數(shù)學(xué)七年級升八年級暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題九全等三角形中的常見模型【專題導(dǎo)航】目錄【考點一一線三垂直（等角）】........................................1【考點二手拉手】....................................................4【考點三旋轉(zhuǎn)模型】..................................................7【聚焦考點1】一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.如圖，【典例剖析1】【典例1-1】如圖1，在長方形中，，點P從點B出發(fā)，以的速度沿向點C運動（點P運動到點C處時停止運動），設(shè)點P的運動時間為．（1）_____________．（用含t的式子表示）（2）當(dāng)t為何值時，？（3）如圖2，當(dāng)點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發(fā)，以的速度沿向點D運動（點Q運動到點D處時停止運動，兩點中有一點停止運動后另一點也停止運動），是否存在這樣的值使得與全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【典例1-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．針對訓(xùn)練1【變式1-1】如圖，點A是線段DE上一點，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．（1）求證：DE=BD+CE．（2）如果是如圖2這個圖形，BD、CE、DE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．【變式1-2】如圖，在中，，點D，E分別為上的點，，若，求證：．能力提升1】一線三等角【提升1-1】（1）如圖（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD+CE；（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【提升1-2】.CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠β．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左邊圖，則BECF，EF|BE-AF|（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中間圖，①中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；（2）如右邊圖，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β=∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【提升1-3】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段EF上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【聚焦考點2】手拉手模型將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”．對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）【典例剖析2】【典例2-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時，∠BEF的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【典例2-2】如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求證：BE＝AD；（2）若將等腰△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）針對訓(xùn)練2【變式2-1】如圖，是一個銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．【變式2-2】如圖，D為△ABC內(nèi)一點，AB＝AC，∠BAC＝50°，將AD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)50°能與線段AE重合．（1）求證：EB＝DC；（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度數(shù)．【能力提升2】【提升2-1】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE，若∠DAB＝10°，則∠ABE是()A．75° B．78° C．80° D．92°【提升2-2】（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．【聚焦考點3】旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模型】【典例剖析3】【典例3-1】如圖，，求證：（1）；（2）．【典例3-2】如圖，已知AE∥BC，∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠EAC＝∠E．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAE＝110°，求∠E的度數(shù)．針對訓(xùn)練3【變式3-1】如圖，△ABC與△DCE中，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求證：∠A＝∠D．【變式3-2】．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點D在AC邊上，∠CED＝∠AEB，AE交BD于點F．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）求證：DE平分∠BDC．【能力提升3】【提升3-1】．如圖，點D在△ABC的外部，點E在BC邊上，DE與AB交于點O，∠1＝