高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省部分高中（上進聯(lián)考）2025屆高三下學期4月聯(lián)考檢測（二模）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】因為，所以所以故選：B.2.已知若直線AB經(jīng)過點C，則t=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】因為直線經(jīng)過點，所以，所以，解得.故選：A3.已知集合則（）A.{2} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}【答案】C【解析】因為且，所以或或或，解得或或或，所以，由，得所以，所以.故選：C.4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.故選:D.5.“橢圓的焦點在y軸”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若橢圓的焦點在y軸，則，解得.對于A，由能推出，反之不成立，符合題意；對于B，由不能推出，不符合題意；對于C，顯然為充要條件，不符合題意；對于D，由不能推出，不符合題意；故選：A6.定義上進函數(shù)，其函數(shù)值為n的正約數(shù)的個數(shù)，例如，.若，已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則必是的一個約數(shù)，若有其它約數(shù)必會成對出現(xiàn)，則為正奇數(shù)，所以.故選：B7.在三棱錐中，平面平面，，，，若點、、、均在球的表面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，、平面，所以平面，因為平面，所以，取線段的中點，連接、，則，故為球的直徑，故球的半徑，所以球的體積為.故選：C8.已知函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令f(x)=0，得即令則(1-e)t-1=0，令則令在區(qū)間(ln(e-1)，+∞)上單調(diào)遞增；令在區(qū)間上單調(diào)遞減，又1，h(0)=h（1）=0，則h(x)=0有且只有兩個根，分別為0，1.當a≥0時，函數(shù)f(x)恰有2個零點等價于的圖象與直線y=0和y=1共有2個交點.令p(x)=lnx+ax，則則p(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，則y=ax+lnx的圖象與直線y=0和y=1各有1個交點，符合題意.當a<0時，函數(shù)f(x)恰有2個零點，等價于函數(shù)y=lnx的圖象與直線y=-ax，y=1-ax的圖象共有2個交點，臨界情況為兩條直線分別與y=lnx的圖象相切.如圖1，當y=-ax與y=lnx相切，設(shè)對應(yīng)切點為，因為則相應(yīng)切線方程為如圖2，當y=1-ax與y=lnx相切，設(shè)對應(yīng)切點為，則相應(yīng)切線方程為則綜上故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.贛南臍橙，江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品.現(xiàn)從某基地采摘的所有臍橙中隨機抽取了100個臍橙，測量這些臍橙的果徑(單位：mm)，并將所得果徑數(shù)據(jù)分成以下幾組：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，所得數(shù)據(jù)如頻率分布直方圖所示(同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，則（）A.a的值為0.030B.這100個臍橙果徑的平均數(shù)為75C.這100個臍橙果徑的第60百分位數(shù)為80D.這100個臍橙中果徑不小于80mm的個數(shù)為40【答案】ACD【解析】由，得，故A正確；由頻率分布直方圖知，每組的頻率依次為0.10，0.15，0.35，0.30，0.10，故這100個臍橙果徑的平均數(shù)，故B錯誤；前三組的頻率和為，因此這100個臍橙果徑的第60百分位數(shù)為80，故C正確；果徑不小于80mm的頻率為，故這100個臍橙中果徑不小于80mm的個數(shù)為，故D正確.故選：ACD.10.在平面直角坐標系中，曲線C由函數(shù)和的圖象構(gòu)成，則（）A.C關(guān)于直線對稱B.C關(guān)于點對稱C.直線被C截得的線段長的最大值為D.C圍成的圖形的面積大于【答案】AC【解析】畫出C的圖象，由圖可知A正確，B錯誤；直線被C截的弦長為故C正確；當時，如圖，4個陰影部分面積相等，區(qū)域②的面積小于區(qū)域①的面積，區(qū)域③的面積小于區(qū)域④的面積.利用割補法知曲線C在上圍成的圖形的面積小于以為寬、2為高的矩形ABCD的面積，即曲線C圍成的圖形的面積小于，故D錯誤.故選：AC.11.記為數(shù)列前項和，且現(xiàn)定義，()，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由得即又也滿足上式，所以當時，由得故即所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項公比故故故A錯誤；由，，所以故B正確；下面利用數(shù)學歸納法證明：成立.①當時，②假設(shè)當時，命題成立，即成立，那么當時，由，可得，即，∴，，，，將上式相加可得，又則，∴即當時命題也成立，故所以故C正確；當時，由易得成立，當時，由C選項知，∴，，，上式相加得：，又由上知，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則不等式的解集是________.