0)=0,

所以，(力在X=O處取得極小值，符合題意.

(2)當(dāng)Ovavl時(shí),lna<0,由(I)知廣(x)在(1取m)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe(lnaO)時(shí),/'(x)<r⑼=0,當(dāng)x<0,+8)時(shí)，，㈤"(0)=0,

所以〃x)在x=0處取得極小值，符合題意.

⑶當(dāng)。=1時(shí),由(I)知門x)在區(qū)間(-8,Ina)單調(diào)遞減,/'("在區(qū)間(1必+8)單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=ln〃處取得最小值,即f\x)>/(In。)=/'(())=0,

所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以/(“在x=0處無(wú)極值，不符合題意.

(4)當(dāng)a>l時(shí)，1M>0,由［I)知/'(M的減區(qū)間為一(-co,In。)，所以當(dāng)xw(—8,0)時(shí)，

r(x)>/(O)=O,當(dāng)xe(O,ln〃)時(shí)，:(力<:(0)=0,

所以/(x)在x=0處取得極大值，不符合題意，

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,1).

2.設(shè)/(x)=jdnE-ad+(2a-l)x,awR..

(1)令g(x)=r(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知/(X)在X=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間主要是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于零和小于零分別解出所對(duì)應(yīng)的增減區(qū)

間，但要含參問(wèn)題時(shí)則要注意討論，由.g'(x)=L—2。=上匚竺，根據(jù)a的不同取值盡享討論即可得出單調(diào)

XX

區(qū)間；(2)已知/(x)在x=l處取得極大值，故/(1)=0,然后根據(jù)第一問(wèn)單調(diào)性的討論驗(yàn)證函數(shù)是否在

1處取得極大值即可得出正確a的取值范圍.

試題解析：<1)4f(x)=lnx-2ac+2a,可得？(刈=m丫-2內(nèi)+2?%￡(0,收)，

貝1/(司=工-2。=工^，

XX

當(dāng)awo時(shí)，xe(0：+x)時(shí)，g'(x)>0,困額g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，xjo：；)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；時(shí)，g'(%)<0,函數(shù)

g(x)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a40時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,包)；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為；+8).

(2)由(1)知，/\1)=().

①當(dāng)aWO時(shí)，/'(X)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)X￡(0,l)時(shí)，/'(%)<0,“可單調(diào)遞減.當(dāng)X￡(l,+8)時(shí)，/\x)>0,/(X)單調(diào)遞增.

所以在x=l處取得極小值，.不合題意.

②.當(dāng)0<〃<；時(shí)，(>1,由(1)知r(x)在(0,()內(nèi)單調(diào)遞增，

可得當(dāng)XE(O,I)時(shí)，r(x)<o；時(shí)，廣(力>0,

所以/(x)在((),1)內(nèi)單調(diào)遞減，在[1,-L)內(nèi)單調(diào)遞增，所以/(X)在X=1處取得極小值，不合題意.

③當(dāng)Q時(shí)，即(=1時(shí)，/'(X)在(。，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)工?0,+8)時(shí)，/'(X)”O(jiān),單調(diào)遞減，不合題意.

④當(dāng)時(shí)，即,當(dāng)時(shí)，尸(X)>O,/(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)XW(l,+8)時(shí)，/'(力<0,/(X)單調(diào)遞減，

所以“X)在工=1處取得極大值，合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為學(xué)*科網(wǎng)

2

3.已知函數(shù)f(x)=/-(a-l)x+b-

(1)求函數(shù)f(x)的極小值;

【思路引導(dǎo)】

(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)f'(x)=e'-a+l.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行分類討論：當(dāng)a41時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，無(wú)極

小值；當(dāng)a>l時(shí)，導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，有一個(gè)極小值

試題解析：(1)f(x)=ex.a41.

當(dāng)aS1時(shí)，f'(x)>0,f(x)在R上為增函數(shù)，函數(shù)F)無(wú)極小值；

當(dāng)a>l時(shí)，令f(x)=0,解得x=ln(a.l).

若xW(-8,ln(a-1)),則f&)<0,f(x)單調(diào)遞減；

若xe(ln(a-1),+??),則f&)>0,f(x)單調(diào)遞增.

故函數(shù)f(x)的極小值為f(ln(a-l))=(a-1)|1-ln(a-l)]-b.

4.Sf(x)=x(lnx-l)+a(2x-x2)?aWR.

