專題11軸對稱和中心對稱（2）考點(diǎn)6：\o"角平分線的性質(zhì)"角平分線的性質(zhì)1．如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，AE平分∠CAB，交BD于點(diǎn)E，AB＝8，DE＝3，則△ABE的面積等于（）A．15 B．12 C．10 D．14【答案】B【解析】過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖：∵BD是AC邊上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面積為：8×3÷2＝12．故選：B．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，OM⊥BC于點(diǎn)M，則OM的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】過O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，∴OD＝OE＝OM，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴S△ABC＝AC?BC＝×AB?OE+AC?OD+BC?OM，∴＝+?OM+，∴OM＝2，故選：B．3．下列說法正確的是（）A．不等式x＜有3個(gè)正整數(shù)解 B．點(diǎn)P到線段AB的兩端點(diǎn)距離相等，則過點(diǎn)P的直線是線段AB的垂直平分線 C．任何一個(gè)定理都對應(yīng)一個(gè)逆定理 D．三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等【答案】A【解析】A、不等式x＜的正整數(shù)解為1、2、3，共3個(gè)，本選項(xiàng)說法正確；B、點(diǎn)P到線段AB的兩端點(diǎn)距離相等，則過點(diǎn)P的線段AB的垂線是線段AB的垂直平分線，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；C、任何一個(gè)定理都對應(yīng)一個(gè)逆命題，不一定是逆定理，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；D、三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；故選：A．4．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點(diǎn)P是邊BC上的一動點(diǎn)，則DP的最小值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】C【解析】過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則DE即為DP的最小值，∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝AD＝2，故選：C．5．如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E．若PE＝5，則點(diǎn)P到AB的距離是_______．【答案】5．【解析】作PF⊥AB于F，∵AD是∠BAC的平分線，PE⊥AC，PF⊥AB，∴PF＝PE＝5，6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若CD＝2，AB＝9，則△ABD的面積為_______．【答案】9．【解析】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面積＝?AB?DE＝×9×2＝9．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)D到AB的距離為7cm，則CD＝_______cm．【答案】7．【解析】作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DC＝DE，∵點(diǎn)D到AB的距離為7cm，∴DE＝7cm，∴DC＝7cm，8．如圖，直線AC分別與射線DE交于A，與射線BF交于C，連接AB，連接DC，∠1+∠2＝180°，AD＝BC．若DC平分∠ACF，證明AB平分∠EAC．【解答】證明：∠1+∠2＝180°，∠1+∠ACB＝180°，∴∠2＝∠ACB，∴AD∥BC，又∵AD＝BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DCF＝∠B，∠DCA＝∠BAC，∵DC平分∠ACF，∴∠DCF＝∠DCA，∴∠B＝∠BAC，∵AD∥BC，∴∠EAB＝∠B，∴∠BAC＝∠EAB，即AB平分∠EAC．考點(diǎn)7：\o"中心對稱"中心對稱1．如圖，已知△ABC和△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOB＝∠A'OB' C．AB＝A'B' D．OA＝OB'【答案】D【解析】∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AB＝A′B′，OA＝OA′，∠ABC＝∠A′B′C′，可得∠AOC＝∠A′OC′，故A，B，C正確，只有D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．2．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC＝4，BD＝16，將△BOC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到△B′O′C′，則點(diǎn)A與點(diǎn)B′之間的距離為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】∵菱形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC＝4，BD＝16，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∵△BOC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到△B′O′C，∴∠CO′B′＝∠BOC＝90°，∴O′C＝OC＝OA＝AC＝2，∴AO′＝6，∵OB＝OD＝OB′＝BD＝8，在Rt△AO′B′中，根據(jù)勾股定理，得AB′＝＝10．則點(diǎn)A與點(diǎn)B′之間的距離為10．故選：C．3．如圖，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折疊，點(diǎn)A恰好落在矩形的對稱中心E處，則∠ADF的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】D【解析】如圖，連接AE，∵把∠A沿DF折疊，點(diǎn)A恰好落在矩形的對稱中心E處，∴AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝∠ADE，∴△DAE的等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ADF＝30°，故選：D．