【答案】【解析】由，在R上都單調(diào)遞減，且都是奇函數(shù)，所以是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，故，則，即，所以不等式的解集為.故答案為：13.為吸引顧客，某大型超市開業(yè)期間租了含甲、乙在內(nèi)的五個迎賓機器人，現(xiàn)將這五個機器人分別分配到一、二、三樓擔任迎賓工作，若要求每個樓層至少分配一個機器人，一個機器人只能去一個樓層，且機器人甲、乙不在同一個樓層，則不同的分配方法種數(shù)為________.(用數(shù)字作答)【答案】114【解析】所有可能的分配方法數(shù)為：若一個樓層分配三個機器人，其余兩個樓層分配一個，則總數(shù)為種，若一個樓層分配一個機器人，其它兩個樓層每層分配兩個機器人，則分配方法的總數(shù)為種，兩者相加可得所有分配方法總數(shù)為種.甲、乙在同一個樓層的分配方法可計算如下：先從三個樓層中選一個樓層安排機器人甲、乙，有種分法，若剩下三個機器人分配到其余兩個樓層，可以先在三個機器人中選擇兩個一組，再在兩個樓層中選擇一層樓分配這兩個機器人，有種分法，若剩下的三個機器人分配到三個樓層，有種分法，故甲、乙在同一個樓層的不同的分配方法種數(shù)為種，所以甲、乙不在同一個樓層的不同分配方法數(shù)為種.故答案為：.14.已知點F為雙曲線左焦點，C上A，B兩點關(guān)于原點O對稱(點A在第一象限)，且設(shè)△AFB的面積為S，若則C的離心率為________.【答案】【解析】解法一：設(shè)的右焦點為，如圖，由條件知.由對稱性知，設(shè)由條件得，解得，所以，所以C的離心率為解法二：設(shè)C的右焦點為F'，如圖，由，得，所以，由對稱性可知四邊形為矩形，所以△AFB與的面積相等，且點A，B均在以為直徑的圓O上，所以圓O的半徑為c，設(shè)點A(x?，y?)，則，聯(lián)立化簡可得整理得，解得；由得到，即所以，可得，因為為圓O的直徑，所以即整理得所以離心率故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知鈍角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若，證明：是等腰三角形.（1）解：由和正弦定理，可得因為，所以，即得，即.又因是鈍角三角形，，故，因，即.（2）證明：由，及余弦定理得：解得，又，解得，所以是等腰三角形.16.如圖，在四棱臺中，平面，底面是梯形，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，由余弦定理得所以所以,即，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面；（2）解：以D為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，由得所以，設(shè)平面的法向量為，，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為17.DeepSeek，全稱杭州深度求索人工智能基礎(chǔ)技術(shù)研究有限公司，2024年末DeepSeek-R1一經(jīng)發(fā)布，引發(fā)全球轟動，其科技水準直接對標美國的OpenAIGPT-4.為提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并對員工進行了DeepSeek培訓.公司規(guī)定：只有培訓合格才能上崗，否則將補訓.（1）若員工甲、乙、丙培訓合格的概率分別為求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要補訓的概率；（2）為了激發(fā)員工的培訓積極性，提升員工使用DeepSeek的能力，M公司在培訓過后舉辦了一次DeepSeek知識競賽.已知參加這次知識競賽員工的競賽成績Z近似服從正態(tài)分布N(90，9)，若該集團共有2000名員工，試估計這些員工中成績超過93分的人數(shù)；(結(jié)果精確到個位)（3）參加了知識競賽的員工還可繼續(xù)參與第二輪答題贏重獎活動，活動規(guī)則如下：共有3道題，每答對1道題獎勵現(xiàn)金800元.已知參與知識競賽的員工甲答對每道題的概率均為且每題答對與否都相互獨立，記甲獲得總獎金為X元，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).參考數(shù)據(jù)：若Z~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.解：（1）分別記甲、乙、丙培訓合格為事件A，B，C，則甲、乙、丙三人中至少有一人不需要補訓的概率（2）由已知得μ的近似值為90，σ的近似值為3，所以而，所以估計這些員工中成績超過93分的人數(shù)為317.（3）X的所有可能取值為0，800，1600，2400，所以X的分布列為x080016002400P18.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍；（3）證明：.（1）解：函數(shù)的定義域為，又當時，恒成立，所以在單調(diào)遞減；當時，令，得，所以在上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）解：不等式，等價于，等價于，解法一：設(shè)，，則，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以當時，，即，當時，，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍為；解法二：先證明兩個不等式：和，由（1）知，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即；設(shè)，則，則當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，故，故，由于，，且都是當且僅當時等號成立，則，所以，即的取值范圍為.