(1)令g(x)=f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)已知f(x)在x=l處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】

(1)先求f(x)導(dǎo)數(shù)得g(x),再求函數(shù)g(x)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a討論導(dǎo)數(shù)是否變號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間(2)根據(jù)才討論

f(x)單調(diào)性，確定極值取法：當(dāng)a<-時(shí)，x€(0,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，x6(1,+8)時(shí)f(x憚?wù){(diào)遞增，f(x)在x=1

111\

處取得極小值；當(dāng)a?時(shí)，xe(o,+8)時(shí)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)a>-時(shí)，xe|—,1］時(shí)，f(x)單調(diào)遞增,

22\2a/

x6(1,+8)時(shí)f(x)單調(diào)遞減，f(x)在x=1處取得極大值.

試題解析：(I)由f(x)=Inx-2ax+2a.

可得8(幻=Inx-2ax+2a?xe(0,+F,

..1l-2ax

貝必(x)=i2a=---------,

xx

當(dāng)aSOfl寸，xW(0,+8)時(shí)，8僅)>0,函數(shù)綱單調(diào)遞增，

當(dāng)a>OB寸，x€|o.3時(shí)，g(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x€(l.時(shí)，g(x)<0,函數(shù)g8單調(diào)遞減.

所以當(dāng)a4OR寸，函額或幻的單調(diào)遞增區(qū)間為(0.+8),

當(dāng)a>O0寸，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0.2a卜單調(diào)遞減區(qū)間為2a.+8卜

(II)由(I)知，41)=0.

①當(dāng)a40時(shí)，f'(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x€(0,1)時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x6(l,+8)時(shí)，,僅)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=l處取得極小值，不合題意.

②當(dāng)0<a1時(shí)，—>1,由(I)知f'(x)在(0,j內(nèi)單調(diào)遞增，

可得當(dāng)x€(0,1)時(shí)，f(x)<0，xE(l,—)時(shí)，f'(x)>S

2a/

芻內(nèi)單調(diào)遞增,

所以f(x庵(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在1,

所以f(x)在X=1處取得極小值，不合題意.

⑦當(dāng)a=5寸，即2=1,沁)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在3?間內(nèi)單調(diào)遞減，

22a

所以當(dāng)x€(0.+8)時(shí)，f(x)40,?)單調(diào)遞減，不合題意.

?當(dāng)a>/，BPO<—<1,當(dāng)叩寸，f(x)>0,f“)單調(diào)遞增，

當(dāng)xW(l.+F時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)任x=l處取得極大值，合題意.

1

綜上可知，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為a

2

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)極值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)如圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).

⑵已知函數(shù)求極值.求f'(xL求方程f'(x)=0的根一>列表檢驗(yàn)f'(x)在f'(x)=0的根的附近兩側(cè)的符號(hào)一下結(jié)論.

⑶已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)僅0右)處取得極值，則f'(xo)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.

5.設(shè)/(x)=(jdnx+aY+〃2,a>-2.

(1)若〃=0,求/")的單調(diào)區(qū)間：

⑵討論/(X)在區(qū)間g,+8)上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

【思路引導(dǎo)】

(1)先求函數(shù)/(1)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間(2)先求函數(shù)

/⑺導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究g(x)=lnx+xlnx+〃x+/零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用二次求導(dǎo)易得g(“在區(qū)間(1，依上

Ie)

單調(diào)遞增，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于最小值的大小，討論其最小值與零的大小得到極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：(1)當(dāng)。=0時(shí)：/(x)=(xlnx-l)^\(x>0)

故/'(x)=0nx+1+xlnx-Y)eK=Inx(x+l)2，

當(dāng)無(wú)=1時(shí)：/'(x)=O,當(dāng)五>1時(shí)：/1(x)>0,當(dāng)xvl時(shí)：/1(x)<0.

故的減區(qū)間為:(0,1),增區(qū)間為(L?)

(2)/(x)=(Inx+xlnx+ax+

令g(?=Inx+xlnx+5+a"故g'(x)=」+ln汗+1+a,g'(x)=--y+-,

XXX

顯然g(1)=o,又當(dāng)Xv1時(shí)：g"③<0.當(dāng)X>1時(shí)：g"(x)>0.

故g'(x).=g'(l)=2+a,之一2,二g'(x)Ng'(x)11dtt=2+aN0.

故g@)在區(qū)間(LEO)上單調(diào)遞增，

&

注意到：當(dāng)天7+0□時(shí)，g0)?用，故g。)在(L+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由g(-)=3-1)3+1+3的符

eee

號(hào)決定.

