高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市2024屆普通高考第二次模擬考試數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于拋物線，的準線方程是.故選：B.2.展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因，所以由為真子集，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B.4.若實數(shù)，滿足，且.則下列四個數(shù)中最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知：，且，所以，，故排除D.因為，故排除A.因為，故排除C.故選：B5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小球都取到才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個小球，利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】18組隨機數(shù)中，滿足條件的有221，132，112，241，142，這5組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計恰好抽取三次就停止的概率.故選：D6.已知兩個等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460【答案】B【解析】第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項為2，其通項公式為，令，得，故，則，故選：B.7.已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，且，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，，且，，把三棱錐補成一個長方體，如圖所示：所以長方體的外接球即是三棱錐的外接球，因為，，可得長方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為，故選：D．8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，則，又，所以，所以在為減函數(shù)，所以，所以，即實數(shù)a的最大值是.故選：C二.選擇題9.某校高三年級選考生物科的學生共1000名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分的分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級分，則（）參考數(shù)據(jù)：；；.A.這次考試等級分的標準差為25B.這次考試等級分超過80分的約有450人C.這次考試等級分在內(nèi)的人數(shù)約為997D.【答案】CD【解析】對于A，由題設，均值，方差，所以標準差為5，故A錯誤；對于B，，所以人，故B錯誤；對于C，，則人，故C正確；對于D，故D正確．故選：CD.10.如圖，函數(shù)的部分圖象與坐標軸分別交于點、、，且的面積為，則（）A.點的縱坐標為1B.在上單調(diào)遞增C.點是圖象的一個對稱中心D.的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將圖象向左平移個單位得到【答案】ABC【解析】對于A，由周期可知，，所以，則，即點的縱坐標為1，故A正確；即，且，所以，即，對于B，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，，所以點是圖象的一個對稱中心，故C正確；對于D，將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得，再將圖象向左平移個單位得，故D錯誤.故選：ABC11.用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，也即圓錐曲線.探究發(fā)現(xiàn)：當圓錐軸截面的頂角為時，若截面與軸所成的角為，則截口曲線的離心率.例如，當時，，由此知截口曲線是拋物線.如圖，圓錐中，、分別為、的中點，、為底面的兩條直徑，且、，.現(xiàn)用平面（不過圓錐頂點）截該圓錐，則（）A.若，則截口曲線為圓B.若與所成的角為，則截口曲線為橢圓或橢圓的一部分C.若，則截口曲線為拋物線的一部分D.若截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則【答案】BCD【解析】對于A，由題意知過MN的平面與底面不平行，則截口曲線不為圓，故A錯誤；對于B，與所成的角為，所以，因為，所以，即，所以，所以平面截該圓錐得的截口曲線為橢圓或橢圓的一部分，故B正確；對于C，因為平面，平面，所以，因為，，SOD，所以平面SOD，又因為平面SOD，所以又為、的中點，所以，平面MAB，所以平面MAB，所以與SO所成的角為，所以，，故C正確；對于D，截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則，所以平面，故平面不經(jīng)過原點O，故D正確．故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.寫出一個滿足，且的復數(shù)，________.【答案】（答案不唯一）【解析】設，，因為，所以，，由，解得或，則（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.13.已知直線x+y=a與圓交于A?B兩點，且，其中O為坐標原點，則實數(shù)a的值為________.【答案】【解析】因，由向量加法和減法的幾何意義知，以線段OA，OB為一組鄰邊的平行四邊形兩條對角線長相等，從而這個平行四邊形是矩形，即，又，則是等腰直角三角形，于是點O到直線AB距離為，所以，即.故答案為：14.已知數(shù)列：0，2，0，2，0，現(xiàn)按規(guī)則：每個0都變?yōu)椤?，0，2”，每個2都變?yōu)椤?，2，0”對該數(shù)列進行變換，得到一個新數(shù)列，記數(shù)列，，則數(shù)列的項數(shù)為________，設的所有項的和為，則________.【答案】【解析】因為共5項，在f作用下，每個項都變?yōu)?個項，所以的項數(shù)是首項為5，公比為3的等比數(shù)列，所以的項數(shù)為根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項中，與0的個數(shù)相同，則與之相鄰的下一個數(shù)列中與0的個數(shù)也相同；若比0多個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比0的個數(shù)少個；若比0少個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比0的個數(shù)多個；因為中有項，其中個，個0，比0少個，所以的項中，比0的個數(shù)多個；以此類推，若為奇數(shù)，則數(shù)列的各項中比0少個，若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項中比0多個；所以數(shù)列中2比0多1個，所以故答案為：；.