數(shù)學七年級升八年級暑假預習專題訓練專題一三角形有關(guān)線段（解析版）【專題導航】目錄【考點一三角形】............................................1【考點二三角形的有關(guān)線段】...................................5【考點三三角形的分類】.......................................14【考點四三角形的邊的關(guān)系】...................................18【聚焦考點1】1.三角形及其有關(guān)概念三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形。三角形的邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊。三角形的頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點。三角形的內(nèi)角：相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角。2.三角形的表示方法一個三角形是由三條邊和三個內(nèi)角組成的，三角形的三個頂點分別為A、B、C，那么三角形可表示為?ABC【典例剖析1】【典例1-1】觀察以下圖形，回答問題：（1）圖②有3個三角形；圖③有5個三角形；圖④有7個三角形；…猜測第七個圖形中共有13個三角形．（2）按上面的方法繼續(xù)下去，第n個圖形中有（2n﹣1）個三角形（用含n的代數(shù)式表示結(jié)論）．【分析】（1）根據(jù)觀察可得：圖②有3個三角形；圖③有5個三角形；圖④有7個三角形；由此可以猜測第七個圖形中共有13個三角形（2）按照（1）中規(guī)律如此畫下去，三角形的個數(shù)等于圖形序號的2倍減去1，據(jù)此求得第n個圖形中的三角形的個數(shù)．【解答】解：（1）圖②有3個三角形；圖③有5個三角形；圖④有7個三角形；…猜測第七個圖形中共有13個三角形．（2）∵圖②有3個三角形，3＝2×2﹣1；圖③有5個三角形，5＝2×3﹣1；圖④有7個三角形，7＝2×4﹣1；∴第n個圖形中有（2n﹣1）個三角形．故答案為3，5，7，13，（2n﹣1）．【點評】本題考查了圖形的變化類﹣規(guī)律型，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點．【典例1-2】一個三角形有兩條邊相等，周長為20cm，三角形的一邊長6cm，求其他兩邊長．【分析】題目給出等腰三角形有一條邊長為6cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【解答】解：（1）當6是腰時，底邊＝20﹣6×2＝8cm，即其它兩邊是6cm，8cm，此時6+6＝12，能構(gòu)成三角形；（2）當6是底邊時，腰＝（20﹣6）÷2＝7cm，此時能構(gòu)成三角形，所以其它兩邊是7cm、7cm．因此其它兩邊長分別為7cm，7cm，綜上所述兩邊長分別為6cm，8cm或7cm，7cm．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．針對訓練1【變式1-1】圖中一共有多少個三角形？銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形各有多少個？用符號表示這些三角形．【分析】根據(jù)三角形的定義和三角形的分類：三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，據(jù)此即可解答問題．【解答】解：共有6個三角形．其中銳角三角形有2個：△ABE，△ABC；直角三角形有3個：△ABD，△ADE，△ADC；鈍角三角形有1個：△AEC．【點評】本題考查了三角形的定義，三角形的分類，是基礎(chǔ)題，查找三角形時要按照一定的順序才能做到不重不漏．【變式1-2】△ABC的周長為22cm，AB邊比AC邊長2cm，BC邊是AC邊的一半，求△ABC三邊的長．【分析】首先利用一個未知數(shù)表示出各邊長，進而得出等式求出各邊長即可．【解答】解：設(shè)BC＝x，則AC＝2x，AB＝2x+2，∵AB+BC+AC＝22，∴2x+2x+2+x＝22，解得；x＝4，∴AC＝8cm，BC＝4cm，AB＝10cm．【點評】此題主要考查了三角形周長公式，根據(jù)題意得出關(guān)于三角形周長的方程是解題關(guān)鍵．【能力提升1】三角形【提升1-1】在三角形紙片內(nèi)有2008個點，連同三角形紙片的3個頂點，共有2011個點，在這些點中沒有三點在一條直線上．問：以這2011個點為頂點能把三角形紙片分割成多少個沒有重疊部分的小三角形？【分析】根據(jù)題意可以得到當三角形紙片內(nèi)有1個點時，有3個小三角形；當有2個點時，有5個小三角形；當n＝3時，有7個三角形，因而若三角形內(nèi)部有n個點時，一定是有2n+1個三角形．【解答】解：當三角形紙片內(nèi)有1個點時，有3個沒有重疊部分的小三角形；當有2個點時，有5個沒有重疊部分的小三角形；當n＝3時，有7個沒有重疊部分的三角形，…故當三角形紙片內(nèi)有n個點，連同三角形的頂點共n+3個點時，共有2n+1個三角形，當n+3＝2011時，n＝2008，2n+1＝2×2008+1＝4017．答：以這20I1個點為頂點能把三角形紙片分割成4017疊部分的小三角形．【點評】此題考查圖形的變化規(guī)律性；得到三角形的個數(shù)與三角形內(nèi)點的個數(shù)的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．【提升1-2】在同一平面內(nèi)，用3根和5根火柴棒不折斷首尾順次相接，分別擺成三角形，現(xiàn)把這兩個三角形根據(jù)三邊火柴根數(shù)分別記為（1，1，1）和（2，2，1）．（1）現(xiàn)有12根火柴，請你擺一擺，分別畫出符合條件的所有三角形，并標出各邊三角形的火柴根數(shù)？（2）如果有18根火柴，你能擺成幾種三角形？請按題中的記法表示出所有符合條件的三角形．（不要求畫圖）【分析】（1）根據(jù)邊長都為正數(shù)和周長為12，以及三角形邊長的關(guān)系可得出所有的符合條件的三角形．（2）根據(jù)邊長關(guān)系可確定所有符合條件的三角形．【解答】解：（1）根據(jù)邊長都為正數(shù)和周長為12，以及三角形邊長的關(guān)系可得出所有的符合條件的三角形分別為（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）；（2）（2，8，8），（3，7，8），（4，7，7），（4，6，8），（5，6，7），（5，5，8），（6，6，6）．