①當(dāng)目(3之0,即：-2&aST-」或0時(shí)：g(x)在區(qū)間(L*。)上無(wú)零點(diǎn)，即/(乃無(wú)極值點(diǎn).

eee

②當(dāng)g(3<0,即：-1-工<。<1時(shí)：g(x)在區(qū)間(±*。)上有唯一零點(diǎn)，即/(彳)有唯一極值點(diǎn).

eee

綜上：當(dāng)一24。4一1一」或。N1時(shí)：在(2,e)_L無(wú)極直點(diǎn).

。e

當(dāng)時(shí)：/(外在(」,鈾)上有唯一極值點(diǎn).

ee

6.已知函數(shù)/")=￡、_(。_1)/一〃.

⑴求函數(shù)“X)的極小值；

【思路引導(dǎo)】

身+*2

(1)/'(x)=/-Q+l,對(duì)a分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極小值；(2)要證。>e2+1成立，

x

_p\X2f*7]_1

即證e2<a-l=-------,只需證e2<----------.

馬一百々一%

試題解析：⑴/'(x)=ex-a+l.

當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,〃幼在K上為增函數(shù)，函數(shù)〃x)無(wú)極小值;

當(dāng)々>1時(shí)，令尸(力=0,解得x=ln(aT).

若46(-30,皿4一1)),則/'(X)<O,/(X)單調(diào)遞減；

若xe(ln(a-l),+8),則尸⑶>0,f(x)單調(diào)遞增.

故函數(shù)了⑺的極小值為〃皿〃-1))=(。一1)口一皿々-1)]-6.

7.設(shè)函數(shù)〃、)=0-&(2川。<)(%為常數(shù)，”=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

XX

(1)當(dāng)人40時(shí)，求函數(shù)/5)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(X)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求A的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】

(I)求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(II)函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于它的導(dǎo)函數(shù)F(x)在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的零

點(diǎn).

試題解析：(D.函數(shù)y=/(])的定義域?yàn)?0、+oo),

「㈤二七丁仁卜(一+n==…

r*\x2I)NI1Xs

由上二0可得"一人工>0,

所以當(dāng)工€(0,2)時(shí),廣(%)<0,函數(shù)”為單調(diào)遞減;

當(dāng)工€(2,+oo)時(shí)，/(x)>0,函數(shù)/")單調(diào)遞增；

所以J(.r)的單調(diào)遞遍區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8).

(2).由1知，k<OHJ,函數(shù)/(H)在(1),2)內(nèi)單調(diào)遞減，

故在(()、2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)-；

當(dāng)K>。時(shí)，設(shè)函數(shù)4(/)=/一k.r,r三0+8),

因?yàn)間，3=e1—fc=ex—**,

當(dāng)0<kg1時(shí)，當(dāng)了€(0.2)時(shí)，O'(T)=rx-A->0,v=。(工憚?調(diào)遞增:

故/(工於(0、2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)A?>1時(shí)，得」.€(0,Ink)時(shí)，，(丁)<0,函數(shù)"=q(T憚?wù){(diào)遞減；

x€(Infc+8)時(shí)，g'(N)>0,函數(shù)"=Mr憚?wù){(diào)遞增;

所以函數(shù)0=g(?的最小值為g(lnk)=All-InA；,

函數(shù)/(1)在(。、2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

p(o)>o,

當(dāng)且僅當(dāng)需？；。，解得U9

U<lnk<2

綜上所述，函數(shù)了(工游*0.2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，上的取值范圍為(1.?)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了分類討論的思想，屬于難題.函數(shù)極值

點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)為o的根的問(wèn)題，又考查了零點(diǎn)分布問(wèn)題，研究單調(diào)性結(jié)合圖像即可

8.己知函數(shù)/(x)=lnx+2-〃(4,b￡R).

X

(I)討論函數(shù)/("的單調(diào)區(qū)間與極值；

【思路引導(dǎo)】

求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，討論函數(shù)f(X.)的單調(diào)區(qū)間與極值

試題解析：(i)r(x)=l-4=^

XXX

當(dāng)b40時(shí)，，(x)>0恒成立，函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0：+8),無(wú)極值；

當(dāng)b>0時(shí)，”<0))時(shí)，/(刈<0/6(九位)時(shí),屈數(shù)〃吊的單調(diào)減區(qū)間為(0力)，增區(qū)間為(也日0),

有極小值/㈤二的?；

9.已知/(x)=e'—ad,g(x)是“X)的導(dǎo)函數(shù).

(1)求g(%)的極值;

【思路引導(dǎo)】

(