第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年江蘇省揚州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列溫度中，比?3℃低的溫度是(

)A.?5℃ B.?2℃ C.0℃ D.2℃2.窗欞是中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的重要元素，既散發(fā)著古典之韻，又展現(xiàn)了幾何之美.下列窗欞圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.3.下列說法不正確的是(

)A.明天下雨是隨機事件

B.調(diào)查長江中現(xiàn)有魚的種類，適宜采用普查的方式

C.描述一周內(nèi)每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統(tǒng)計圖

D.若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2=0.134.關(guān)于一元二次方程x2?3x+1=0的根的情況，下列結(jié)論正確的是(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根 D.無法判斷根的情況5.如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是(

)A.2 B.3 C.76.在如圖的房屋人字梁架中，AB=AC，點D在BC上，下列條件不能說明AD⊥BC的是(

)A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C

C.BD=CD D.AD平分∠BAC7.如圖，平行于主光軸PQ的光線AB和CD經(jīng)過凸透鏡折射后，折射光線BE，DF交于主光軸上一點G.若∠ABE=130°，∠CDF=150°，則∠EGF的度數(shù)是(

)A.60° B.70° C.80° D.90°8.已知m2025+2025m=2025，則一次函數(shù)y=(1?m)x+m的圖象不經(jīng)過(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。9.2025年3月30日，揚州鑒真半程馬拉松暨大運河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛.將數(shù)據(jù)30000用科學(xué)記數(shù)法表示為______．10.分解因式：a2?4=______．11.計算：(1?2x)÷112.若a2?2b+1=0，則代數(shù)式2a13.若多邊形的每個內(nèi)角都是140°，則這個多邊形的邊數(shù)為______．14.如圖，點A，B，C在⊙O上，∠BAC=50°，則∠OBC=______°.15.如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC的中點，點F在線段DE的延長線上，且∠BFC=90°.若AC=4，BC=8，則DF的長是______．16.清代揚州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn).由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；??根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為______．17.如圖1，棱長為9cm的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm.將此正方體放在坡角為α的斜坡上，此時水面MN恰好與點A齊平，其主視圖如圖2所示，則tanα=______．18.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，點E是BC邊上的動點，將△ABE沿直線AE翻折得到△APE，過點P作PF⊥AD，垂足為F，點Q是線段AP上一點，且AQ=12PF.當(dāng)點E從點B運動到點C時，點三、解答題：本題共10小題，共96分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題8分)

計算：

(1)12?2cos30°+(π+1)0；20.(本小題8分)

解不等式組4x?3≤x3(x+1)>2x，并寫出它的所有負(fù)整數(shù)解．21.(本小題8分)

為角逐市校園“音樂達(dá)人”大賽，小紅和小麗參加了校內(nèi)選拔賽，10位評委的評分情況如下(單位：分)．

表1評委評分?jǐn)?shù)據(jù)選手評委評分小紅7878777879小麗7768888878表2評委評分?jǐn)?shù)據(jù)分析選手平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)小紅7.5b7小麗a8c根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)表2中a=______，b=______，c=______；

(2)你認(rèn)為小紅和小麗誰的成績較好？請說明理由．22.(本小題8分)

為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學(xué)生選擇：A.羽毛球，B.乒乓球，C.花樣跳繩，D.踢毽子，每名學(xué)生只能選擇其中一種體育活動．

(1)若小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是______；

(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率．23.(本小題10分)

某文創(chuàng)商店推出甲、乙兩款具有紀(jì)念意義和實用價值的書簽，已知甲款書簽價格是乙款書簽價格的54倍，且用100元購買甲款書簽的數(shù)量比用128元購買乙款書簽的數(shù)量少3個.求這兩款書簽的單價．24.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kx的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于點A(?1,6)，B(m,?2)．

(1)求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△OAB25.(本小題10分)

如圖，在?ABCD中，對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)．

(1)求證：四邊形AFCE是菱形；

(2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的長．26.(本小題10分)

