福建省四地六校2015--2016學(xué)年下學(xué)期第一次聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f(x)\)的對稱中心為（1）\((0,0)\)（2）\((1,0)\)（3）\((-1,0)\)（4）\((2,0)\)2.若\(\log_2x+\log_3x=1\)，則\(x\)的值為（1）\(2\)（2）\(3\)（3）\(6\)（4）\(9\)二、填空題1.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)在第二象限，則\(\cos\alpha=\)________。2.已知\(a,b\)是方程\(x^2-2ax+1=0\)的兩個實數(shù)根，則\(a+b\)的值為________。三、解答題1.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)，求函數(shù)\(f(x)\)的最大值和最小值。2.解不等式組\(\begin{cases}2x-3y\leq6\\x+y\geq1\end{cases}\)，并作出可行域。四、解答題3.在三角形ABC中，已知\(\angleA=60^\circ\)，\(\angleB=45^\circ\)，\(AB=4\)cm，求邊\(AC\)的長度。4.若\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(a^2+b^2+c^2=36\)，求等差數(shù)列的公差。5.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}\)，求函數(shù)\(f(x)\)的定義域，并求出函數(shù)\(f(x)\)在其定義域內(nèi)的極值點。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（2）\((1,0)\)解析思路：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=\pm1\)。當\(x<-1\)或\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(-1<x<1\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，\(x=1\)是函數(shù)的極小值點，也是對稱中心。2.答案：（3）\(6\)解析思路：由對數(shù)的換底公式\(\log_2x+\log_3x=\frac{\logx}{\log2}+\frac{\logx}{\log3}=1\)，得\(\logx(\frac{1}{\log2}+\frac{1}{\log3})=1\)?；喌肻(\logx(\log6)=\log2+\log3\)，即\(\logx=\log6\)。因此，\(x=6\)。二、填空題1.答案：\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)解析思路：由于\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)且\(\alpha\)在第二象限，\(\cos\alpha\)為負值。根據(jù)三角恒等式\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，代入\(\sin\alpha\)的值，得\(\cos^2\alpha=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\)，所以\(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。2.答案：2解析思路：根據(jù)韋達定理，方程\(x^2-2ax+1=0\)的兩個根之和為\(a\)，即\(a+b=2a\)。又因為\(a+b+c=12\)，代入得\(2a+c=12\)。根據(jù)\(a^2+b^2+c^2=36\)，代入\(a+b=2a\)得\(4a^2+c^2=36\)。聯(lián)立兩個方程解得\(a=2\)，\(c=8\)。三、解答題1.答案：最大值為4，最小值為-1解析思路：函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)是一個開口向上的拋物線，其頂點坐標為\((2,-1)\)。因此，函數(shù)的最小值為頂點的縱坐標，即-1。由于拋物線開口向上，沒有最大值。2.答案：可行域為一個位于直線\(2x-3y=6\)下方和直線\(x+y=1\)上方的區(qū)域。解析思路：畫出直線\(2x-3y=6\)和\(x+y=1\)的圖像，找出這兩條直線所圍成的區(qū)域。該區(qū)域即為不等式組的可行域。四、解答題3.答案：\(AC=2\sqrt{2}\)cm解析思路：由正弦定理，\(\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}\)，代入\(\angleA=60^\circ\)，\(\angleB=45^\circ\)，\(AB=4\)cm，得\(\frac{4}{\sin45^\circ}=\frac{AC}{\sin60^\circ}\)。解得\(AC=2\sqrt{2}\)cm。4.答案：公差為2解析思路：由等差數(shù)列的性質(zhì)，\(a+b=2a+d\)，\(a^2+b^2=(a+d)^2\)。代入\(a+b+c=12\)，\(a^2+b^2+c^2=36\)，得\(3a+3d=12\)，\(3a^2+3d^2=36\)。解得\(a=2\)，\(d=2\)。5.答案：定義域為\(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)，極值點為\(x=2\)解析思路：函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}\)的分母不能為零，因此定義域為\(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)。求導(dǎo)得\(f'(x)=\frac{2x^2-6x+3}