/專題04反比例函數(shù)【考點1：】反比例函數(shù)【考點2：】反比例圖象與性質(zhì)【考點3：】用反比例函數(shù)解決問題一、反比例函數(shù)的定義如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數(shù).一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要知道一對的對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以O(shè)為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；四：反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.五、利用反比例函數(shù)解決實際問題1.基本思路：建立函數(shù)模型，即在實際問題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識解決問題.2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).（3）寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問題.六、反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用當圓柱體的體積一定時，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；當工程總量一定時，做工時間是做工速度的反比例函數(shù)；在使用杠桿時，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數(shù)；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).考點剖析【考點1：】反比例函數(shù)1．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值為（

）A． B． C．3 D．122．已知：三點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過，三點中的兩個點，則（

）A．12 B．24 C．20 D．3．點在反比例函數(shù)的圖象上，點A關(guān)于x軸對稱的點在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的值為．4．如圖反比例函數(shù)的圖象在第一象限，已知點，，在函數(shù)圖象上，軸，．

（1）；（2）．5．已知，與成正比例，與成反比例，當時，，當時，．(1)求y的表達式；(2)求當時的值．6．小星根據(jù)學(xué)習反比例函數(shù)的經(jīng)驗，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．(1)下面是畫函數(shù)圖象的步驟：列表：x…－4－2－1124…y…12ab21…其中，______，______，描點、連線：把圖象補充完整；(2)觀察函數(shù)的圖象，當時，直接寫出自變量x的取值范圍．【考點2：】反比例圖象與性質(zhì)1．已知點，，在反比例函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．對于平面直角坐標系中的任意一點，我們把點稱為點的“和差點”．如圖，的直角邊在軸上，點，若點在反比例函數(shù)的圖象上，點為點的“和差點”，且點在的直角邊上，則的面積為（）A．2 B． C．1 D．3．如圖，點A、B在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，，）的圖象上，軸于點D，軸于點C，，連接，若，則k的值為．4．在直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)的圖象在第一象限上的點，點A關(guān)于直線的對稱點B在x軸上，且，以為邊作菱形，若點D也在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，則點C的坐標是．5．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A與點．

(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)若點P是第二象限內(nèi)雙曲線上的點（不與點A重合），連接，且過點P作y軸的平行線，與直線相交于點C，連接，若的面積為3，求點P的坐標．6．探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們準備結(jié)合已有的學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，畫出函數(shù)的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì)，x01234y…36ab(1)【圖象初探】列表，寫出表中的值：______，______；并觀察表格中數(shù)據(jù)的特征，在所給的平面直角坐標系中補全該函數(shù)的圖象．(2)【性質(zhì)再探】觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是_______．①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．②函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三、四象限．③當時，函數(shù)有最大值，最大值為6．④在自變量的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的值隨自變量x的增大而增大．(3)【學(xué)以致用】寫出直線與函數(shù)有兩個交點時，a的取值范圍，并說明理由．【考點3：】用反比例函數(shù)解決問題1．小亮新買了一盞亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，他發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)的原理是：當電壓為時，通過調(diào)節(jié)電阻控制電流的變化從而改變燈光的明暗．臺燈的電流是電阻的反比例函數(shù),其圖像如圖所示．下列說法正確的是（

）A．電流隨電阻的增大而增大B．電流與電阻的關(guān)系式為C．當電阻為時，電流為D．當電阻時，電流的范圍為2．如圖，綜合實踐小組的同學(xué)們用自制“密度計”測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度（單位：）是液體的密度（單位：）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為的水中時，，當密度計懸浮在另一種液體中時，，則該液體的密度為（

）A． B． C． D．3．如圖，取一根長100cm的勻質(zhì)木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側(cè)距離中點處掛一個重的物體，在中點O右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足若彈簧秤的示數(shù)F不超過，則L的值至少為cm．4．為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，某工廠自2019年1月開始限產(chǎn)進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列結(jié)論正確的是．（填寫編號即可）①4月份的利潤為50萬元②治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元③治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元④9月份該廠利潤達到200萬元