材料的疏水性

揚州寶應(yīng)是荷藕之鄉(xiāng).“微風(fēng)忽起吹蓮葉，青玉盤中瀉水銀”，蓮葉上的水滴來回滾動，不易滲入蓮葉內(nèi)部，這說明蓮葉具有較強的疏水性.疏水性是指材料與水相互排斥的一種性質(zhì)．

【概念理解】

材料疏水性的強弱通常用接觸角的大小來描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，經(jīng)過球心的縱截面如圖1所示，接觸角是過固、液、氣三相接觸點(點M或點N)所作的氣?液界線的切線與固?液界線的夾角，圖1中的∠PMN就是水滴的一個接觸角．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圖2中水滴的一個接觸角，并用三個大寫字母表示接觸角；(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)

(2)材料的疏水性隨著接觸角的變大而______(選填“變強”“不變”“變?nèi)酢?．

【實踐探索】

實踐中，可以通過測量水滴經(jīng)過球心的高度BC和底面圓的半徑AC(BC⊥AC)，求出∠BAC的度數(shù)，進(jìn)而求出接觸角∠CAD的度數(shù)(如圖3)．

(3)請?zhí)剿鲌D3中接觸角∠CAD與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系(用等式表示)，并說明理由．

【創(chuàng)新思考】

(4)材料的疏水性除了用接觸角以及圖3中與△ABC相關(guān)的量描述外，還可以用什么量來描述，請你提出一個合理的設(shè)想，并說明疏水性隨著此量的變化而如何變化．27.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2?2x+3的圖象(記為G1)與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象(記為G2)經(jīng)過點A，C.直線x=t與兩個圖象G1，G2分別交于點M，N，與x軸交于點P．

(1)求b，c的值．

(2)當(dāng)點P在線段AO上時，求MN的最大值．

(3)設(shè)點M，N到直線AC的距離分別為m，n.當(dāng)m+n=4時，對應(yīng)的t值有______個；當(dāng)m?n=3時，對應(yīng)的t值有______個；當(dāng)mn=228.(本小題12分)

問題：如圖1，點P為正方形ABCD內(nèi)一個動點，過點P作EF/?/AD，GH/?/AB，矩形PHCF的面積是矩形PGAE面積的2倍，探索∠FAH的度數(shù)隨點P運動的變化情況．

【從特例開始】

(1)小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形(如圖2)，請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，由此可得此圖形中∠FAH=______°.

(2)小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形(如圖3)，其中PE=PF=6，PG=4，PH=8，求此圖形中∠FAH的度數(shù)；

【一般化探索】

(3)利用圖1，探索上述問題中∠FAH的度數(shù)隨點P運動的變化情況，并說明理由．

答案解析1.【答案】A

【解析】解：∵?5℃<?3℃，?2℃>?3℃，0℃>?3℃，2℃>?3℃，

∴所給的溫度中，比?3℃低的溫度是?5℃．

故選：A．

有理數(shù)大小比較的法則：(1)正數(shù)都大于0；(2)負(fù)數(shù)都小于0；(3)正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；(4)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷出比?3℃低的溫度是哪個即可．

此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：(1)正數(shù)都大于0；(2)負(fù)數(shù)都小于0；(3)正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；(4)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而?。?.【答案】C

【解析】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．

故選：C．

根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3.【答案】B

【解析】解：明天下雨是隨機事件，則A不符合題意，

調(diào)查長江中現(xiàn)有魚的種類，適宜采用抽樣調(diào)查的方式，則B符合題意，

描述一周內(nèi)每天最高氣溫的變化情況，適宜采用折線統(tǒng)計圖，則C不符合題意，

若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2=0.13，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2=0.04，因0.13>0.04，那么乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，則D不符合題意，