【點評】可以一一列舉出來，這樣問題就引刃而解了，但是要注意有順序的找，這樣不容易遺漏．【提升1-3】如圖所示，∠MBN＝45°，若△ABC的頂點A在射線BM上，且，點C在射線BN上運動（C不與B重合），請你探究：（1）若△ABC是直角三角形，試求線段BC的長，并將點C的位置標注在圖形中；（2）探究：①當BC的值在什么范圍時，△ABC是銳角三角形；②當BC的值在什么范圍時，△ABC是鈍角三角形．【分析】①若△ABC是直角三角形，則有兩種情況：∠ACB＝90°或∠BAC＝90°．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進行計算BC的長；②結(jié)合圖形，知要使△ABC是銳角三角形，則應介于①的兩種情況之間；③結(jié)合圖形，知要使△ABC是鈍角三角形，則應小于①中求得的較小的BC或大于①中求得的較大的BC的長．【解答】解：①如圖所示，當∠ACB＝90°時，則BC＝AB＝1；當∠BAC＝90°時，則BC＝AB＝2．即BC＝1或2時，△ABC是直角三角形；②當1＜BC＜2時，△ABC是銳角三角形；③當BC＜1或BC＞2時，△ABC是鈍角三角形．【點評】此題綜合運用了等腰直角三角形的性質(zhì)，能夠結(jié)合圖形分析不同形狀的三角形的取值范圍．【聚焦考點2】1.三角形的角平分線三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。2.三角形的中線在三角形中，連接一個頂點和它所對應的邊的中點的線段叫做三角形的中線。3.三角形的高從一個三角形頂點向它的對邊所在直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高?！镜淅饰?】三角形有關(guān)線段【典例2-1】如圖，在△ABC中，線段CD是△ABC的高．給出下列三個選項：①∠1＝∠2；②∠B＝∠ADG；③EF⊥AB．從上述三個選項中任選兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，使結(jié)論成立，并說明理由．已知：①②或①③或②③，結(jié)論：③或②或①．（填序號）理由：見解析部分．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可進行求解．【解答】解：已知：①②，結(jié)論：③；理由：∵∠B＝∠ADG，∴DG∥BC，∴∠2＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCB，∴EF∥CD，∵CD⊥AB，∴EF⊥AB；已知：①③，結(jié)論：②；理由：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF∥CD，∴∠1＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴DG∥BC，∴∠B＝∠ADG；已知：②③，結(jié)論：①；理由：∵∠B＝∠ADG，∴DG∥BC，∴∠2＝∠DCB，∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF∥CD，∴∠1＝∠DCB，∴∠1＝∠2．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【典例2-2】如圖，點D是∠ABC的角平分線上的一點，過點D作EF∥BC，DG∥AB．（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度數(shù)．（2）DO是△DEG的角平分線嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BAD的度數(shù)；（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形BGDE是平行四邊形，求得∠EBD＝∠EDB，推出四邊形BGDE是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝130°，∴∠EBC＝50°，∠AEF＝50°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝25°，又∵AD⊥BD，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°；（2）DO是△DEG的角平分線，理由：∵EF∥BC，DG∥AB，∴四邊形BGDE是平行四邊形，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBG，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠GBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴四邊形BGDE是菱形，∴BD平分∠EDG，∴DO是△DEG的角平分線．【點評】本題考查了三角形的中線、角平分線、高線，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，菱形的判定和性質(zhì)，證得四邊形BGDE是菱形是解題的關(guān)鍵．【典例2-3】在△ABC中，AB＝AC，DB為△ABC的中線，且BD將△ABC周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長．【分析】根據(jù)中線的定義得到AD＝CD，設(shè)AD＝CD＝x，則AB＝2x，分類討論：當x+2x＝12，BC+x＝15；當x+2x＝15，BC+x＝12，然后分別求出x和BC，即可得到三角形三邊的長．【解答】解：如圖，∵DB為△ABC的中線∴AD＝CD，設(shè)AD＝CD＝x，則AB＝2x，當x+2x＝12，解得x＝4，BC+x＝15，解得BC＝11，此時△ABC的三邊長為：AB＝AC＝8，BC＝11；當x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，此時△ABC的三邊長為：AB＝AC＝10，BC＝7．【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．針對訓練2【變式2-1】如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若△BCF與△BAF的周長差為3，AB＝7，則BC＝10．?