（3）證明：由（2）知時，，，即恒成立，所以，當且僅當時等號成立，令，，所以所以，所以.19.已知拋物線C：的焦點F關(guān)于直線對稱的點為（1）求C的方程；（2）設(shè)原點為O，點P，Q均在C上.若直線PQ經(jīng)過點，直線OP與直線相交于點M，點Q在上的投影為R，設(shè)與x軸的交點為S，問：是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由；（3）已知點，點G，H均在C上，若直線AG，AH的斜率互為相反數(shù)，且AG的斜率大于1，記點F到直線GH的距離為d，求的最大值.解：（1）由已知得，則線段的中點為，該中點在直線上，所以，解得，所以C的方程為（2）設(shè)直線PQ的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，可得，且，則又直線OP的方程為，令，得點M的縱坐標，又點Q在上的射影為R，所以點R的縱坐標，所以，所以為定值2.（3）設(shè)，與聯(lián)立，得，所以用代替k可得，，因此直線的方程為，點到直線GH的距離為，因為，所以，令，由得，所以當且僅當，即時取等號.所以的最大值為江西省部分高中（上進聯(lián)考）2025屆高三下學期4月聯(lián)考檢測（二模）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】因為，所以所以故選：B.2.已知若直線AB經(jīng)過點C，則t=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】因為直線經(jīng)過點，所以，所以，解得.故選：A3.已知集合則（）A.{2} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}【答案】C【解析】因為且，所以或或或，解得或或或，所以，由，得所以，所以.故選：C.4.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.故選:D.5.“橢圓的焦點在y軸”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若橢圓的焦點在y軸，則，解得.對于A，由能推出，反之不成立，符合題意；對于B，由不能推出，不符合題意；對于C，顯然為充要條件，不符合題意；對于D，由不能推出，不符合題意；故選：A6.定義上進函數(shù)，其函數(shù)值為n的正約數(shù)的個數(shù)，例如，.若，已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則必是的一個約數(shù)，若有其它約數(shù)必會成對出現(xiàn)，則為正奇數(shù)，所以.故選：B7.在三棱錐中，平面平面，，，，若點、、、均在球的表面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，、平面，所以平面，因為平面，所以，取線段的中點，連接、，則，故為球的直徑，故球的半徑，所以球的體積為.故選：C8.已知函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令f(x)=0，得即令則(1-e)t-1=0，令則令在區(qū)間(ln(e-1)，+∞)上單調(diào)遞增；令在區(qū)間上單調(diào)遞減，又1，h(0)=h（1）=0，則h(x)=0有且只有兩個根，分別為0，1.當a≥0時，函數(shù)f(x)恰有2個零點等價于的圖象與直線y=0和y=1共有2個交點.令p(x)=lnx+ax，則則p(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，則y=ax+lnx的圖象與直線y=0和y=1各有1個交點，符合題意.當a<0時，函數(shù)f(x)恰有2個零點，等價于函數(shù)y=lnx的圖象與直線y=-ax，y=1-ax的圖象共有2個交點，臨界情況為兩條直線分別與y=lnx的圖象相切.如圖1，當y=-ax與y=lnx相切，設(shè)對應(yīng)切點為，因為則相應(yīng)切線方程為如圖2，當y=1-ax與y=lnx相切，設(shè)對應(yīng)切點為，則相應(yīng)切線方程為則綜上故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.贛南臍橙，江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品.現(xiàn)從某基地采摘的所有臍橙中隨機抽取了100個臍橙，測量這些臍橙的果徑(單位：mm)，并將所得果徑數(shù)據(jù)分成以下幾組：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，所得數(shù)據(jù)如頻率分布直方圖所示(同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，則（）A.a的值為0.030B.這100個臍橙果徑的平均數(shù)為75C.這100個臍橙果徑的第60百分位數(shù)為80D.這100個臍橙中果徑不小于80mm的個數(shù)為40【答案】ACD【解析】由，得，故A正確；由頻率分布直方圖知，每組的頻率依次為0.10，0.15，0.35，0.30，0.10，故這100個臍橙果徑的平均數(shù)，故B錯誤；前三組的頻率和為，因此這100個臍橙果徑的第60百分位數(shù)為80，故C正確；果徑不小于80mm的頻率為，故這100個臍橙中果徑不小于80mm的個數(shù)為，故D正確.故選：ACD.10.