故選：4.【答案】A

【解析】解：∵Δ=(?3)2?4×1×1=5>0，

∴方程x2?3x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：A．

根據(jù)根的判別式即可求出答案．

本題考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：(1)Δ>05.【答案】C

【解析】解：∵1<2<3<4<7<9<10，

∴1<2<3<2<7<3<10，

則數(shù)軸上點A6.【答案】B

【解析】解：∵點D在BC上，

∴∠ADB+∠ADC=180°，

∵∠ADB=∠ADC，

∴2∠ADC=180°，

∴∠ADC=90°，

∴AD⊥BC，

故A不符合題意；

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠B=∠C與點D所在的位置沒有關(guān)系，

∴由∠B=∠C不能說明AD⊥BC，

故B符合題意；

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

故C不符合題意；

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

故D不符合題意，

故選：B．

由∠ADB+∠ADC=180°，且∠ADB=∠ADC，求得∠ADC=90°，則AD⊥BC，可判斷A不符合題意；由AB=AC，得∠B=∠C，可知由∠B=∠C不能說明AD⊥BC，可判斷B符合題意；由AB=AC，BD=CD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AD⊥BC，可判斷C不符合題意；由AB=AC，AD平分∠BAC，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AD⊥BC，可判斷D不符合題意，于是得到問題的答案．

此題重點考查垂直的定義、“等邊對等角”、等腰三角形的“三線合一”等知識，正確理解和運用等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.【答案】C

【解析】解：由題意可知：AB/?/PQ/?/CD，

∵AB//PQ，

∴∠ABE+∠BGP=180°，

∵∠ABE=130°，

∴∠BGP=180°?130°=50°，

∵PQ/?/CD，

∴∠PGD+∠CDF=180°，

∵∠CDF=150°，

∴∠PGD=180°?150°=30°，

∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=50°+30°=80°，

∴∠EGF=∠BGD=80°，

故選：C．

根據(jù)物理學(xué)原理可知：AB/?/PQ/?/CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BGP和∠PGD，從而求出∠BGD，最后根據(jù)對頂角相等求出答案即可．

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解物理學(xué)知識，得到AB/?/PQ/?/CD．8.【答案】D

【解析】解：∵m2025+2025m=2025，

∴m>0且2025m<2025，

∴0<m<1，

∴1?m>0，

∴一次函數(shù)y=(1?m)x+m的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，

故選：D．

先根據(jù)m2025+2025m=20259.【答案】3×10【解析】解：30000=3×104．

故答案為：3×104．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，n是負(fù)數(shù)．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中10.【答案】(a+2)(a?2)

【解析】解：a2?4=(a+2)(a?2)，

故答案為：(a+2)(a?2)．

直接用公式法分解，即可得出答案．11.【答案】x?2

【解析】解：原式=x?2x?x=x?2，

故答案為：x?2．12.【答案】1

【解析】解：∵a2?2b+1=0，

∴a2?2b=?1，

∴當(dāng)a2?2b=?1時，原式=2(a13.【答案】9

【解析】解：∵多邊形的每個內(nèi)角都是140°，

∴多邊形的每個外角都是180°?140°=40°，

∴這個多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°=9，

故答案為：9．

先根據(jù)多邊形的一個內(nèi)角與它相鄰的外角的和為180°，求出多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°，求出邊數(shù)即可．

本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是熟練多邊形的外角和為360°．14.【答案】40

【解析】解：∵∠BAC=50°，

∴∠BOC=2∠BAC=100°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=180°?∠BOC2=40°，

故答案為：40．

根據(jù)圓周角定理可得∠BOC=100°15.【答案】6

【解析】解：∵點D，E分別是邊AB，BC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE=12AC=12×4=2，

在Rt△BFC中，E是斜邊BC的中點，BC=8，

則FE=12BC=12×8=4，

∴DF=DE+FE=2+4=6，

故答案為：16.【答案】11，60，61．

【解析】解：通過觀察得：

第①組勾股數(shù)分別為：2×1+1=3，2×12+2×1=4，2×12+2×1+1=5；

第②組勾股數(shù)分別為：2×2+1=5，2×22+2×2=12，2×22+2×2+1=13；

第③組勾股數(shù)分別為：2×3+1=7，2×32+2×3=24，2×32+2×3+1=25；

第④組勾股數(shù)為：2×4+1=9，2×42+2×4=40，2×42+2×4+1=41；

所以第⑤組勾股數(shù)為：2×5+1=11，17.【答案】49【解析】解：如圖，延長AN，交直線BC于點E，

由題意得：AD=BC=CD=9cm，∠D=90°，AD//BC，AN//FG，

設(shè)DN=x?cm，則CN=CD?DN=(9?x)cm，

∵密封透明正方體容器水平放置在桌面上與放在坡角為α的斜坡上，容器里水的體積不變；且放在坡角為α的斜坡上時，水的體積等于長為9cm、寬為9cm、高為(9?x)cm的長方體的體積與長為9cm、寬為9cm、高為x?cm的長方體的體積的一半之和，

