2025屆高三年級(jí)TOP二十名校調(diào)研考試三數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、平面向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求解公式得集合，再由交集定義運(yùn)算.【詳解】因?yàn)榧匣?，，所?故選：D.2.若，則（）A.4B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由，得，所以，則.故選：A3.已知向量，，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】，，解得.故選：C.4.已知函數(shù)滿足：，，且，則（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得函數(shù)的一個(gè)周期為12，利用周期性求值.【詳解】根據(jù)題意，，顯然，所以，所以，所以函數(shù)的一個(gè)周期為12，所以.故選：B.5.已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令，“函數(shù)在上單調(diào)”等價(jià)于“函數(shù)在上單調(diào)”，求出的對(duì)稱軸方程，分在上單調(diào)遞增和在上單調(diào)遞減兩種情況求解.【詳解】，令，則“函數(shù)在上單調(diào)”等價(jià)于“函數(shù)在上單調(diào)”，的對(duì)稱軸為，若在上單調(diào)遞增，則，解得，若在上單調(diào)遞減，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.6.已知等差數(shù)列滿足，前8項(xiàng)和；公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，的最大值是（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)列的前項(xiàng)和，驗(yàn)證得答案．【詳解】設(shè)的公差為，由得，解得，所以設(shè)的公比為，由，得，解得（舍）或，所以.因?yàn)?，所以，則，因?yàn)閷?duì)任意的，，所以數(shù)列單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，故的最大值是8.故選：D.7.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）A.4B.C.5D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，從而利用基本不等式求得的最大值及成立的條件，從而化為，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】依題意，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則代入中，得，所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)，，，時(shí)，取得最大值.故選：B.8.已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角和和差角公式化簡已知，得，再由角的范圍和誘導(dǎo)公式得，從而得解.【詳解】由，得，又，所以，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：化簡得后，利用誘導(dǎo)公式得，是解題關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.C.無零點(diǎn)D.上單調(diào)遞增【答案】AB【解析】【分析】求出的定義域，求出和并判斷是否相等，據(jù)此判斷A選項(xiàng)，根據(jù)當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增判斷B選項(xiàng)，令求出判斷C選項(xiàng)，求出當(dāng)時(shí)的解析式判斷D選項(xiàng).【詳解】易知的定義域?yàn)?，因?yàn)?，，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，故B正確；令，得或3，則有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.數(shù)列的前項(xiàng)和為D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系式可得，即A正確，再由分組并項(xiàng)求和計(jì)算可得B錯(cuò)誤，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得C錯(cuò)誤，由判斷出其符號(hào)即可得D正確.【詳解】對(duì)于A，由，得①，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②，由①－②，得，解得，當(dāng)時(shí)也成立，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列的前項(xiàng)和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，故當(dāng)或9時(shí)，的前項(xiàng)和取最小值，最小值為，故D正確.故選：AD.11.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，每排氣4分鐘后測(cè)得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)樵瓉淼?由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度（ppm）與排氣時(shí)間（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系，其中（為常數(shù)）.已知空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，人可以安全進(jìn)入車庫.若剛好經(jīng)過（分鐘），人就可以安全進(jìn)入車庫了，則（）A.B.C.D.排氣12分鐘后，車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)?ppm【答案】ACD【解析】【分析】由題意可設(shè)，再由已知列關(guān)于，的方程組，求出判斷A與B；進(jìn)一步求出的解析式，算出，判斷C與D．【詳解】由題意可設(shè)，則，此時(shí)為常數(shù)，由題意，，則，即，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)閯偤媒?jīng)過（分鐘），人就可以安全進(jìn)入車庫了，所以，又由，得，，解得，所以，故C正確；，故排氣12分鐘后，車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)?ppm，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的減區(qū)間為，則的值為______.