【分析】（1）根據(jù)三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABD，根據(jù)角平分線的定義求出∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)三角形的中線的概念得到AF＝FC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝65°，∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，∵CE是△ACB的角平分線，∠ACB＝50°，∴∠ECB＝∠ACB＝25°，∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；（2）∵F是AC中點，∴AF＝FC，∵△BCF與△BAF的周長差為3，∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3，∴BC﹣AB＝3，∵AB＝7，∴BC＝10，故答案為：10．【點評】本題考查的是三角形的三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．【變式2-2】已知△ABC（如圖），按下列要求畫圖：（1）△ABC的中線AD；（2）△ABD的角平分線DM；（3）△ACD的高線CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周長）且AB＝4，則AC＝7．【分析】（1）取BC的中點D，然后連接AD即可；（2）作∠ADB的平分線交AB于M點；（3）過C點作CN⊥AD于N點；（4）利用三角形中線的定義得到BD＝CD，然后利用三角形周長的定義得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，從而可計算出AC．【解答】解：（1）如圖，AD為所作；（2）如圖，DM為所作；（3）如圖，CN為所作；（4）∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∵C△ADC﹣C△ADB＝3，∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，∴AC﹣AB＝3，∵AB＝4，∴AC＝AB+3＝4+3＝7．故答案為：7．【點評】本題考查三角形的中線，高線，角平分線，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的角平分線、中線和高．【變式2-3】如圖已知：AD是△ABC的中線，AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周長是18cm，求BC的長．【分析】根據(jù)三角形中線的定義得到BC＝2BD，根據(jù)三角形周長公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BC＝2BD，∵AB＝7cm，AD＝5cm，△ABD的周長是18cm，∴BD＝18﹣7﹣5＝6（cm），∴BC的長為12cm．【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握三角形中線的定義是解題的關(guān)鍵．【能力提升2】三角形有關(guān)線段【提升2-1】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多5cm，AB與AC的和為13cm，求AC的長．【分析】根據(jù)中線的定義知CD＝BD．結(jié)合三角形周長公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝13cm．易求AC的長度．【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，∴D為BC的中點，CD＝BD．∵△ADC的周長﹣△ABD的周長＝5cm．∴AC﹣AB＝5cm．又∵AB+AC＝13cm，∴AC＝9cm．即AC的長度是9cm．【點評】本題考查了三角形的中線，根據(jù)周長的差表示出AC﹣AB＝5cm，是解題的關(guān)鍵．【提升2-2】在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分線，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度數(shù)．【分析】由CD⊥AB與∠B＝60°，根據(jù)兩銳角互余，即可求得∠BCD的度數(shù)，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度數(shù)，由CE是∠ACB的平分線，可求得∠ACE的度數(shù)，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠CEB的度數(shù)．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝100°，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝∠ACB＝50°，∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°．或∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°．【點評】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)以及三角形高線，角平分線的定義等知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用．【提升2-3】已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，分別交CD、AC于點F、E，求證：∠CFE＝∠CEF．【分析】題目中有兩對直角，可得兩對角互余，由角平分線及對頂角可得兩對角相等，然后利用等量代換可得答案．【解答】證明：∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4＝90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即∠CFE＝∠CEF．【點評】本題考查了三角形角平分線、中線和高的有關(guān)知識；正確利用角的等量代換是解答本題的關(guān)鍵【聚焦考點3】三角形的分類=1\*GB3①按角分類：三角形直角三角形=2\*GB3②按邊分類三角形三邊都不相等的三角形注：等邊三角形是特殊的等腰三角形【典例剖析3】三角形的分類【典例3-1】三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示(