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，3）關(guān)于點(diǎn)O中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）【答案】C【解析】∵點(diǎn)A（﹣2，3）與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2，﹣3）．故選：C．5．如圖，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠F＝30°，將△ABC和△DEF放置如圖2的位置，點(diǎn)B、D、C、F在同一直線上，點(diǎn)A在DE上，△ABC固定不動，當(dāng)△EDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至180°的過程中（不含180°），當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為_______時(shí)，EF與△ABC的邊垂直．【答案】75°或120°或165°．【解析】如圖1所示，當(dāng)AC⊥EF時(shí)，∵∠F＝30°，∴∠GHF＝60°，∴∠DHC＝60°，∵∠HCD＝45°，∴∠FDC＝75°，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為75°時(shí)，EF⊥AC；如圖2所示，當(dāng)BC⊥EF時(shí)，∵∠F＝30°，∴∠GDF＝60°，∴∠FDC＝120°，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為120°時(shí)，EF⊥BC．如圖3所示，當(dāng)AB⊥EF時(shí)，∵∠F＝30°，∴∠GHF＝60°，∴∠AHD＝60°，∵∠BAD＝45°，∴∠ADH＝75°，∴∠FDC＝75°+90°＝165°，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為165°時(shí)，EF⊥AB．綜上，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為75°或120°或165°時(shí)，EF與△ABC的邊垂直．6．如圖，△ABC與△DEC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，若AB＝2，則DE＝_______．【答案】2．【解析】∵△ABC與△DEC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，∴CA＝CD，CB＝CE，∵∠ACB＝∠DCE∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB＝DE，∵AB＝2，∴DE＝2，7．如圖，△DEC與△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，則AE的長是_______．【答案】．【解析】∵△DEC與△ABC關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE＝3，AC＝DC＝1，∴AD＝2，∵∠D＝90°，∴AE＝＝＝，8．如圖，△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對稱，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AC上，且AF＝CE，求證：FD＝BE．【解答】證明：∵△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對稱，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AF＝CE，∴AO﹣AF＝CO﹣CE，∴FO＝EO，在△FOD和△EOB中，∴△FOD≌△EOB（SAS），∴DF＝BE．考點(diǎn)8：\o"中心對稱圖形"中心對稱圖形1．剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上透空的感覺和藝術(shù)享受，下列照片中剪紙圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；C、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選不項(xiàng)符合題意．故選：C．3．下列美麗的圖案，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；C、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4．手機(jī)已成為人們生活的必備工具，下列常用手機(jī)APP的圖標(biāo)中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．5．如圖，兩個(gè)“心”形有一個(gè)公共點(diǎn)O，且點(diǎn)C，O，E在同一條直線上，OC＝OE＝OD，下列說法中：①這兩個(gè)“心”形關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱；②點(diǎn)C，E是以點(diǎn)O為對稱中心的一對對稱點(diǎn)；③這兩個(gè)“心”形成軸對稱，對稱軸是過點(diǎn)O且與直線AB垂直的直線和直線AB；④若把這兩個(gè)“心”形看作一個(gè)整體，則它又是一個(gè)中心對稱圖形．正確的有_______．（只填你認(rèn)為正確的說法的序號）【答案】①②③④．【解析】①這兩個(gè)“心”形關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱；說法正確；②點(diǎn)C，E是以點(diǎn)O為對稱中心的一對對稱點(diǎn)；說法正確；③這兩個(gè)“心”形成軸對稱，對稱軸是過點(diǎn)O且與直線AB垂直的直線和直線AB；說法正確；④若把這兩個(gè)“心”形看作一個(gè)整體，則它又是一個(gè)中心對稱圖形．說法正確．所以正確的有①②③④．6．如圖中陰影部分是由4個(gè)完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四個(gè)區(qū)域中的某個(gè)區(qū)域處添加一個(gè)同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形，則這個(gè)正方形應(yīng)該添加在_______處（填寫區(qū)域?qū)?yīng)的序號）．