學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2017年秋季學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（理)試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）命題人:審題人:注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的考號(hào)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)、班級(jí)在答題卡上填寫清楚。2。每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。在試卷上作答無效。第Ⅰ卷一．選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．已知集合A＝{x|｜x|〈2｝，B＝｛－1，0，1,2，3｝,則A∩B＝A．{0,1} B．{0，1，2｝C．{－1,0，1} D．{－1，0,1,2}2．若f(x）是定義在R上的函數(shù),則“f（0)＝0”是“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)"的A．必要不充分條件B．充要條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件3．已知向量a＝(k，3)，b＝（1,4）,c＝(2,1），且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)kA．－eq\f（9,2）B．0C．3D．eq\f（15，2）4．已知等差數(shù)列｛an｝前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝A．100B．99C．98D．975．如圖所示的程序框圖的算法思路源于世界數(shù)學(xué)名題“3x＋1問題”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的N＝3，則輸出的i＝A．9B．8C．7D．66．設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，l、m是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是A．若l∥α，α∩β＝m,則l∥mB．若l∥m，m?α，則l∥αC．若l∥α，m∥β，且α∥β,則l∥mD．若l⊥α，m⊥β且α⊥β,則l⊥m7．直線l過點(diǎn)（1，0），且傾斜角為直線l0:x－2y－2＝0的傾斜角的2倍，則直線l的方程為A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝08．函數(shù)f(x）＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（π，4)））的圖象的一條對(duì)稱軸是A．x＝eq\f(π，4）B．x＝eq\f（π,2)C．x＝－eq\f（π,4)D．x＝－eq\f（π，2)9．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2,則該球的表面積為A．eq\f（81π,4）B．16πC．9π D．eq\f（27π,4)10．等比數(shù)列{an}中，對(duì)任意正整數(shù)n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，則aeq\o\al（2，1)＋aeq\o\al(2，2)＋aeq\o\al(2，3)＋…＋aeq\o\al(2,n）等于A．eq\f(1,3）（4n－1）B．eq\f(1,3)（2n－1）C．4n－1D．(2n－1)211．已知函數(shù)f(x)＝2x＋x,g(x）＝log2x＋x，h（x)＝x3＋x的零點(diǎn)依次為a,b,c，則a,b,c的大小關(guān)系為A．a(chǎn)〈b<cB．a(chǎn)〈c〈bC．a(chǎn)>b>c D．c>a〉b12．已知橢圓eq\f(x2,6）＋eq\f(y2,2）＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，直線l:y＝kx＋m與橢圓相切，記F1，F(xiàn)2到直線l的距離分別為d1，d2，則d1d2的值是A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷二．填空題（本大題共4小題，每小題5分)13．已知向量a，b滿足(2a－b）·(a＋b）＝6，且｜a|＝2，|b|＝1，則a與b14．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過3分鐘的概率是．15．已知x,y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y≥0,，x＋y≤2，，y≥0.))若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝．16．函數(shù)f（x）是定義在[－4，4］上的偶函數(shù),其在［0，4]上的圖象如圖所示，那么不等式eq\f（fx,cosx）〈0的解集為________．三．解答題（本大題共6小題,共70分，解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17．（本題滿分10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（2b－c）cosA＝acosC．(1）求角A的大小;（2）若a＝3，b＝2c,求△ABC18．（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x）＝eq\f(x，3x＋1),數(shù)列{an｝滿足a1＝1，an＋1＝f(an）(n∈N*)．（1）證明數(shù)列｛eq\f（1,an)}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（2）記Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求S19．(本題滿分12分）在某大學(xué)聯(lián)盟的自主招生考試中，報(bào)考文史專業(yè)的考生參加了人文基礎(chǔ)學(xué)科考試科目“語文”和“數(shù)學(xué)”的考試．某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，本次考試中成績(jī)?cè)冢?0,100]內(nèi)的記為A,其中“語文”科目成績(jī)?cè)赱80，90)內(nèi)的考生有10人．（1）求該考場(chǎng)考生數(shù)學(xué)科目成績(jī)?yōu)锳的人數(shù);（2)已知在本考場(chǎng)參加考試的考生中，恰有2人的兩科成績(jī)均為A，在至少一科成績(jī)?yōu)锳的考生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談,求這2人的兩科成績(jī)均為A的概率．20．(本題滿分12分)如圖所示，平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4,四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA,BD＝eq\f（1，2）AE＝2，O，M分別為CE，AB的中點(diǎn)．（1)求證：OD∥平面ABC；（2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；21．(本題滿分12分)已知橢圓eq\f(x2，4）＋eq\f(y2，3）＝1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)．(1)求該橢圓的離心率;（2)設(shè)直線AB和AC分別與直線x＝4交于點(diǎn)M,N,問:x軸上是否存在定點(diǎn)P使得MP⊥NP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,說明理由．22．(本題滿分12分）某漁業(yè)公司今年年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬元．從第二年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上一年增加4萬元．該船每年捕撈總收入50萬元．(1)問捕撈幾年后總盈利最大,最大是多少?（2）問捕撈幾年后的平均利潤最大，最大是多少？

