廣東省廣州市三校（廣大附中、鐵一中學(xué)、廣州外國(guó)語(yǔ)）2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．20 B．18 C．16 D．152．已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．13．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．對(duì)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量，，且回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是B．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C．若線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)程度越高D．一組數(shù)據(jù)10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位數(shù)為194．已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，為中點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．5．牛頓冷卻定律，即溫度高于周?chē)h(huán)境的物體向周?chē)劫|(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律.如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t分鐘后的溫度T滿(mǎn)足，其中是環(huán)境溫度，h為常數(shù).現(xiàn)有一個(gè)105℃的物體，放在室溫15℃的環(huán)境中，該物體溫度降至75℃大約用時(shí)1分鐘，那么再經(jīng)過(guò)m分鐘后，該物體的溫度降至30℃，則m的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.46．在三棱錐中，和均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若，則三棱錐的體積為（）A． B．4 C． D．7．已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，若第一次由甲傳出，則經(jīng)過(guò)6次傳球后，球恰在乙手中的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知?jiǎng)t（

）A． B．C． D．10．口袋里裝有2紅，2白共4個(gè)形狀相同的小球，對(duì)其編號(hào)紅球1，2，白球3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的兩球不同色”，則（

）A．與互斥 B．與互為對(duì)立事件C．與相互獨(dú)立 D．11．已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)的極小值為0B．若，則C．若，則有3個(gè)相異的零點(diǎn)D．若（其中），則三、填空題12．若，則．13．為弘揚(yáng)志愿者精神，某校舉行“樂(lè)于助人”服務(wù)活動(dòng)，現(xiàn)安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動(dòng)，每個(gè)地方至少1人，若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有種．14．2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開(kāi)始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線(xiàn)稱(chēng)作“雪花曲線(xiàn)”，又稱(chēng)“科赫曲線(xiàn)”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線(xiàn).如圖是“雪花曲線(xiàn)”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程若第1個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1，則第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)為；若第1個(gè)圖中的三角形的面積為1，則第n個(gè)圖形的面積為.四、解答題15．為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：.17．甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．(1)若比賽采用三局兩勝制，求甲獲勝的概率；(2)如果比賽采用五局三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束）進(jìn)行比賽，求比賽的局?jǐn)?shù)X的分布列和期望；(3)如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽的賽制有五局三勝制和三局兩勝制兩種選擇，請(qǐng)問(wèn)對(duì)于甲選手來(lái)說(shuō)，該如何選擇比賽賽制對(duì)自己更有利，請(qǐng)說(shuō)明理由，由此你能得出什么結(jié)論．18．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．(1)求的方程；(2)若，分別是的左、右頂點(diǎn)，不與軸垂直的動(dòng)直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)（不同于，），且直線(xiàn)的斜率等于直線(xiàn)的斜率的2倍，求證：直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．19．如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現(xiàn)將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，求球心到平面的距離；(3)求平面與平面夾角余弦值的最小值.

廣東省廣州市三校（廣大附中、鐵一中學(xué)、廣州外國(guó)語(yǔ)）2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案CADDBDACABDBC題號(hào)11答案ACD1．C【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可得，，解得，，所以.故選：C2．A【詳解】由可得，則，因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且直線(xiàn)的斜率為，即，解得.故選：A3．D【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，線(xiàn)性相關(guān)的回歸方程對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，即，解得，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，，則，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近，則兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)程度越高，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，共有個(gè)按從小到大排列的數(shù)據(jù)，，根據(jù)定義第百分位數(shù)為第項(xiàng)和第項(xiàng)的平均數(shù)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故答案為：D4．D【詳解】由為中點(diǎn)，為正三角形，所以，如圖所示：由圖可知，所以.因?yàn)檫呴L(zhǎng)，所以根據(jù)勾股定理可得.所以.故選：D.5．B【詳解】由，有，又，有，即，則，解得，故選：B.6．D【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖由和均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可知，由可知，，在等腰三角形中，，因?yàn)槠矫?所以平面,所以，故選：D7．A【詳解】由題意知，，且A，B都在雙曲線(xiàn)的右支上．設(shè)，則，，．在中，，得，則，.在中，，即，得．所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選：A.8．C【詳解】設(shè)事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知可知：，又，所以，構(gòu)造等比數(shù)列，因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑?，可認(rèn)為第次傳球在甲，即，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑颍蠖际堑瓤赡艿貙⑶騻鹘o另外兩個(gè)人中的任何一人，所以乙、丙地位對(duì)稱(chēng)，即，所以經(jīng)過(guò)次傳球后，球恰在乙手中的概率為.故選：C.9．ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)?，，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)且時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確，故選：ABD.10．BC【詳解】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12種，事件“12，13，14，21，23，24”；事件“12，21，31，41，32，42”；事件“12，21，34，43”；事件“13，14，23，24，31，41，32，42”．∵，∴與不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；，，∴與互為對(duì)立事件，故B正確；事件“12，21”，∴，，，，∴與相互獨(dú)立，故C正確；事件“31，41，32，42”，，，∴，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11．ACD【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為0，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)相異零點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，要證，只需證明，由在上單調(diào)遞增，需證明，即當(dāng)時(shí)，證明，構(gòu)造函數(shù)（其中），則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以D正確．故選：ACD.12．【詳解】．故答案為：．13．【詳解】安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動(dòng)，每個(gè)地方至少1人，則將4人按分組，若不考慮限制條件，則此時(shí)不同的安排方式有種，當(dāng)甲和乙去同一個(gè)地方時(shí)，有種不同的安排方式，所以若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有種.故答案為：14．【詳解】記第個(gè)圖形為，三角形邊長(zhǎng)為，邊數(shù)，周長(zhǎng)為，面積為有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；分析可知，即；，即當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1時(shí)，即，所以由圖形可知是在每條邊上生成一個(gè)小三角形，即即，，，利用累加法可得數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故是以為公比的等比數(shù)列，當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的面積為1時(shí)，，即，此時(shí)，，有條邊，則所以，所以故答案為：，15．(1)(2)【詳解】（1）由，①可得．②由得．，．又當(dāng)時(shí)，得．解得（舍去）可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列即．（2）由（1）知，可得．因此；可得16．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意得，，.因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的正根，所以，解得.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，由得或.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題意.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由（1）知，，所以，所以.令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以函?shù)存在唯一零點(diǎn)，即，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，存在最小值，即.因?yàn)?，所以，所以，所?17．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)事件“比賽采用三局兩勝制甲勝”，則．（2）比賽的局?jǐn)?shù)為X的所有可能取值為3，4，5，可得，，．

所以隨機(jī)變量的分布列為：X345P所以期望為．（3）采用三局二勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率，

采用五局三勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率：．

令，因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)時(shí)，選擇三局兩勝制對(duì)甲有利；當(dāng)時(shí)，選擇五局三勝對(duì)甲有利；當(dāng)時(shí)，選擇五局三勝制和三局兩勝制對(duì)甲沒(méi)有影響．

由此可以得出，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.18．(1);(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意得：，，所以解得，即橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，與橢圓聯(lián)立，消得：，其中，設(shè)，則，由已知得：，再化簡(jiǎn)得：，代入得：，整理得：，因?yàn)橹本€(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以直線(xiàn)的方程為，因此直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn).19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)椋?且的中點(diǎn)，所以，又平面，故平