專題20.3二次根式的運(yùn)算（第1課時）教學(xué)目標(biāo)由二次根式的性質(zhì)3到二次根式的乘法法則，學(xué)會二次根式的乘法運(yùn)算；2.由二次根式的性質(zhì)4到二次根式的除法法則，學(xué)會二次根式的除法運(yùn)算；3.學(xué)會二次根式的乘除混合運(yùn)算。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）了解二次根式的乘法、除法法則及其成立的條件；（2）二次根式的乘法、除法及其混合運(yùn)算；并會化簡二次根式運(yùn)的算結(jié)果。（3）掌握二次根式乘除的應(yīng)用。2.難點(diǎn)（1）二次根式的性質(zhì)，乘法公式、完全平方公式等在二次根式乘除中的應(yīng)用；（2）學(xué)會二次根式化簡、變形、運(yùn)算同時進(jìn)行；（3）化、分、拆、解等數(shù)學(xué)思想。知識點(diǎn)1由二次根式的性質(zhì)3到二次根式的乘法法則1.復(fù)習(xí)即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點(diǎn)：在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算：(3)在二次根式的乘法運(yùn)算中，一般要把結(jié)果化成最簡二次根式.【即學(xué)即練】1．計算：【答案】(1)6(2)10(3)1(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可；（4）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可．2．計算：【答案】(1)18(2)(3)【分析】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的乘法．（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可．【答案】B【分析】本題考查了二次根式乘法成立的條件：被開方數(shù)非負(fù)；據(jù)此即可求解．故選：B．知識點(diǎn)2由二次根式的性質(zhì)4到二次根式的除法法則1.復(fù)習(xí)2.二次根式的除法法則：即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點(diǎn)：(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化成最簡二次根式，最后結(jié)果中分母不能帶根號.【即學(xué)即練】1．化去下列各式分母中的根號：(1)【分析】本題考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）利用除法公式和二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行化簡即可；（2）利用除法公式和二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行化簡即可；（3）利用除法公式和二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行化簡即可．2．計算：【答案】(1)3；(2)；(3)3；(4)【分析】本題考查的是二次根式的除法運(yùn)算；（1）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計算即可；（4）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計算即可；【分析】本題考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的乘除法則進(jìn)行計算即可．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是二次根式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次根式除法法則．直接進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算即可，然后再化簡．知識點(diǎn)3二次根式的乘除混合運(yùn)算二次根式的乘除混合運(yùn)算①進(jìn)行二次根式的乘除混合運(yùn)算時，有括號的先算括號內(nèi)的，沒有括號的按照從左到右的順序進(jìn)行；②兩個二次根式相乘除，根號前的系數(shù)對應(yīng)相乘除，根號內(nèi)的被開方數(shù)對應(yīng)相乘除．要點(diǎn)：（1）帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)；（2）要注意確定最后結(jié)果的符號；（3）最后結(jié)果一般要化為最簡二次根式或整式；（4）在二次根式的乘除混合運(yùn)算中，有理數(shù)的運(yùn)算法則同樣適用．【即學(xué)即練】【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算法則計算即可．A．1 B．3 C． D．9【答案】A【分析】從左往右，依次計算即可得．==1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．3．計算：【答案】(1)【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算．（1）根據(jù)二次根式乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)二次根式性質(zhì)和乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．．【答案】②③/③②①根號下必須非負(fù)，錯誤；故答案為②③．【答案】C【分析】本題考查二次根式的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．故選：C．題型01二次根式的乘法—數(shù)字型【典例1】．計算：【答案】(1)6(2)10(3)1(4)【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可；（4）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算，再化為最簡二次根式即可．【變式1】．計算：【變式2】．計算：【分析】本題考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式乘法法則進(jìn)行計算．（2）依據(jù)二次根式乘法法則，先計算系數(shù)的乘積，再計算根式的乘積．（3）按照從左到右的順序，連續(xù)運(yùn)用二次根式乘法法則進(jìn)行運(yùn)算．（4）先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)二次根式乘法法則計算．（5）先計算系數(shù)的乘積，再計算根式的乘積，最后化簡．題型02二次根式的乘法—字母型【典例1】．計算：【答案】(1)18(2)(3)【分析】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的乘法．（1）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可．