云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2017年秋季學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（理)答案一．CACCBDDCAABB二．13．eq\f(2π，3）14．15．216．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2),－1））∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，\f（π，2）））三．17．[解］(1)根據(jù)正弦定理，由（2b－c)cosA＝acosC，得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA,即2sinBcosA＝sin(A＋C)，所以2sinBcosA＝sinB，因?yàn)?<B〈π，所以sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<A<π,所以A＝eq\f(π,3).(2)因?yàn)閍＝3,b＝2c,由(1)得A＝eq\f(π,3）,所以cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝eq\f(4c2＋c2－9，4c2)＝eq\f（1，2）,解得c＝eq\r（3），所以b＝2eq\r（3）。所以S△ABC＝eq\f（1，2)bcsinA＝eq\f(1,2）×2eq\r(3）×eq\r（3)×eq\f（\r(3)，2)＝eq\f（3\r（3),2）.(2）設(shè)數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn<2．18．［解]（1)證明：由已知得,an＋1＝eq\f（an,3an＋1）?！鄀q\f（1，an＋1)＝eq\f（1，an）＋3.即eq\f（1，an＋1)－eq\f（1，an）＝3?！鄶?shù)列｛eq\f（1,an)｝是首項(xiàng)eq\f(1，a1）＝1,公差d＝3的等差數(shù)列．∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1）×3＝3n－2.故an＝eq\f(1,3n－2)（n∈N＊）（2)∵anan＋1＝eq\f（1,3n－23n＋1)＝eq\f(1,3)（eq\f（1，3n－2）－eq\f(1，3n＋1)）∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋ana＝eq\f(1，3)[（1－eq\f（1,4））＋(eq\f(1,4）－eq\f（1,7））＋…＋（eq\f（1，3n－2）－eq\f（1，3n＋1））］＝eq\f(1，3）(1－eq\f(1,3n＋1)）＝eq\f(n,3n＋1）。19．[解]（1）該考場(chǎng)的考生人數(shù)為10÷0.25＝40。數(shù)學(xué)科目成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)為40×（1－0。0025×10－0。015×10－0.0375×10×2）＝40×0。075＝3.（2）語文和數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锳的各有3人,其中有兩人的兩科成績(jī)均為A，所以還有兩名同學(xué)只有一科成績(jī)?yōu)锳。設(shè)這四人為甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的兩科成績(jī)均為A，則在至少一科成績(jī)?yōu)锳的考生中,隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談,基本事件為{甲,乙}，｛甲,丙}，{甲,丁}，{乙，丙}，｛乙，?。?，{丙，?。?，共6個(gè)．設(shè)“隨機(jī)抽取2人，這2人的兩科成績(jī)均為A”為事件M，則事件M包含的事件有1個(gè)，則P(M)＝eq\f（1，6）。20．（1)證明如圖，取AC中點(diǎn)F，連接OF，F(xiàn)B.∵F是AC中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)，∴OF∥EA且OF＝eq\f（1，2)EA。又BD∥AE且BD＝eq\f(1，2)AE，∴OF∥DB且OF＝DB，∴四邊形BDOF是平行四邊形，∴OD∥FB。又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC，∴OD∥平面ABC.(2）解∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB,DB?平面ABDE，且BD⊥BA，∴DB⊥平面ABC.∵BD∥AE,∴EA⊥平面ABC。又△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC,∴∠ACB＝90°，∴以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示．∵AC＝BC＝4，∴C（0，0，0）,A(4，0，0),B(0,4，0)，D(0，4，2)，E(4，0,4）,O(2,0，2）,M(2,2，0），∴eq\o(CD，\s\up6(→）)＝(0，4，2），eq\o（OD，\s\up6（→)）＝（－2，4，0），eq\o（MD,\s\up6(→))＝（－2，2,2）．設(shè)平面ODM的法向量為n＝(x，y，z），則由n⊥eq\o（OD,\s\up6(→）），n⊥eq\o(MD,\s\up6（→))，可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－2x＋4y＝0，，－2x＋2y＋2z＝0。)）令x＝2，得y＝1，z＝1，∴n＝（2，1,1）．設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ，則sinθ＝eq\f（｜n·\o（CD，\s\up6(→）)|,|n|｜\o（CD，\s\up6（→）)｜）＝eq\f（|2，1，1×0，4,2|,\r（22＋12＋12)×\r（02＋42＋22)）＝eq\f(6，\r（6)×2\r(5)）＝eq\f(\r（30)，10）?！嘀本€CD和平面ODM所成角的正弦值為eq\f（\r（30)，10）.21．［解]（1）由橢圓方程可得a＝2，b＝eq\r（3)，從而橢圓的半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝1。所以橢圓的離心率為e＝eq\f(c，a）＝eq\f(1，2）。（2）依題意，直線BC的斜率不為0，設(shè)其方程為x＝ty＋1。將其代入eq\f(x2,4）＋eq\f（y2，3)＝1，整理得（4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），所以y1＋y2＝eq\f（－6t,4＋3t2)，y1y2＝eq\f(－9,4＋3t2).易知直線AB的方程是y＝eq\f(y1,x1＋2）（x＋2），從而可得M(4,eq\f(6y1，x1＋2））,同理可得N(4，eq\f（6y2,x2＋2）)．假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P（p，0)使得MP⊥NP，則有eq\o(PM,\s\up6(→）)·eq\o(PN，\s\up6（→)）＝0。所以（p－4)2＋eq\f(36y1y2,x1＋2x2＋2)＝0.將x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得（p－4)2＋eq\f(36y1y2，t2y1y2＋3ty1＋y2＋9）＝0，所以(p－4)2＋eq\f(36×－9，t2－9＋3t－6t