在平面直角坐標系中，曲線C由函數(shù)和的圖象構(gòu)成，則（）A.C關(guān)于直線對稱B.C關(guān)于點對稱C.直線被C截得的線段長的最大值為D.C圍成的圖形的面積大于【答案】AC【解析】畫出C的圖象，由圖可知A正確，B錯誤；直線被C截的弦長為故C正確；當時，如圖，4個陰影部分面積相等，區(qū)域②的面積小于區(qū)域①的面積，區(qū)域③的面積小于區(qū)域④的面積.利用割補法知曲線C在上圍成的圖形的面積小于以為寬、2為高的矩形ABCD的面積，即曲線C圍成的圖形的面積小于，故D錯誤.故選：AC.11.記為數(shù)列前項和，且現(xiàn)定義，()，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由得即又也滿足上式，所以當時，由得故即所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項公比故故故A錯誤；由，，所以故B正確；下面利用數(shù)學歸納法證明：成立.①當時，②假設(shè)當時，命題成立，即成立，那么當時，由，可得，即，∴，，，，將上式相加可得，又則，∴即當時命題也成立，故所以故C正確；當時，由易得成立，當時，由C選項知，∴，，，上式相加得：，又由上知，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則不等式的解集是________.【答案】【解析】由，在R上都單調(diào)遞減，且都是奇函數(shù)，所以是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，故，則，即，所以不等式的解集為.故答案為：13.為吸引顧客，某大型超市開業(yè)期間租了含甲、乙在內(nèi)的五個迎賓機器人，現(xiàn)將這五個機器人分別分配到一、二、三樓擔任迎賓工作，若要求每個樓層至少分配一個機器人，一個機器人只能去一個樓層，且機器人甲、乙不在同一個樓層，則不同的分配方法種數(shù)為________.(用數(shù)字作答)【答案】114【解析】所有可能的分配方法數(shù)為：若一個樓層分配三個機器人，其余兩個樓層分配一個，則總數(shù)為種，若一個樓層分配一個機器人，其它兩個樓層每層分配兩個機器人，則分配方法的總數(shù)為種，兩者相加可得所有分配方法總數(shù)為種.甲、乙在同一個樓層的分配方法可計算如下：先從三個樓層中選一個樓層安排機器人甲、乙，有種分法，若剩下三個機器人分配到其余兩個樓層，可以先在三個機器人中選擇兩個一組，再在兩個樓層中選擇一層樓分配這兩個機器人，有種分法，若剩下的三個機器人分配到三個樓層，有種分法，故甲、乙在同一個樓層的不同的分配方法種數(shù)為種，所以甲、乙不在同一個樓層的不同分配方法數(shù)為種.故答案為：.14.已知點F為雙曲線左焦點，C上A，B兩點關(guān)于原點O對稱(點A在第一象限)，且設(shè)△AFB的面積為S，若則C的離心率為________.【答案】【解析】解法一：設(shè)的右焦點為，如圖，由條件知.由對稱性知，設(shè)由條件得，解得，所以，所以C的離心率為解法二：設(shè)C的右焦點為F'，如圖，由，得，所以，由對稱性可知四邊形為矩形，所以△AFB與的面積相等，且點A，B均在以為直徑的圓O上，所以圓O的半徑為c，設(shè)點A(x?，y?)，則，聯(lián)立化簡可得整理得，解得；由得到，即所以，可得，因為為圓O的直徑，所以即整理得所以離心率故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知鈍角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若，證明：是等腰三角形.（1）解：由和正弦定理，可得因為，所以，即得，即.又因是鈍角三角形，，故，因，即.（2）證明：由，及余弦定理得：解得，又，解得，所以是等腰三角形.16.如圖，在四棱臺中，平面，底面是梯形，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，由余弦定理得所以所以,即，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面；（2）解：以D為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，由得所以，設(shè)平面的法向量為，，令，得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為17.DeepSeek，全稱杭州深度求索人工智能基礎(chǔ)技術(shù)研究有限公司，2024年末DeepSeek-R1一經(jīng)發(fā)布，引發(fā)全球轟動，其科技水準直接對標美國的OpenAIGPT-4.為提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并對員工進行了DeepSeek培訓.公司規(guī)定：只有培訓合格才能上崗，否則將補訓.（1）若員工甲、乙、丙培訓合格的概率分別為求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要補訓的概率；（2）為了激發(fā)員工的培訓積極性，提升員工使用DeepSeek的能力，M公司在培訓過后舉辦了一次DeepSeek知識競賽.已知參加這次知識競賽員工的競賽成績Z近似服從正態(tài)分布N(90，9)，若該集團共有2000名員工，試估計這些員工中成績超過93分的人數(shù)；(結(jié)果精確到個位)（3）參加了知識競賽的員工還可繼續(xù)參與第二輪答題贏重獎活動，活動規(guī)則如下：共有3道題，每答對1道題獎勵現(xiàn)金800元.已知參與知識競賽的員工甲答對每道題的概率均為且每題答對與否都相互獨立，記甲獲得總獎金為X元，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).參考數(shù)據(jù)：若Z~