高中長沙一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$，其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$的零點個數(shù)是：

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面內(nèi)的幾何位置是：

A.在實軸上B.在虛軸上C.在坐標(biāo)原點D.在直線$x=0$上

3.在三角形ABC中，若$AB=AC$，且$\angleBAC=120^\circ$，則三角形ABC的外接圓半徑是：

A.$AB$B.$\frac{AB}{2}$C.$\frac{AB}{\sqrt{3}}$D.$\frac{AB}{\sqrt{2}}$

4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差$d=2$，且$a_1=3$，則第10項$a_{10}$是：

A.21B.23C.25D.27

5.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則函數(shù)$f(x)$的極值點個數(shù)是：

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.在平面直角坐標(biāo)系中，若點A（1，2）和點B（3，4）在直線$y=2x+b$上，則$b$的值為：

A.0B.1C.2D.3

7.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則函數(shù)$f(x)$的極值點個數(shù)是：

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q=2$，且$a_1=3$，則第5項$a_5$是：

A.48B.96C.192D.384

9.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$在區(qū)間[-2，2]上的圖像是：

A.拋物線B.雙曲線C.圓D.直線

10.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=15n^2+10n$，則第10項$a_{10}$是：

A.100B.110C.120D.130

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，屬于奇函數(shù)的有：

A.$f(x)=x^3-x$

B.$f(x)=x^2+1$

C.$f(x)=\sin(x)$

D.$f(x)=\cos(x)$

2.在下列各對數(shù)函數(shù)中，函數(shù)值隨自變量增大而增大的有：

A.$y=\log_2(x)$

B.$y=\log_5(x)$

C.$y=\log_{\frac{1}{2}}(x)$

D.$y=\log_{\frac{1}{3}}(x)$

3.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，以下關(guān)于該函數(shù)的說法正確的是：

A.函數(shù)的對稱軸為$x=2$

B.函數(shù)在$x=2$時取得最小值

C.函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點

D.函數(shù)的圖像是一個開口向上的拋物線

4.下列各三角形中，一定是等邊三角形的是：

A.頂角為$60^\circ$的等腰三角形

B.兩條邊長分別為5和5，第三邊長為10的三角形

C.兩條邊長分別為6和8，第三邊長為10的三角形

D.兩條邊長分別為8和8，第三邊長為10的三角形

5.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=3n^2-2n$，則以下說法正確的是：

A.第一項$a_1=1$

B.公差$d=4$

C.第10項$a_{10}=28$

D.前10項的和$S_{10}=240$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項分別為1，2，3，則該數(shù)列的通項公式為______。

2.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$的零點為______。

3.在直角坐標(biāo)系中，點P（3，4）關(guān)于直線$y=2x$的對稱點坐標(biāo)為______。

4.若復(fù)數(shù)$z=2+3i$的模長為______。

5.二項式$(x+1)^5$的展開式中，$x^3$的系數(shù)為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；

(2)函數(shù)的極值點；

(3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

2.解下列方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

5x-y=2

\end{cases}

\]

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3^n-2^n$，求：

(1)數(shù)列的前5項；

(2)數(shù)列的前$n$項和$S_n$。

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項$a_1=2$，公差$d=3$，求：

(1)第10項$a_{10}$；

(2)前10項和$S_{10}$；

(3)若$a_n>0$，求$n$的最大值。

5.求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求其在區(qū)間$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$上的單調(diào)性。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.D

解題過程：$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=\frac{2}{3}$，因此有三個零點。

2.A

解題過程：$|z-1|=|z+1|$表示$z$到點1和點-1的距離相等，即$z$在實軸上。

3.C

解題過程：等邊三角形的外接圓半徑等于邊長。

4.A

解題過程：$a_{10}=a_1+(10-1)d=3+9\times2=21$。

5.B

解題過程：$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，令$f'(x)=0$，解得$x=-1$，$x=1$，因此有兩個極值點。

6.C

解題過程：將點A和B代入直線方程，解得$b=2$。

7.A

解題過程：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=\frac{2}{3}$，因此有一個極值點。

8.A

解題過程：$a_5=a_1\cdotq^4=3\cdot2^4=48$。

9.C

解題過程：$\sqrt{x^2-4}$的圖像是一個圓，圓心在原點，半徑為2。

10.C

解題過程：$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=15n^2+10n$，解得$a_1=1$，$d=4$，$a_{10}=a_1+(10-1)d=28$。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.AC

解題過程：奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，A和C滿足條件。

2.AD

解題過程：對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，函數(shù)值隨自變量增大而增大。

3.ACD

解題過程：對稱軸為$x=\frac{6}{2}=3$，最小值為$f(3)=4$，圖像為開口向上的拋物線。

4.AD

解題過程：等邊三角形的頂角為$60^\circ$，邊長為10的三角形是等邊三角形。

5.ABCD

解題過程：根據(jù)等差數(shù)列的前$n$項和公式，計算各項正確。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.$a_n=3n-2$

2.$x=1$

3.P'(-1,-2)

4.$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

5.20

四、計算題（每題10分，共50分）

1.

(1)$f'(x)=3x^2-6x+4$

(2)極值點為$x=1$，$x=\frac{2}{3}$

(3)單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,\frac{2}{3})$和$(1,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(\frac{2}{3},1)$

2.

解題過程：將第一個方程乘以5，第二個方程乘以2，相加消去y，得到$14x=42$，解得$x=3$，代入任意一個方程解得$y=2$。

3.

(1)$a_1=1,a_2=5,a_3=13,a_4=35,a_5=91$

(2)$S_n=\frac{n(3-2^n)}{2}$

4.

(1)$a_{10}=2+9\times3=29$

(2)$S_{10}=\frac{10(2+29)}{2}=155$

(3)$a_n=2+(n-1)\times3>0$，解得$n>1$，$n$的最大值為無窮大。

5.

$f'(x)=\frac{(x^2-4)'(x-2)-(x^2-4)(x-2)'}{(x-2)^2}=\frac{2x(x-2)-(x^2-4)}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^2}$

單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為無。

知識點總結(jié)：

1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值

2.復(fù)數(shù)的性質(zhì)和運算

3.三角形的性質(zhì)和計算

4.數(shù)列的性質(zhì)和計算

5.方程組的求解

6.對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

7.二項式定理的應(yīng)用

8.函數(shù)的單調(diào)性和圖像

9.數(shù)列的前$n$