【答案】②．【解析】把正方形添加在②處，使它與陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形，7．在等腰直角三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有_______個(gè)．【答案】3．【解析】由題可得，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有3個(gè)：矩形、菱形、正方形，8．如圖，將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到△DEC，過點(diǎn)A作AF∥BE，交DE的延長線于點(diǎn)F，試問：∠B與∠F相等嗎？為什么？【答案】見解析【解析】∠B與∠F相等，理由如下：∵將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到△DEC，∴∠B＝∠DEC，∵AF∥BE，∴∠F＝∠DEC，∴∠B＝∠F．考點(diǎn)9：\o"利用平移設(shè)計(jì)圖案"利用平移設(shè)計(jì)圖案1．如圖所示，北京2022年冬奧會會徽是以漢字“冬”為靈感設(shè)計(jì)的．下列四個(gè)選項(xiàng)中，由會徽經(jīng)過平移而得到的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)“平移”的定義可知，由題圖經(jīng)過平移得到的圖形是：．故選：C．2．下列車標(biāo)，可看作圖案的某一部分經(jīng)過平移所形成的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】選項(xiàng)A，B，C不能由基本圖形平移得到，選項(xiàng)B是由基本圖形圓平移得到，故選：D．3．下列四個(gè)圖形中，不能通過基本圖形平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】選項(xiàng)A，C，D可以通過平移變換得到，選項(xiàng)B看圖通過旋轉(zhuǎn)變換得到，故選：B．4．如所示圖形可由平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．圖形可以由旋轉(zhuǎn)得到，不合題意；B．圖形可由平移得到，符合題意；C．圖形可以由旋轉(zhuǎn)得到，不合題意；D．圖形可以由翻折得到，不合題意；故選：B．5．如圖所示，第1個(gè)圖案是由黑白兩種顏色的六邊形地面磚組成的，第2個(gè)，第3個(gè)圖案可以看成是由第1個(gè)圖案經(jīng)過平移而得，那么第n個(gè)圖案中白色六邊形地面磚的數(shù)量為_______（代數(shù)式需要簡化）．【答案】4n+2．【解析】∵第一個(gè)圖案中，有白色的是6個(gè)，后邊是依次多4個(gè)．∴第n個(gè)圖案中，是6+4（n﹣1）＝4n+2．6．如圖，在方格中畫著兩艘完全一樣的小船，左邊小船向右平移了_______格可以來到右邊小船位置．【答案】6．【解析】如圖所示：左邊小船向右平移了6格可以來到右邊小船位置．7．有一種電腦軟件叫做“畫圖”，它有個(gè)功能，可以復(fù)制已經(jīng)出現(xiàn)在窗口的所有圖形或部分圖形，粘貼的圖形又可以進(jìn)行任意的平移．如圖，在畫圖窗口中已有一個(gè)正方形．從窗口中已有圖形開始，復(fù)制、粘貼已有圖形或部分圖形一次，且通過平移后與原圖形拼接，叫做一次操作．則要出現(xiàn)一個(gè)4×6的網(wǎng)格，至少需要操作_______次．【答案】5．【解析】如圖，方法如下：答：要出現(xiàn)一個(gè)4×6的網(wǎng)格，至少需要操作5次．8．如圖，請根據(jù)船帆的位置變化，畫出小船ABCD經(jīng)過平移后得到的位置．【答案】見解析【解析】如圖所示：．考點(diǎn)10：\o"利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案"利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案1．下列圖案中，含有旋轉(zhuǎn)變換的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的含義可知：選項(xiàng)中給出的4個(gè)圖都可以通過旋轉(zhuǎn)得到，故選：A．2．如圖的四個(gè)三角形中，不能由△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，選項(xiàng)A，C，D可以通過平移，旋轉(zhuǎn)得到，選項(xiàng)B可以通過翻折，平移，旋轉(zhuǎn)得到．故選：B．3．如圖，在4×4的網(wǎng)格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，現(xiàn)要在這張網(wǎng)格紙的四個(gè)格點(diǎn)M，N，P，Q中找一點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心．將△ABC繞著這個(gè)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形成中心對稱，且旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在這張4×4的網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，那么滿足條件的旋轉(zhuǎn)中心有（）A．點(diǎn)M，點(diǎn)N B．點(diǎn)M，點(diǎn)Q C．點(diǎn)N，點(diǎn)P D．點(diǎn)P，點(diǎn)Q【答案】C【解析】觀察圖象可知，點(diǎn)P．點(diǎn)N滿足條件．故選：C．4．下面各圖形中，不能通過所給圖形旋轉(zhuǎn)得到的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，將這個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到圖形A；將這個(gè)圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到圖形B；將這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°可得到圖形C；不論怎么旋轉(zhuǎn)，都不可能得到圖形D，故選：D．5．如圖所示的美麗圖案，可以看作是由一個(gè)三角形繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)_______次，每次旋轉(zhuǎn)_______度形成的．【答案】7；45．【解析】如圖所示的美麗圖案，可以看作是由一個(gè)三角形繞旋轉(zhuǎn)中