四、解答題15.中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、.（1）若，，求的值；（2）求證：（1）解：因為，所以，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，整理可得，所以.（2）證明：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以.16.設是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程有實根；②在定義域區(qū)間上可導，且滿足.（1）判斷，是否是集合中的元素，并說明理由；（2）設函數(shù)為集合中的任意一個元素，證明：對其定義域區(qū)間中的任意、，都有.解：（1）當時，，滿足條件②；令，則，在上存在零點，即方程有實數(shù)根，滿足條件①，綜上可知，（2）不妨設在D上單調(diào)遞增，，即①令則，在D上單調(diào)遞減，，即，②由①②得：17.2023年，我國新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過60%，中國成為世界第一大汽車出口國.某汽車城統(tǒng)計新能源汽車從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)與銷售總量（單位：輛），采集了一組共20對數(shù)據(jù)，并計算得到回歸方程，且這組數(shù)據(jù)中，連續(xù)的營業(yè)天數(shù)的方差，銷售總量的方差.（1）求樣本相關系數(shù)，并刻畫與的相關程度；（2）在這組數(shù)據(jù)中，若連續(xù)的營業(yè)天數(shù)滿足，試推算銷售總量的平均數(shù).附：經(jīng)驗回歸方程，其中，.樣本相關系數(shù)，.解：（1）因為，，可以推斷連續(xù)的營業(yè)天數(shù)與銷售總量這兩個變量正線性相關，且相關程度很強．（2），（負值已舍去），而，從而.18.如圖，矩形中，，.、、、分別是矩形四條邊的中點，設，.（1）證明：直線與的交點在橢圓：上；（2）已知為過橢圓的右焦點的弦，直線與橢圓的另一交點為，若，試判斷、、是否成等比數(shù)列，請說明理由.（1）證明：設，依題意，，，，，則直線的方程為，①直線的方程為，②①×②得：即故直線與的交點M在橢圓上；（2）解：依題意，直線的斜率均不為零，故設直線PO的方程為，直線MO的方程為由得：由得即成等比數(shù)列.19.日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣月餅時，為美觀起見，通常會用彩繩對月餅盒做一個捆扎，常見的捆扎方式有兩種，如圖（A）、（B）所示，并配上花結(jié).圖（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.（1）若，記點關于平面的對稱點為，點關于直線的對稱點為.（?。┣缶€段的長；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（2）據(jù)烘焙店的店員說，圖（A）這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖（B）的十字捆扎更節(jié)省彩繩.你同意這種說法嗎？請給出你的理由.（注意，此時、、、、、、、這8條線段可能長短不一）解：（1）（?。┤鐖D，以為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，設平面的法向量為則有，取得點H到平面的距離，線段的長為（ⅱ）設為的中點，則且，由（?。┲?，又為平面ABCD的法向量，直線與平面ABCD所成角正弦值為.（2）如圖所示，對于圖(A)，沿彩繩展開正四棱柱，則彩繩長度的最小值，如下圖，最小值為，對于圖(B)，彩繩長度的最小值為，因為，所以店員的說法是正確的．（也可以不計算，由三角形兩邊之和大于第三邊直觀給出答案）廣東省汕頭市2024屆普通高考第二次模擬考試數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于拋物線，的準線方程是.故選：B.2.展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因，所以由為真子集，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B.4.若實數(shù)，滿足，且.則下列四個數(shù)中最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知：，且，所以，，故排除D.因為，故排除A.因為，故排除C.故選：B5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小球都取到才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分別代表紅、黃、黑、白四個小球，利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：341332341144221132243331112342241244342142431233214344由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】18組隨機數(shù)中，滿足條件的有221，132，112，241，142，這5組數(shù)據(jù)滿足條件，所以估計恰好抽取三次就停止的概率.故選：D6.已知兩個等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460【答案】B【解析】第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項為2，其通項公式為，令，得，故，則，故選：B.7.已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，且，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，，且，，把三棱錐補成一個長方體，如圖所示：所以長方體的外接球即是三棱錐的外接球，因為，，可得長方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為，故選：D．8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，則，又，所以，所以在為減函數(shù)，所以，所以，即實數(shù)a的最大值是.故選：C二.選擇題9.