5．第31屆世界大學(xué)生運動會于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉寶”系列產(chǎn)品深受人們喜愛．據(jù)某電商平臺統(tǒng)計，某款蓉寶公仔自7月發(fā)售以來，其銷售量呈直線上升趨勢；大運會期間熱度增大，日銷售量較前段時間增大；大運會結(jié)束后，銷售量與時間呈反比例關(guān)系．日銷售量（萬件）隨時間（天）變化的函數(shù)圖象如圖所示，大運會前為線段，大運會期間為線段，大運會后曲線．(1)求線段和反比例函數(shù)的表達式并寫出自變量的取值范圍；(2)已知日銷售量不低于4萬件時，為暢銷期，請求出暢銷期持續(xù)的天數(shù)．6．王老師外出學(xué)習入住賓館的房間后立即打開空調(diào)，將最高溫度調(diào)至，入住一段時間后關(guān)閉空調(diào)．已知空調(diào)關(guān)閉后，室內(nèi)的溫度與時間近似于反比例關(guān)系，下列圖象反映了王老師入住房間后一段時間內(nèi)，室內(nèi)的溫度y（）與時間t（）的關(guān)系，請根據(jù)圖象解答下列問題：(1)王老師入住多長時間關(guān)閉的空調(diào)？(2)分別求室內(nèi)的溫度上升和下降兩個階段y與t之間的函數(shù)表達式(3)室內(nèi)溫度保持不低于的時間是多少分鐘？過關(guān)檢測1．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若該反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，函數(shù)值隨的增大而減小的是（

）A． B． C． D．3．如圖，點是反比例函數(shù)圖象上一點，過點作軸于點，連接，已知，則的值為（）A． B． C． D．4．小明根據(jù)已有的函數(shù)學(xué)習經(jīng)驗，利用繪圖軟件繪制了函數(shù)的圖象如圖所示，以下判斷錯誤的是（

）A． B．圖象與直線無交點C．圖象關(guān)于點成中心對稱 D．當時，y隨x的增大而減小5．如圖．已知雙曲線經(jīng)過斜邊的中點，且與直角邊相交于點．若點A的坐標為，則的面積為（

）A．12 B．9 C．6 D．4.56．一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，，則不等式的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或7．如圖，將矩形放在直角坐標系中，其中頂點的坐標為，是邊上一點，將沿折疊，點剛好與邊上點重合，過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點則線段的長為（

）A． B．1 C． D．8．已知在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數(shù)的圖象上(且)，點和點在函數(shù)的圖象上．當與的積為負數(shù)時，t的取值范圍是(

)A．或 B．或C．或 D．或9．已知反比例函數(shù)（m為常數(shù)，）圖象的兩個分支分布在第二、四象限，則m的取值范圍是．10．如圖，過反比例函數(shù)的圖象上一點A，作軸于點B，C是y軸上的一點，連接，，若，則k的值為．11．如圖，在平行四邊形中，點在軸正半軸上，點是的中點，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，且的面積為，則．

12．如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形，，頂點，在軸上，頂點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上．若四邊形的面積為，，則的值為．13．如圖，正方形與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于P，Q兩點，上的點滿足．若的面積為，則實數(shù)的值為．14．對于平面直角坐標系xOy內(nèi)的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到點Q，點Q落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形M關(guān)于原點O的“伴隨點”．已知點，，，如果M是雙曲線和線段、圍成的封閉區(qū)域（含邊界線），點是M關(guān)于原點O的“伴隨點”，則a的取值范圍是．15．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點，與軸相交于點，與軸相交于點．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式；(2)連接，，求的面積．16．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，，交軸于，交軸于．(1)求m、n的值及反比例函數(shù)的表達式；(2)求的面積：(3)將直線向下平移個單位，若直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點，求的值．17．小莉在學(xué)習完反比例函數(shù)之后遇到一個新函數(shù)：，她按照探究反比例函數(shù)的過程對其進行探究：繪制圖象：列表：n(1)_______，_______；(2)①在平面直角坐標系中描點并連線，補全該函數(shù)的圖象；②小莉通過圖象得到了以下性質(zhì)，其中不正確的是____________；A．當時，隨的增大而增大B．此函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱C．函數(shù)圖象經(jīng)過原點且位于第一、三象限D(zhuǎn)．此函數(shù)有最小值，是當時，最小值為(3)若正比例函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，兩點，則的值為_____．18．綜合與實踐：函數(shù)復(fù)習課后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行探究，過程如下．請完成探究過程：(1)初步感知：函數(shù)的自變量取值范圍是__________；(2)作出圖象①列表：x…0123…y…234m60…填空：表中__________，__________；②描點，連線：在平面直角坐標系中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并根據(jù)描出的點，可畫出該函數(shù)的圖象如下所示；(3)研究性質(zhì)小明觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個圖象為雙曲線，結(jié)合反比例函數(shù)的知識，小明將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，他判斷該函數(shù)圖象就是反比例函數(shù)通過某種平移轉(zhuǎn)化而來．已知反比例函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心為，結(jié)合小明的分析，可知函數(shù)的對稱中心為__________；(4)拓展應(yīng)用已知當時，關(guān)于的方程有實數(shù)解，請直接寫出k的取值范圍是__________．