∴9×9(9?x)+12×9×9x=9×9×7，

解得x=4，

即DN=4cm，

∵AN//FG，

∴∠AEF=∠F=α，

∵AD//BC，

∴∠DAN=∠AEF=α，

∴tanα=tan∠DAN=DNAD=49，

故答案為：49．

延長AN，交直線BC于點E，設(shè)18.【答案】4π3【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠B=90°，

∵將△ABE沿直線AE翻折得到△APE，

∴AP=AB=4，

當(dāng)點P在矩形內(nèi)部時，作HQ⊥AP，交AB于點H，則：∠AQH=90°=∠BAD，

∠AHQ=∠PAF=90°?∠HAQ，

∵PF⊥AD，

∴∠PFA=90°=∠AQH，

∴△AQH∽△PFA，

∴AHAP=AQPF，

∵AQ=12PF，

∴AHAP=AQPF=12，

∴AH=12AP=2，

∴點Q在以AH為直徑的圓上運動，

∴當(dāng)點E從點B開始運動直至點P落在AD上時，點Q的運動軌跡為半圓AH，

∴點Q的運動路徑長為：12×2π=π，

當(dāng)點P在矩形ABCD的外部時，作KQ⊥AP，交AB的延長線于點K，

同法可得：△AKQ∽△PAF，AK=12AP=2，

∴∠AKQ=∠PAF，點Q在以AK為直徑的⊙O上運動，

連接OQ，

當(dāng)點E運動到點C時，如圖：

∵AB=4，BC=43，∠B=90°，

∴tan∠BAC=BCAB=3，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAD=∠BAD?∠BAC=30°，

∵將△ABE沿直線AE翻折得到△APE，

∴∠PAC=∠BAC=60°，

∴∠PAF=∠PAC?∠CAD=30°，

∴∠AKQ=∠PAF=30°，

∴∠AOQ=2∠AKQ=60°，

∴點Q的運動軌跡為圓心角為60°的AQ路徑長為60π180×1=π3，

∴點Q的運動路徑總長為：π+π3=4π3，

故答案為：4π3．

分點P在矩形內(nèi)部和點P在矩形外部，兩種情況進(jìn)行討論求解，當(dāng)點P在矩形內(nèi)部時，作HQ⊥AP，交AB于點H，證明△AQH19.【答案】3+1；

2a【解析】(1)原式=23?2×32+1

=23?3+1

=3+120.【答案】?3<x≤1.負(fù)整數(shù)解有：?2、?1．

【解析】解：4x?3≤x①3(x+1)>2x②，

由①得，x≤1，

由②得，x>?3，

∴不等式組的解集為?3<x≤1．

負(fù)整數(shù)解有：?2、?1．

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．

21.【答案】7.5，7，7；

小麗的成績較好，理由見解答．

【解析】(1)由題意得：a=3×7+6+6×810=7.5，

b=7+72=7，

c=8，

故答案為：7.5，7，7；

(2)小麗的成績較好，理由如下：

因為兩個人的平均數(shù)相同，但小麗的成績的中位數(shù)和眾數(shù)均高于小紅，所以小麗的成績較好．

(1)22.【答案】14；

14【解析】(1)由題意可得，

小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是14，

故答案為：14；

(2)樹狀圖如下所示：

由上可得，一共有16種等可能性，其中小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的可能性有4種，

∴小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率為416=14．

(1)根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到小明在這4種體育活動中隨機選擇，選中“乒乓球”的概率；23.【答案】甲款書簽的單價是20元，乙款書簽的單價是16元．

