高三2024年數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.駐點(diǎn)

D.不存在極值

2.下列不等式中，正確的是：

A.$x^2+1>0$

B.$x^2-1<0$

C.$x^2+1<0$

D.$x^2-1>0$

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式是：

A.$a_n=2^n-1$

B.$a_n=2^n+1$

C.$a_n=2^{n-1}-1$

D.$a_n=2^{n-1}+1$

4.已知復(fù)數(shù)$z=1+i$，則$|z|$的值是：

A.$\sqrt{2}$

B.$2$

C.$\sqrt{5}$

D.$1$

5.若直線$y=kx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k$的取值范圍是：

A.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

C.$(-1,1)$

D.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

6.若函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域?yàn)?\{x|x\neq2\}$，則函數(shù)$f(x)$的值域是：

A.$\{y|y\neq2\}$

B.$\{y|y\neq0\}$

C.$\{y|y\neq-2\}$

D.$\{y|y\neq4\}$

7.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，公差為$d$，首項(xiàng)為$a_1$，則$S_n$的通項(xiàng)公式是：

A.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

B.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}-\frac{n(n-1)d}{2}$

C.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}+\frac{n(n-1)d}{2}$

D.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}+\frac{n(n-1)d}{2}-\frac{n(n-1)(n-2)d}{6}$

8.若函數(shù)$f(x)=\ln(x^2+1)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上：

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.不單調(diào)

D.不存在單調(diào)性

9.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$的幾何意義是：

A.$z$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上

B.$z$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上

C.$z$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

D.$z$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

10.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.駐點(diǎn)

D.不存在極值

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，具有奇偶性的是：

A.$f(x)=x^3-x$

B.$g(x)=x^4+2$

C.$h(x)=\sin(x)$

D.$k(x)=\cos(x)$

2.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的是：

A.$\{a_n\}=2^n$

B.$\{b_n\}=\frac{1}{2^n}$

C.$\{c_n\}=(-1)^n$

D.$\{d_n\}=n^2-1$

3.下列不等式組中，有唯一解的是：

A.$\begin{cases}x+y=1\\2x-y=3\end{cases}$

B.$\begin{cases}x+y=1\\2x+y=3\end{cases}$

C.$\begin{cases}x+y=1\\2x+3y=7\end{cases}$

D.$\begin{cases}x+y=1\\2x+3y=6\end{cases}$

4.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)是：

A.$f(x)=|x|$

B.$g(x)=\frac{1}{x}$

C.$h(x)=\sqrt{x}$

D.$k(x)=x^2$

5.下列圖形中，是圓錐曲線的是：

A.雙曲線

B.拋物線

C.線性函數(shù)

D.圓

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)值為_(kāi)_____。

2.數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_5=______$。

3.若復(fù)數(shù)$z=2-3i$，則$|z|$的值為_(kāi)_____。

4.已知直線$y=3x-2$與圓$x^2+y^2=1$相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____。

5.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，公差為$d$，首項(xiàng)為$a_1$，且$S_3=12$，$a_1=3$，則$d=______$。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算題：已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

（1）$f(x)$的一階導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；

（2）$f'(x)$的零點(diǎn)；

（3）$f(x)$的極值。

2.計(jì)算題：已知等差數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=5$，$a_n=3n+1$，求：

（1）數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列的前10項(xiàng)和$S_{10}$；

（3）數(shù)列的第15項(xiàng)$a_{15}$。

3.計(jì)算題：已知復(fù)數(shù)$z=1+2i$，求：

（1）$z$的模$|z|$；

（2）$z$的共軛復(fù)數(shù)$\bar{z}$；

（3）$z$的輻角$\theta$（用弧度表示）。

4.計(jì)算題：已知直線$y=-2x+4$與圓$x^2+y^2=4$相交，求：

（1）直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）直線與圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）直線與圓之間的距離。

5.計(jì)算題：已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$，求：

（1）函數(shù)的定義域；

（2）函數(shù)的值域；

（3）函數(shù)的極值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.A.極大值

知識(shí)點(diǎn)：極值的概念和計(jì)算方法。

2.A.$x^2+1>0$

知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)，任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)的。

3.A.$a_n=2^n-1$

知識(shí)點(diǎn)：遞推數(shù)列的求解方法。

4.A.$\sqrt{2}$

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算。

5.A.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

知識(shí)點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系。

6.B.$\{y|y\neq0\}$

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的定義域和值域。

7.B.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}-\frac{n(n-1)d}{2}$

知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式。

8.A.單調(diào)遞增

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性。

9.A.$z$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義。

10.A.極大值

知識(shí)點(diǎn)：極值的概念和計(jì)算方法。

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.A,C,D

知識(shí)點(diǎn)：奇偶函數(shù)的定義和性質(zhì)。

2.A,B

知識(shí)點(diǎn)：等比數(shù)列的定義和性質(zhì)。

3.A,B

知識(shí)點(diǎn)：線性方程組的解的情況。

4.A,C,D

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的連續(xù)性。

5.A,B

知識(shí)點(diǎn)：圓錐曲線的定義。

三、填空題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.$f'(x)=6x^2-12x+9$，$f'(1)=3$，極大值點(diǎn)為$x=1$。

知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和極值點(diǎn)的判斷。

2.$a_n=3n+1$，$S_{10}=195$，$a_{15}=46$。

知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前$n$項(xiàng)和。

3.$|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\bar{z}=1-2i$，$\theta=\arctan\left(\frac{2}{1}\right)$。

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、共軛復(fù)數(shù)和輻角。

4.交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$和$(-1,6)$，切點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，距離為$\frac{1}{\sqrt{5}}$。

知識(shí)點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系和距離公式。

5.定義域?yàn)?\{x|x\neq1,x\neq-1\}$，值域?yàn)?\{y|y\neq0\}$，極大值點(diǎn)為$x=1$。

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的定義域、值域和極值。

四、計(jì)算題答案及知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.（1）$f'(x)=6x^2-12x+9$；

（2）$f'(x)=0$時(shí)，$x=1$，$f'(x)$在$x=1$處為0，所以$x=1$是極大值點(diǎn)；

（3）$f(x)$在$x=1$處取得極大值，極大值為$f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1-1=3$。

知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和極值點(diǎn)的判斷。

2.（1）$a_n=3n+1$；

（2）$S_{10}=\frac{10(5+31)}{2}=195$；

（3）$a_{15}=3\cdot15+1=46$。

知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前$n$項(xiàng)和。

3.（1）$|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；

（2）$\bar{z}=1-2i$；

（3）$\theta=\arctan\left(\frac{2}{1}\right)$。

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、共軛復(fù)數(shù)和輻角。

4.（1）交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$和$(-1,6)$；

（2）切點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$；

（3）距離為$\frac{1}{\sqrt{5}}$。

知識(shí)點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系和距離公式。

5.（1）定義域?yàn)?\{x|x\neq1,x\neq-1\}$；

（2）值域?yàn)?\{y|y\neq0