專題04反比例函數(shù)【考點1：】反比例函數(shù)【考點2：】反比例圖象與性質(zhì)【考點3：】用反比例函數(shù)解決問題一、反比例函數(shù)的定義如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數(shù).一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要知道一對的對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以O(shè)為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；四：反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.五、利用反比例函數(shù)解決實際問題1.基本思路：建立函數(shù)模型，即在實際問題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識解決問題.2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).（3）寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問題.六、反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用當圓柱體的體積一定時，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；當工程總量一定時，做工時間是做工速度的反比例函數(shù)；在使用杠桿時，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數(shù)；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).考點剖析【考點1：】反比例函數(shù)1．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值為（

）A． B． C．3 D．12【答案】A【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)值，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標的乘積相等進行求解即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，∴，∴，故選：A．2．已知：三點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過，三點中的兩個點，則（

）A．12 B．24 C．20 D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，明確反比例函數(shù)圖象上點的橫坐標與縱坐標的積等于是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，三點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點中的兩個點，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，．故選：B．3．點在反比例函數(shù)的圖象上，點A關(guān)于x軸對稱的點在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的值為．【答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征，解二元一次方程組，熟知圖象上點的坐標滿足解析式是解題的關(guān)鍵．先求得點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標為，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得，則，再解二元一次方程組，進而可求解．【詳解】解：點在反比例函數(shù)的圖象上，點A關(guān)于x軸對稱的點在反比例函數(shù)的圖象上，點關(guān)于x軸對稱的點為，，由，解得，故答案為：3．4．如圖反比例函數(shù)的圖象在第一象限，已知點，，在函數(shù)圖象上，軸，．

（1）；（2）．【答案】54【分析】本題考查了求反比例函數(shù)的函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）由，，在函數(shù)的圖象上，可得，，，，然后代值求解即可；（2）由（1）可知，，，則，，然后代值求解即可．【詳解】（1）解：∵，，在函數(shù)的圖象上，∴，，，，∴，故答案為：5；（2）解：由（1）可知，，，∴，，∴，故答案為：4．5．已知，與成正比例，與成反比例，當時，，當時，．(1)求y的表達式；(2)求當時的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)題意得出，，根據(jù)，當時，，當時，得出、的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）把代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式，求出的值即可．本題考查的是反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的定義，能根據(jù)題意得出與的函數(shù)關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：與成正比例，與成反比例，，，，當時，，當時，．，，，；（2）解：當，．6．小星根據(jù)學(xué)習反比例函數(shù)的經(jīng)驗，探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．(1)下面是畫函數(shù)圖象的步驟：列表：x…－4－2－1124…y…12ab21…其中，______，______，描點、連線：把圖象補充完整；(2)觀察函數(shù)的圖象，當時，直接寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)4，4，圖見解析(2)或【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的畫法是解答本題的關(guān)鍵．（1）將和代入解析式，可知、值，畫出函數(shù)圖象即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可直接寫出時自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）當時，，當時，，故答案為：4；4．圖象如圖示：（2）根據(jù)圖像，當時，自變量的取值范圍為或．【考點2：】反比例圖象與性質(zhì)1．已知點，，在反比例函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上，則，，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平方的非負性，反比例函數(shù)的圖像分布與性質(zhì)，根據(jù)可得反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在各象限，y隨x的增大而減小，進而可得答案．準確判定圖像的分布，活用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，在各象限，y隨x的增大而減小，∵，∴，，∴，故選：D．2．對于平面直角坐標系中的任意一點，我們把點稱為點的“和差點”．如圖，的直角邊在軸上，點，若點在反比例函數(shù)的圖象上，點為點的“和差點”，且點在的直角邊上，則的面積為（）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)出點的坐標，即可得出點的坐標，根據(jù)點在的直角邊上求出的值，從而求出的面積．本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，關(guān)鍵是由新定義求出點Q的坐標．【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)點的坐標為，且，則點的坐標為，，點在線段上，則，解得：，（舍，此時點的坐標為，，此時，的面積，故選：B．3．如圖，點A、B在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，，）的圖象上，軸于點D，軸于點C，，連接，若，則k的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征是關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，，再利用得到點坐標，繼而求出值即可．【詳解】解：軸于點，軸于點，，，，，，，點在反比例函數(shù)圖象上，．故答案為：．4．在直角坐標系中，點A是反比例函數(shù)的圖象在第一象限上的點，點A關(guān)于直線的對稱點B在x軸上，且，以為邊作菱形，若點D也在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，則點C的坐標是．【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與菱形的綜合，求得反比例函數(shù)的解析式成為解題的關(guān)鍵．如圖：，設(shè)，則的中點坐標為，然后根據(jù)題意可得、，進而得到，即,；設(shè)，根據(jù)列方程求得或，和，然后分情況解答即可．【詳解】解：如圖：，設(shè)，則的中點坐標為，∵點A關(guān)于直線的對稱點B在x軸上，∴①∵，∴②①②聯(lián)立可得：，∴反比例函數(shù)的解析式為,,∵菱形，∴,設(shè)，則，解得：或，和當時，與點A重合，不符題意舍棄；當時，，的中點坐標為,設(shè)點C的坐標為，則有，解得：，∴點C的坐標為；當或時，點D不在第一象限，不符合題意．故答案為：．5．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A與點．

