1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案（1）掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．（2）掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．（3）了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．（4）能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長(zhǎng)度等問(wèn)題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).重點(diǎn)：掌握空間向量的夾角的概念、掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.難點(diǎn)：能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長(zhǎng)度等問(wèn)題.第一環(huán)節(jié)回顧引入回顧平面向量夾角和數(shù)量積的定義：思考：類比平面向量的知識(shí)，空間向量的夾角和數(shù)量積又將如何定義呢？第二環(huán)節(jié)合作探究探究1：類比平面向量，如何得出空間向量夾角的概念？平面向量的概念空間向量的概念牛刀小試：練1：（多選）下列命題是真命題的是（

）A．任何兩個(gè)空間向量之間都有夾角B．當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，它們的夾角為0，反向時(shí)，它們的夾角為πC．若a,b=π2，D．兩個(gè)非零向量a，b，a,b與練2：如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1DA．AB與A1CB．AB與C1C．AB與A1D．AB與B探究2：類比平面向量，如何得出空間向量數(shù)量積的定義？平面向量的表示法空間向量的表示法特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0．已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的，記作．特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為．牛刀小試：練3：已知|a|=4,|b|=5，分別求下列條件下(1)a與b的夾角為60°；(2)a與b的夾角為150°；(3)a⊥b；(4練4：已知|a|=4,|b|=5，分別求下列條件下探究3：在平面向量中我們學(xué)習(xí)過(guò)投影向量的概念，回顧什么是投影向量，你能把它推廣到空間向量中嗎？平面向量的投影探究4：在空間，向量a向向量b投影有什么幾何意義？探究5：在空間，向量向平面β投影有什么幾何意義？牛刀小試：練5：已知向量a，b，a=6，b=8，a,b=120°，則a在b方向上的投影向量為，b探究6：類比平面向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有哪些運(yùn)算律？如何證明？平面向量數(shù)量積運(yùn)算律空間向量數(shù)量積運(yùn)算律要求：請(qǐng)同學(xué)們課后給出運(yùn)算律的證明牛刀小試：練6：下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量，則B．設(shè)a,bC．設(shè)a,b,D．設(shè)a,b方法總結(jié)：求數(shù)量積的兩種情況及方法(2)在幾何體中求空間向量的數(shù)量積：先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．再利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積．變式練習(xí)：在四面體OABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,點(diǎn)G為△ABC的重心,則OG·(OA+OB+OC題型一:空間向量數(shù)量積的運(yùn)算2．如圖，已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)都等于a，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)．求：方法總結(jié)：空間向量數(shù)量積運(yùn)算的求解方法利用定義,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.利用圖形,計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點(diǎn),利用圖形尋找?jiàn)A角,再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.利用向量分解,在幾何體中進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí),要充分利用幾何體的性質(zhì),把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進(jìn)行運(yùn)算.步驟:(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線性組合形式;利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.題型二：利用數(shù)量積求解距離，角度等幾何元素A．60°B．90°C．105°D．75°方法總結(jié)：1．求空間向量的模有兩種方法一是平方法，即利用|a|2＝a·a，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解；二是坐標(biāo)法，即利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).2．向量夾角與異面直線所成角(1)轉(zhuǎn)化求角：把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對(duì)應(yīng)角，利用解三角形的知識(shí)求解．(2)利用數(shù)量積求夾角的余弦值：方法總結(jié)：利用空間向量解決垂直問(wèn)題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來(lái)判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的數(shù)量積判斷是否垂直．1.（2324高二上·北京房山·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1A．22 B．42 C．22.（2122高二上·甘肅隴南·期末）已知a=2i?2j+λk，b=4i?j+5k（i，A．?1 B．1 C．?2 D．23.（2324高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知空間向量a,b的夾角為π3,|a|=2,|4.（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知a=4，空間向量e為單位向量，a,e=2π3，則空間向量a5.（2324高二下·甘肅·期末）在所有棱長(zhǎng)均為2的平行六面體ABCD?A1B1C1D1A．23 B．25 C．21．空間向量的數(shù)量積（1）空間向量的夾角及其表示：給定兩個(gè)非零向量a,b，任意在空間中選定一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則大小在內(nèi)的稱為特別地，若<a,b>=π2，則稱a（2）向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積定義為a?b=（3）數(shù)量積的性質(zhì)：①a⊥b?；

②a·a==③|a·b||a||b|；

④(λa)·b=；⑤a·b=(交換律)；

⑥(a+b)·c=(分配律).2．投影向量（1）在空間，向量a向向量b投影：如圖①，先將它們平移到同一平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影，得