【解析】解：設(shè)乙款書簽的單價是x元，則甲款書簽的單價是54x元，

根據(jù)題意得：128x?10054x=3，

解得：x=16，

經(jīng)檢驗，x=16是所列方程的解，且符合題意，

∴54x=54×16=20(元)．

答：甲款書簽的單價是20元，乙款書簽的單價是16元．

設(shè)乙款書簽的單價是x元，則甲款書簽的單價是54x元，利用數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用10024.【答案】反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=?6x，一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?2x+4；

8【解析】(1)由題意得：將點A(?1,6)代入y=kx，得：k=?1×6=?6，

所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=?6x，

將點B(m,?2)代入y=?6x可得：m=?6?2=3，

∴B(3,?2)，

將點A(?1,6)，B(3,?2)代入y=ax+b得：?a+b=63a+b=?2，

解得a=?2b=4，

所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y=?2x+4；

(2)如圖，設(shè)一次函數(shù)的圖象與x軸的交點為點C，

將y=0代入一次函數(shù)y=?2x+4得：?2x+4=0，解得x=2，

∴C(2,0)，

∴OC=2，

由(1)已得：A(?1,6)，B(3,?2)，

∴△AOC的OC邊上的高為|6|=6，△BOC的OC邊上的高為|?2|=2，

∴△OAB的面積為S△AOC+S△BOC=12×2×6+12×2×2=8．

(1)將點25.【答案】證明見解答過程；

95．【解析】(1)證明：∵EF是AC的垂直平分線，

∴EA=EC，F(xiàn)A=FC，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，AB/?/CD，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

∠AOE=∠COF=90°OA=OC∠OAE=∠OCF，

∴△OAE≌△OCF(ASA)，

∴EA=FC，

∴EA=EC=FA=FC，

∴四邊形AFCE是菱形；

(2)解：過點B作BP⊥AC于點P，在AP上截取PQ=PA，連接BQ，如圖所示：

設(shè)PA=x，∠ACB=α，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=3，BC=5，

∴AD=BC=5，AB/?/CD，OA=OC=12AC

∵四邊形AFCE是菱形，

∴∠ACB=∠ACE=α，AE=CF，EF⊥AC，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE=α，

∴∠ACD=2α，

∵AB/?/CD，

∴∠BAC=∠ACD=2α，

∵BP⊥AC，PQ=PA=x，

∴BP是AQ的垂直平分線，

∴BQ=AB=3，

∴∠BQA=∠BAC=2α，

∵∠BQA是△QBC的外角，

∴∠BQA=∠QBC+∠ACB，

∴2α=∠QBC+α，

∴∠QBC=α，

∴∠QBC=∠ACB=α，

∴BQ=CQ=3，

∴CP=CQ+PQ=3+x，

在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2=AB2?AP2=BC2?CP2，

∴32?x2=52?(3+x)2，

解得：x=76，

∴AP=x=76，CP=3+x=256，

∴AC=AP+PC=76+256=163，

∴OC=12AC=83，

∴BP=AB2?AP2=32?(76)2=5116，

∵EF⊥AC，BP⊥AC，

∴EF//BP，

∴△OCF∽△PCB，

∴OCCP=OFBP，

∴CP?OF=OC?BP，

∴256×OF=83×5116，

∴OF=81115，

在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF=OF2+O26.【答案】圖見解析；

∠CAD=2∠BAC，理由見解析；

變強；

可以根據(jù)lr的大小，進(jìn)行判斷，lr越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強(答案不唯一)【解析】(1)①圓弧上取一點C，交界面與圓弧的交點為M，N，連接MC，NC；