(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)若點P是第二象限內(nèi)雙曲線上的點（不與點A重合），連接，且過點P作y軸的平行線，與直線相交于點C，連接，若的面積為3，求點P的坐標．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法和步驟．（1）先求出點B的坐標，再把點B的坐標代入，求出k的值，即可得出反比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)點，則，得出．進而得出．然后進行分類討論①當時，即，②當時或，即可解答．【詳解】（1）解：由題可知，∴，∴．又點在上，∴．∴反比例函數(shù)為．（2）解：如圖，

設(shè)點，則，∴．∴．①當時，即，∴，∴，∴或2，又，∴此種情況不存在．②當時或，，∴或．又，∴．綜上，．6．探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們準備結(jié)合已有的學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，畫出函數(shù)的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì)，x01234y…36ab(1)【圖象初探】列表，寫出表中的值：______，______；并觀察表格中數(shù)據(jù)的特征，在所給的平面直角坐標系中補全該函數(shù)的圖象．(2)【性質(zhì)再探】觀察函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是_______．①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．②函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三、四象限．③當時，函數(shù)有最大值，最大值為6．④在自變量的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的值隨自變量x的增大而增大．(3)【學(xué)以致用】寫出直線與函數(shù)有兩個交點時，a的取值范圍，并說明理由．【答案】(1)，，補全該函數(shù)的圖象見解析(2)①②③(3)，理由見解析【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，會畫函數(shù)的圖象和識別圖象是解題的關(guān)鍵．（1）分別將，代入函數(shù)解析式求解即可，再根據(jù)表格中數(shù)據(jù)即可補全函數(shù)圖象；（2）根據(jù)圖象的增減性和最值及對稱性求解；（3）仿照函數(shù)，作出圖象，結(jié)合圖象可知函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍為，進而結(jié)合圖象即可求解．【詳解】（1）當時，，當時，，即：，，補全該函數(shù)的圖象如下：故答案為：，；（2）由表格中的數(shù)據(jù)知：圖象關(guān)于軸對稱，故①是正確的；∵，∴，∴圖象不經(jīng)過三、四象限，故②是正確的；∵，∴，∴的最大值為6；由圖象得，當時，隨的增大而減小，故④是錯誤的；故答案為：①②③；（3）類比函數(shù)，作出的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍為，結(jié)合圖象可知，直線與函數(shù)有兩個交點時，．【考點3：】用反比例函數(shù)解決問題1．小亮新買了一盞亮度可調(diào)節(jié)的臺燈，他發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)的原理是：當電壓為時，通過調(diào)節(jié)電阻控制電流的變化從而改變燈光的明暗．臺燈的電流是電阻的反比例函數(shù),其圖像如圖所示．下列說法正確的是（