【答案】3【解析】【分析】由的解集，求出的值.【詳解】的解集為，即的解集為，所以，解得.故答案為：.13.如圖，已知，是圓O的兩條直徑，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，若，則______.【答案】##1.1875【解析】【分析】利用極化恒等式將化簡成含有半徑的式子，即可轉(zhuǎn)化成的形式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的半徑為，由題意得，且，，所以，所以.故答案為：14.已知函數(shù)，滿足的的最小值為，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無最值，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可得，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無最值限定出不等式，再根據(jù)的范圍可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且滿足的的最小值為，所以函數(shù)的最小正周期，所以，解得，即可得，因?yàn)?，所?因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無最值，所以，解得，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，不滿足條件.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)滿足的的最小值為求出，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)由零點(diǎn)和最值個(gè)數(shù)限定出不等式可解得的取值范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù)，且，證明：對(duì)于，的充要條件是.【答案】證明見解析【解析】【分析】先求出函數(shù)的最小值，再分別證明充分性和必要性即可.【詳解】證明：因?yàn)?，所以函?shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，所以.先證充分性：因?yàn)?，且，所以；再證必要性：因?yàn)閷?duì)于，，所以，即，從而.綜上可知，對(duì)于，的充要條件是.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式可得，由整體代換即可求得結(jié)果.（2）由已知可求得，代入計(jì)算即可.【小問1詳解】，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由于，所以，所以，即，所以，則.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）設(shè)，，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，化簡可求得，從而可求得角；（2）由余弦定理可得，進(jìn)而可求得的值，分情況利用兩角和的正弦公式與二倍角公式計(jì)算可求得的值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，化簡得，所以由余弦定理，得，又，所?【小問2詳解】由（1）知，，且，，則由余弦定理，得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，則，又，，所以；當(dāng)時(shí)，，則，又，，所以.綜上所述，或.18.已知函數(shù)在和處取得極值.（1）求a，b；（2）曲線在相異的兩點(diǎn)，處的切線分別為和，且和的交點(diǎn)在直線上.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的取值范圍.【答案】（1），（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，又得解a，b的值，并檢驗(yàn)；（2）（ⅰ）求出切線和的方程，并求其交點(diǎn)，即可得證；（ⅱ）由（?。┑慕Y(jié)論，結(jié)合基本不等式求范圍.【小問1詳解】，因?yàn)樵诤吞幦〉脴O值，所以即解得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，在和處取得極值，符合題意，所以，.【小問2詳解】（?。?，，因?yàn)?，，，在點(diǎn)A處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，聯(lián)立兩個(gè)切線方程，得，解得，故兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意，得，所以，即.（ⅱ）由（ⅰ），得，所以，結(jié)合，所以，解得.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問中，求出切線和的方程，并求其交點(diǎn)，運(yùn)算量較大.19.若項(xiàng)數(shù)為m（，）的數(shù)列滿足：①單調(diào)遞增且；②對(duì)任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得或，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.（1）若，，分別判斷數(shù)列，是否具有性質(zhì)P，并說明理由；（2）若數(shù)列具有性質(zhì)P，證明：且（且）；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)P且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）不具有，數(shù)列具有性質(zhì)P，理由見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用性質(zhì)P的定義分別判斷兩個(gè)數(shù)列；（2）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P，得到，且又，于是，，…，，，再求和即可；（3）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式即可.【小問1詳解】，即，，，所以單調(diào)遞增且，因?yàn)椴淮嬖谡麛?shù)，使得或，所以數(shù)列不具有性質(zhì)P；，即，，，，所以單調(diào)遞增且.因?yàn)榛虻慕Y(jié)果有：，，，，，，，，，，都存在正整數(shù)，使得等于以上值，所以數(shù)列具有性質(zhì)P.【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)P，所以對(duì)任意的，都存在正整數(shù)，使得或，由，得，即不存在正整數(shù)，使得，從而存在正整數(shù)，使得，則，又，，所以由，得.即不存在正整數(shù)，使得，從而存在正整數(shù)，使得.又，