②分別作MC，NC的中垂線，交于點O，則點O為圓弧的圓心；

③連接OM，過點M作PM⊥OM，則PM為圓O的切線，故∠PMN即為所求；

(2)由題意和圖，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，

故材料的疏水性隨著接觸角的變大而變強，

故答案為：變強；

(3)∠CAD=2∠BAC，理由如下：

連接OA，則：OA=OB，

∴∠ABC=∠OAB，

∵AD為切線，

∴OA⊥AD，

∴∠OAB+∠BAD=90°，

∵BC⊥AC，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

∵∠ABC=∠OAB，

∴∠BAD=∠BAC，

∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC；

(4)∵水滴弧的長度為：l=nπr180，

∴l(xiāng)r=π180n，

∴可以根據(jù)lr的大小，進(jìn)行判斷，lr越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強(答案不唯一)．

(1)圓弧上取一點C，交界面與圓弧的交點為M，N，連接MC，NC，分別作MC，NC的中垂線，交于點O，則點O為圓弧的圓心，連接OM，過點M作PM⊥OM，則PM為圓O的切線，∠PMN即為所求；

(2)根據(jù)題意，可知，接觸角越大，水滴越趨近于球形，疏水性越強，進(jìn)行作答即可；

(3)連接OA，等邊對等角，得到∠ABC=∠OAB，切線的性質(zhì)，結(jié)合等角的余角相等，得到∠BAD=∠BAC，進(jìn)而得到∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC即可；

27.【答案】b的值為4，c的值為3；

MN的最大值為92；

2，0，4，無數(shù)．【解析】(1)∵二次函數(shù)y=?x2?2x+3=?(x+3)(x?1)，

∴令y=0，可得x=?3或1，

即A(?3,0)，B(1,0)，

把A(?3,0)，C(0,3)代入y=x2+bx+c中，可得

c=39?3b+3=0，解得b=4c=3，

故b的值為4，c的值為3；

(2)由(1)知G2的表達(dá)式為y=x2+4x+3，

設(shè)P(t,0)(?3≤t≤0)，則M(t,?t2?2t+3)，N(t,t2+4t+3)，

故MN=?t2?2t+3?t2?4t?3=?2t2?6t=?2(t+32)2+92，

即MN的最大值為92；

(3)作MS⊥AC于點S，RN⊥AC于點R，設(shè)MN交AC于點E，如圖1所示，

由待定系數(shù)法可知直線AC的表達(dá)式為y=x+3，

∴∠CAB=45°，

∴∠MES=∠NER

=45°，

∵M(jìn)S=m，RN=n，

∴ME=2m，RN=2n，

∵E(t,t+3)，

∴ME=t2+3t，NE=t2+3t，

即ME=NE=t2+3t，

進(jìn)而可得m=n，

①當(dāng)m+n=4時，

即m=n=2，故MN=42，

當(dāng)?3≤t≤0時，MNmax=92<42，

那么由圖可知當(dāng)t<?3時或t>1時，共2種情況滿足題意，

故對應(yīng)的t值有2個；

②當(dāng)m?n=3時，即m=n+3，這與m=n相矛盾，故不成立，對應(yīng)的t值有0個；

③當(dāng)mn=2時，由m=n可知，m=n=2，

故ME=2，

∴t2+3t=2，即t2+3t=±2，

解得t=?2或?1或?3?172或?3+172，

故對應(yīng)的t值有4個；

④當(dāng)mn=1時，

∵m=n恒成立，

∴對應(yīng)的t值有無數(shù)個．

故答案為：2，0，4，無數(shù)．

(1)先求出A(?3,0)，B(1,0)，C(0,3)，再用待定系數(shù)法可求b，c的值；

(2)由(1)知G2的表達(dá)式為y=x2+4x+3，設(shè)P(t,0)(?3≤t≤0)，則M(t,?t2?2t+3)，N(t,t2+4t+3)，故MN=?t2?2t+3?t2?4t?3=?2t2?6t=?2(t+32)2+92，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到MN28.【答案】作圖見解析，45；

∠FAH=45°；

隨點P的運動，∠FAH的度數(shù)不變，且為45°．

【解析】(1)如圖，MN即為所求：

連接AH，AF與格線的交點記為M，N，

由網(wǎng)格可得，EM//BH，

∴△AEM∽△ABH，

∴EMBH=AEAB=12，

∵BH=2，

∴EM=1，

∴M為格點，同理N為格點，