【變式1】．計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，掌握乘法運(yùn)算法則并正確計算是解題的關(guān)鍵；（1）直接利用二次根式乘法法則計算即可；（2）把根號外的系數(shù)相乘，二次根式的被開方數(shù)相乘，再化簡即可；（3）直接利用二次根式乘法法則計算即可；（4）直接利用二次根式乘法法則計算即可；【變式2】．計算：【分析】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）利用二次根式的乘法法則運(yùn)算．（2）利用二次根式的乘法法則運(yùn)算．（3）利用二次根式的乘法法則運(yùn)算．（4）利用二次根式的乘法法則運(yùn)算．題型03二次根式的乘法—乘法法則成立的條件【答案】B故選：B．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式乘法計算，根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于進(jìn)行求解即可．故選：B．題型04二次根式的除法—數(shù)字型【典例1】．直接寫出計算結(jié)果：【答案】32【分析】本題考查了二次根式的除法，熟練掌握二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的除法法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式的除法法則計算即可；（3）根據(jù)二次根式的除法法則計算即可；【變式1】．計算：【答案】(1)2(2)【分析】本題主要考查了二次根式的除法，熟記運(yùn)算法則是關(guān)鍵.（1）根據(jù)二次根式的除法法則計算即可，（2）根據(jù)二次根式的除法法則計算即可，（3）根據(jù)二次根式的除法法則計算即可．【變式2】．計算：【答案】(1)(3)(5)(6)【分析】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計算即可求解；（5）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計算即可求解；（6）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計算即可求解．題型05二次根式的除法—字母型【典例1】．計算:【詳解】試題分析：(1)被開方數(shù)與被開方數(shù)相除，結(jié)果化為最簡二次根式；(2)根號外和根號內(nèi)的部分分別相除，再把所得的結(jié)果相乘；(3)被開方數(shù)與被開方數(shù)相除，結(jié)果化為最簡二次根式，注意符號運(yùn)算；(4)逆用二次根式的除法法則.試題解析：【分析】本題考查二次根式的除法和性質(zhì)，先判斷a，b的正負(fù)性，再運(yùn)用二次根式的除法法則和性質(zhì)運(yùn)算即可．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式3】．計算：【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計算即可；（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡即可；（4）利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．；【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式乘除法運(yùn)算及二次根式的化簡，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型06二次根式的除法—除法法則成立的條件【答案】C【分析】本題考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式有意義的條件和分母不為求解即可，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件．【詳解】解：由題意得：故選：C．【分析】利用二次根式商的性質(zhì)，商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商，其中要滿足的條件是分子的被開方數(shù)必須大于等于0，分母的被開方數(shù)大于0，列出關(guān)于x的一元一次不等式組求解即可．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式商的性質(zhì)，掌握二次根式商的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】不對.【詳解】試題分析：要注意二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，否則無意義．題型07二次根式乘法、除法的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)長方形的面積等于長乘寬，可以得到長方形的長，本題得以解決．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確長方形的面積公式和會二次根式的除法．【分析】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計算得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得，【分析】本題考查二次根式的除法，根據(jù)三角形的面積公式，列出算式進(jìn)行計算即可．題型08根據(jù)二次根式乘法、除法表示參數(shù)關(guān)系∴a，b互為倒數(shù).【變式1】．設(shè)＝a，＝b，請用含有a，b的式子表示＝．【答案】3ab【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的計算.【答案】10ab題型09二次根式乘法、除法的代數(shù)應(yīng)用【答案】B【分析】通過等式變形，將的系數(shù)化為，再對根式進(jìn)行化簡計算．本題主要考查二次根式的運(yùn)算及一元一次方程的求解，熟練掌握二次根式的化簡與運(yùn)算，通過系數(shù)化為求解方程是解題的關(guān)鍵．故選：B．A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】C故選：C．【答案】6【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，再利用二次根式乘法運(yùn)算法則求出答案．∴x可取的最小正整數(shù)的值為：6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．263A．6 B．2 C．2 D．3【答案】A【詳解】解：各行、各列及各條對角線上的三個實(shí)數(shù)之積均相等，故選：A．題型10二次根式的乘除混合運(yùn)算——數(shù)字型【分析】根據(jù)二次根式乘除運(yùn)算法則計算即可．