某校高三年級選考生物科的學生共1000名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分的分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級分，則（）參考數(shù)據(jù)：；；.A.這次考試等級分的標準差為25B.這次考試等級分超過80分的約有450人C.這次考試等級分在內(nèi)的人數(shù)約為997D.【答案】CD【解析】對于A，由題設，均值，方差，所以標準差為5，故A錯誤；對于B，，所以人，故B錯誤；對于C，，則人，故C正確；對于D，故D正確．故選：CD.10.如圖，函數(shù)的部分圖象與坐標軸分別交于點、、，且的面積為，則（）A.點的縱坐標為1B.在上單調(diào)遞增C.點是圖象的一個對稱中心D.的圖象可由的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將圖象向左平移個單位得到【答案】ABC【解析】對于A，由周期可知，，所以，則，即點的縱坐標為1，故A正確；即，且，所以，即，對于B，當時，，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，，所以點是圖象的一個對稱中心，故C正確；對于D，將的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），得，再將圖象向左平移個單位得，故D錯誤.故選：ABC11.用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，也即圓錐曲線.探究發(fā)現(xiàn)：當圓錐軸截面的頂角為時，若截面與軸所成的角為，則截口曲線的離心率.例如，當時，，由此知截口曲線是拋物線.如圖，圓錐中，、分別為、的中點，、為底面的兩條直徑，且、，.現(xiàn)用平面（不過圓錐頂點）截該圓錐，則（）A.若，則截口曲線為圓B.若與所成的角為，則截口曲線為橢圓或橢圓的一部分C.若，則截口曲線為拋物線的一部分D.若截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則【答案】BCD【解析】對于A，由題意知過MN的平面與底面不平行，則截口曲線不為圓，故A錯誤；對于B，與所成的角為，所以，因為，所以，即，所以，所以平面截該圓錐得的截口曲線為橢圓或橢圓的一部分，故B正確；對于C，因為平面，平面，所以，因為，，SOD，所以平面SOD，又因為平面SOD，所以又為、的中點，所以，平面MAB，所以平面MAB，所以與SO所成的角為，所以，，故C正確；對于D，截口曲線是離心率為的雙曲線的一部分，則，所以平面，故平面不經(jīng)過原點O，故D正確．故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.寫出一個滿足，且的復數(shù)，________.【答案】（答案不唯一）【解析】設，，因為，所以，，由，解得或，則（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.13.已知直線x+y=a與圓交于A?B兩點，且，其中O為坐標原點，則實數(shù)a的值為________.【答案】【解析】因，由向量加法和減法的幾何意義知，以線段OA，OB為一組鄰邊的平行四邊形兩條對角線長相等，從而這個平行四邊形是矩形，即，又，則是等腰直角三角形，于是點O到直線AB距離為，所以，即.故答案為：14.已知數(shù)列：0，2，0，2，0，現(xiàn)按規(guī)則：每個0都變?yōu)椤?，0，2”，每個2都變?yōu)椤?，2，0”對該數(shù)列進行變換，得到一個新數(shù)列，記數(shù)列，，則數(shù)列的項數(shù)為________，設的所有項的和為，則________.【答案】【解析】因為共5項，在f作用下，每個項都變?yōu)?個項，所以的項數(shù)是首項為5，公比為3的等比數(shù)列，所以的項數(shù)為根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項中，與0的個數(shù)相同，則與之相鄰的下一個數(shù)列中與0的個數(shù)也相同；若比0多個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比0的個數(shù)少個；若比0少個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比0的個數(shù)多個；因為中有項，其中個，個0，比0少個，所以的項中，比0的個數(shù)多個；以此類推，若為奇數(shù)，則數(shù)列的各項中比0少個，若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項中比0多個；所以數(shù)列中2比0多1個，所以故答案為：；.四、解答題15.中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、.（1）若，，求的值；（2）求證：（1）解：因為，所以，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，整理可得，所以.（2）證明：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以.16.設是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程有實根；②在定義域區(qū)間上可導，且滿足.（1）判斷，是否是集合中的元素，并說明理由；（2）設函數(shù)為集合中的任意一個元素，證明：對其定義域區(qū)間中的任意、，都有.解：（1）當時，，滿足條件②；令，則，在上存在零點，即方程有實數(shù)根，滿足條件①，綜上可知，（2）不妨設在D上單調(diào)遞增，，即①令則，在D上單調(diào)遞減，，即，②由①②得：17.2023年，我國新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過60%，中國成為世界第一大汽車出口國.某汽車城統(tǒng)計新能源汽車從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)與銷售總量（單位：輛），采集了一組共20對數(shù)據(jù)，并計算得到回歸方程，且這組數(shù)據(jù)中，連續(xù)的營業(yè)天數(shù)的方差，銷售總量的方差.（1）求樣本相關系數(shù)，并刻畫與的相關程度；（2）在這組數(shù)據(jù)中，若連續(xù)的營業(yè)天數(shù)滿足，試推算銷售總量的平均數(shù).附：經(jīng)驗回歸方程，其中，.樣本相關系數(shù)，.解：（1）因為，，可以推斷連續(xù)的營業(yè)天數(shù)與銷售總量這兩個變量正線性相關，且相關程度很強．（2），（負值已舍去），而，從而.18.如圖，矩形中，，.、、、分別是矩形四條邊的中點，設，.（1）證明：直線與的交點在橢圓：上；（2）已知為過橢圓的右焦點的弦，直線與橢圓的另一交點為，若，試判斷、、是否成等比數(shù)列，請說明理由.（1）證明：設，依題意，，，，，則直線的方程為，①直線的方程為，②①×②得：即故直線與的交點M在橢圓上；（2）解