）A．電流隨電阻的增大而增大B．電流與電阻的關(guān)系式為C．當電阻為時，電流為D．當電阻時，電流的范圍為【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，直接利用反比例函數(shù)圖象得出函數(shù)解析式，進而利用反比例函數(shù)的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：A、由圖象知，電流隨電阻的增大而減小，故此選項不符合題意；B、設(shè)反比例函數(shù)解析式為：，把代入得，則故此選項不符合題意；C、把代入得，，故此選項不合題意；D、當電阻時，電流I的范圍為，故此選項符合題意，故選：D．2．如圖，綜合實踐小組的同學(xué)們用自制“密度計”測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度（單位：）是液體的密度（單位：）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為的水中時，，當密度計懸浮在另一種液體中時，，則該液體的密度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，把，代入求出解析式，再把代入解析式即可得到結(jié)論．正確地求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，把，代入解析式，得：，∴關(guān)于的函數(shù)解析式為，當時，得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，∴該液體的密度為．故選：C．3．如圖，取一根長100cm的勻質(zhì)木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側(cè)距離中點處掛一個重的物體，在中點O右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足若彈簧秤的示數(shù)F不超過，則L的值至少為cm．【答案】35【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意確定彈簧秤的示數(shù)F關(guān)于L的函數(shù)解析式，再結(jié)合圖像即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，∴彈簧秤的示數(shù)F關(guān)于L的函數(shù)解析式為，且該函數(shù)圖像在第一象限，F(xiàn)隨L的增大而減小，當時，可有，∵L越大，彈簧秤的示數(shù)F越小，∴當時，，即彈簧秤的示數(shù)F不超過，則L的值至少為35cm．故答案為：35．4．為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，某工廠自2019年1月開始限產(chǎn)進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列結(jié)論正確的是．（填寫編號即可）①4月份的利潤為50萬元②治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元③治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元④9月份該廠利潤達到200萬元

【答案】①②④【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析是解題關(guān)鍵．直接利用已知點求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式進而分別分析得出答案即可．【詳解】解：①、設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，，∴反比例函數(shù)的解析式為：，當時，，∴4月份的利潤為50萬元，故正確，符合題意；②、治污改造完成后，從4月到6月，利潤從50萬到110萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故正確，符合題意；③、當時，則，解得：，則只有3月，4月，5月共3個月的利潤低于100萬元，故錯誤，不符合題意．④、設(shè)一次函數(shù)解析式為：，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：，故時，，則9月份該廠利潤達到200萬元，故正確，符合題意．故答案為：①②④．5．第31屆世界大學(xué)生運動會于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉寶”系列產(chǎn)品深受人們喜愛．據(jù)某電商平臺統(tǒng)計，某款蓉寶公仔自7月發(fā)售以來，其銷售量呈直線上升趨勢；大運會期間熱度增大，日銷售量較前段時間增大；大運會結(jié)束后，銷售量與時間呈反比例關(guān)系．日銷售量（萬件）隨時間（天）變化的函數(shù)圖象如圖所示，大運會前為線段，大運會期間為線段，大運會后曲線．(1)求線段和反比例函數(shù)的表達式并寫出自變量的取值范圍；(2)已知日銷售量不低于4萬件時，為暢銷期，請求出暢銷期持續(xù)的天數(shù)．【答案】(1)，(2)天【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式以及求函數(shù)值，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）把分別代入，，求出對應(yīng)的值即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)線段的解析式為：，把，代入得：，解得：，一次函數(shù)解析式為：，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，把代入得：，解得：，反比例函數(shù)解析式為，（2）解：把代入得，，解得：，把代入得，解得：，由圖象可知，當時，，∴暢銷期持續(xù)的天數(shù)是天．6．王老師外出學(xué)習入住賓館的房間后立即打開空調(diào)，將最高溫度調(diào)至，入住一段時間后關(guān)閉空調(diào)．已知空調(diào)關(guān)閉后，室內(nèi)的溫度與時間近似于反比例關(guān)系，下列圖象反映了王老師入住房間后一段時間內(nèi)，室內(nèi)的溫度y（）與時間t（）的關(guān)系，請根據(jù)圖象解答下列問題：(1)王老師入住多長時間關(guān)閉的空調(diào)？(2)分別求室內(nèi)的溫度上升和下降兩個階段y與t之間的函數(shù)表達式(3)室內(nèi)溫度保持不低于的時間是多少分鐘？【答案】(1)王老師入住時關(guān)閉空調(diào)(2)上升階段；下降階段(3)室內(nèi)溫度保持不低于的時間是【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確理解圖中的信息是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形可知，當時，，故知王老師入住時關(guān)閉空調(diào)；（2）當時，設(shè)y與t之間函數(shù)關(guān)系為，將點和的坐標分別代入中，解方程組求得和b的值，即得答案；當時，設(shè)y與t之間函數(shù)關(guān)系為，將點的坐標代入，即可求得的值，即得答案；（3）將分別代入和，求出所對應(yīng)的t的值，再求出它們的差，即得答案．【詳解】（1）由圖象可知，王老師入住時關(guān)閉空調(diào)；（2）當時，即溫度上升階段，設(shè)y與t之間函數(shù)關(guān)系為，將點和的坐標分別代入中，得，解得，；當時，即溫度下降階段，設(shè)y與t之間函數(shù)關(guān)系為，將點的坐標代入，得，∴；（3）將代入，得，解得；將代入，得，解得；（），室內(nèi)溫度保持不低于20℃的時間是．過關(guān)檢測1．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若該反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．設(shè)反比例函數(shù)的解析式為把點代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把點代入得，，故此反比例函數(shù)的解析式為，當，，故選：．2．下列函數(shù)中，函數(shù)值隨的增大而減小的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)和正比例函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．【詳解】解：A．的函數(shù)值隨著增大而增大，故本選項不符合題意；B．的函數(shù)值隨著增大而減小，故本選項符合題意；C．在每一個象限內(nèi)，的函數(shù)值隨著增大而減小，故本選項不符合題意；D．在每一個象限內(nèi)，的函數(shù)值隨著增大而增大，故本選項不符合題意；故選B．3．如圖，點是反比例函數(shù)圖象上一點，過點作軸于點，連接，已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義解答即可求解，掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵軸，，∴，∴，故選：．4．小明根據(jù)已有的函數(shù)學(xué)習經(jīng)驗，利用繪圖軟件繪制了函數(shù)的圖象如圖所示，以下判斷錯誤的是（