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式乘除運(yùn)算，掌握二次根式乘除混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，先計算二次根式的乘法，然后將二次根式化為最簡二次根式，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則、運(yùn)算順序及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】1【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【答案】12【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算計算即可；故答案是12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．題型11二次根式的乘除混合運(yùn)算——字母型【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計算，根據(jù)二次根式的乘除法計算法則求解即可．【變式1】．計算：(2)【分析】（1）根據(jù)二次乘法法則計算即可；（2）根據(jù)二次除法法則計算即可；（3）根據(jù)二次乘法法則計算即可；（4）根據(jù)二次除法法則計算即可．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．題型12二次根式的乘除運(yùn)算、變形綜合辨析【答案】②③/③②①根號下必須非負(fù)，錯誤；故答案為②③．【答案】②③/③②【分析】根據(jù)已知條件，二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法進(jìn)行計算即可求解．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型13與二次根式乘除運(yùn)算有關(guān)的化簡問題【變式2】．化簡：【答案】(1)【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計算即可；（2）把各式子的分子、分母進(jìn)行因式分解，然后把除法轉(zhuǎn)換為乘法，再進(jìn)行約分，最后根據(jù)二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)化簡計算即可．【變式3】．化簡：【分析】本題考查的是商的算術(shù)平方根的化簡，利用二次根式的性質(zhì)化簡，熟記公式是解本題的關(guān)鍵；一、單選題A． B． C． D．【答案】B故選：B2．下列計算中，正確的是（

）【答案】B【分析】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行判斷即可．故選：B．3．下列計算正確的是（

）【答案】D【分析】本題主要考查了二次根式的乘法與除法，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，平方差公式等知識點(diǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的乘法法則和平方差公式對各選項(xiàng)進(jìn)行計算，即可判斷．故選：D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的乘除混合運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算順序逐步計算，即可判斷．．故選：D．【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的除法，直接運(yùn)用二次根式的除法法則和性質(zhì)進(jìn)行計算即可．故選：C6．小明的作業(yè)本上有以下四題:其中做錯的題是(

)A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)而化簡求出即可．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．A．m B．m C．n D．n【答案】B【分析】先由已知條件得到m、n的符號，再根據(jù)二次根式的乘除法則化簡計算即可．【詳解】解：由已知條件可得：m<0，n<0，=|m|=m，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的乘除法是解題關(guān)鍵．【答案】D【詳解】解：由題意得：故選：D．二、填空題【答案】【分析】本題考查了分母有理化，熟練掌握化簡方法是解題的關(guān)鍵．分子、分母都乘以，即可去掉分母中的根號，從而得出最后結(jié)果．故答案為：．【答案】【分析】本題主要考查二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握二次根式乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后進(jìn)行計算即可．故答案為：．【答案】2a【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計算，再將計算結(jié)果化為最簡二次根式即可解題．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的除法、最簡二次根式等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．又除法運(yùn)算的除數(shù)不能為0，【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義與除法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則化簡求解即可．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則．14．如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對角線上的三個實(shí)數(shù)之積均相等，則圖中、、三個實(shí)數(shù)的積為．1b3a26c【答案】18【詳解】解：∵每一行、每一列以及每一條對角線上的三個數(shù)字或字母的積均相等，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的等式．三、解答題15．計算：【答案】(1)12(3)10(4)【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算以及根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．（2）先根據(jù)二次根式的乘法法則計算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．（3）先根據(jù)二次根式的乘法法則計算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．（4）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．16．計算：【答案】(1)(2)20【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算以及根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化