)

A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形).根據(jù)三角形的分類可直接得到答案．

【解答】

解：三角形根據(jù)邊分類不等邊三角形等腰三角形兩邊相等的三角形三邊相等的三角形(等邊三角形)，

∴圖中小橢圓圈里的A【點評】本題考查三角形按邊分類，不等邊三角形掌握三角形按邊分類是解題關(guān)鍵?！镜淅?-2】下列說法正確的是(

)A.所有的等腰三角形都是銳角三角形

B.等邊三角形屬于等腰三角形

C.不存在既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形

D.一個三角形里有兩個銳角，則一定是銳角三角形【答案】B

【解析】【分析】

根據(jù)銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形的定義一一判斷即可．

本題考查三角形的概念，解題的關(guān)鍵是搞清楚銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形的定義，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．

【解答】

解：A、錯誤，內(nèi)角為30°，30°，120°的等腰三角形是鈍角三角形；

B、正確，等邊三角形屬于等腰三角形；

C、錯誤，內(nèi)角為30°，30°，120°的三角形既是鈍角三角形又是等腰三角形的三角形；

D、錯誤，內(nèi)角為30°，30°，120°的三角形有兩個銳角，是鈍角三角形．

故選：B．

【點評】根據(jù)三角形的分類做出判斷。三角形直角三角形針對訓練3【變式3-1】將一個直角三角形的三邊擴大同樣的倍數(shù)，得到的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．都有可能【答案】B【分析】因為直角三角形三邊擴大同樣的倍數(shù)，而角的度數(shù)不會變，所以得到的新的三角形還是直角三角形．【詳解】解：因為角的度數(shù)和它的兩邊的長短無關(guān)，所以得到的新三角形還是直角三角形；故選B．【點評】本題主要考查“角的度數(shù)和它的兩邊的長短無關(guān)”的知識點．【變式3-2】下圖是鈍角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)鈍角三角形的定義：有一個角是鈍角的三角形為鈍角三角形，依次進行判斷即可．【詳解】解：依據(jù)鈍角三角形的定義：有一個角是鈍角的三角形為鈍角三角形，選項中只有B選項中的三角形含有鈍角，∴B為鈍角三角形，故選：B．【點評】題目主要考查鈍角三角形的定義，理解定義是解題關(guān)鍵．【能力提升3】三角形的分類【提升3-1】△ABC中，已知：∠A=40°，∠B=45°，則△ABC中按角分類是（

）．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．斜三角形【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求得∠C的度數(shù)，再判斷△ABC的分類．【詳解】∵∠A＝40°，∠B＝45°，∴∠C＝180°?40°?45°＝95°，∴△ABC為鈍角三角形，故選：C．【點評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵．【提升3-2】如圖表示三角形的分類，則A表示的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．三邊都不相等的三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形按邊分類，即可求解．【詳解】解：三角形按邊分為三邊都不等的三角形，等腰三角形（兩邊相等的等腰三角形，三邊相等的等邊三角形），故選：D．【點評】本題主要考查三角形的分類，掌握三角形按邊分類的方法是解題的關(guān)鍵?！揪劢箍键c4】三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．【典例剖析4】構(gòu)成三角形的條件【典例4-1】已知a、b、c是三角形的三邊長，①化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求這個三角形的各邊．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，再化去絕對值即可；（2）通過解三元一次方程組，即可得出三角形的各邊．【解答】解：（1）∵a、b、c是三角形的三邊長，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b＝a+b+c；（2）∵a+b＝11①，b+c＝9②，a+c＝10③，∴由①﹣②，得a﹣c＝2，④由③+④，得2a＝12，∴a＝6，∴b＝11﹣6＝5，∴c＝10﹣6＝4．【點評】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，以及三元一次方程組，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．【典例4-2】如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，求證：AB+AC＞PB+PC．【分析】首先延長BP交AC于點D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把兩個不等式相加整理后可得結(jié)論．【解答】證明：延長BP交AC于點D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理：兩邊之和大于第三邊．針對訓練4【變式4-1】如圖，在△BCD中，BC＝3，BD＝5．（1）若CD的長是偶數(shù)，請求出CD的值；（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出CD取值范圍，再根據(jù)CD的長為偶數(shù)即可得出CD的取值；（2）由平行線的性質(zhì)和已知條件求解即可．【解答】解：（1）在△BCD中，BC＝3，BD＝5，∴2＜DC＜8；又CD的長是偶數(shù)∴CD＝4或6；（2）∵AE∥BD，∠A＝55°，∴∠CBD＝55°，又∵∠BDE＝125°，∴∠C＝∠BDE﹣∠CBD＝125°﹣55°＝70°．【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，平行線的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，掌握定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】已知三角形的兩邊長分別為1和4，第三邊長為整數(shù)，求該三角形的周長．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，求得第三邊的取值范圍，再進一步根據(jù)第三邊是整數(shù)求出x的值，據(jù)此可得出三角形的周長．【解答】解：設(shè)第三邊的長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵第三條邊長為整數(shù)，∴第三邊是4