）A． B．圖象與直線無交點C．圖象關(guān)于點成中心對稱 D．當時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖象，對四個選項中的內(nèi)容依次進行判斷即可．本題考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)及函數(shù)的圖象，能根據(jù)所給函數(shù)圖象得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解∶由函數(shù)圖象可知，，所以選項不符合題意．因為，即，所以函數(shù)圖象與直線無交點．所以B選項不符合題意．因為，所以函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到．因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱．故選項不符合題意．由函數(shù)圖象及上述過程可知，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而減小，所以選項符合題意．故選∶．5．如圖．已知雙曲線經(jīng)過斜邊的中點，且與直角邊相交于點．若點A的坐標為，則的面積為（

）A．12 B．9 C．6 D．4.5【答案】D【分析】此題主要考查線段的中點坐標、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)線段的中點坐標公式得到D點坐標，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到k，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到，然后利用的面積進行計算，進而求出結(jié)論．【詳解】解：∵點A的坐標為，點D為的中點，∴D點坐標為，∴，即反比例函數(shù)解析式為，∴，∴的面積，∵點D為的中點，∴的面積．故選：D．6．一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，，則不等式的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題，先求出點坐標，再畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)的圖象上方時的取值即可求解，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過點，，∴，∴，∴，畫出函數(shù)圖象如下：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)的圖象上方時，的取值范圍是或，∴不等式的解集是或，故選：．7．如圖，將矩形放在直角坐標系中，其中頂點的坐標為，是邊上一點，將沿折疊，點剛好與邊上點重合，過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點則線段的長為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點，圖形的折疊變換及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等，設(shè)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，，再由折疊的性質(zhì)得，，則，利用勾股定理求出，則，進而在中由勾股定理求出，從而得點，則反比例函數(shù)的表達式為，然后根據(jù)點的縱坐標為4得點，據(jù)此可得的長,理解反比例函數(shù)圖象上的點滿足反比例函數(shù)的表達式，熟練掌握圖形的折疊變換及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，四邊形為矩形，點，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，，，由勾股定理得：，即，解得：，，點的坐標為，點在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的表達式為：，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，點的縱坐標為4，對于，當時，，點，．故選：A．8．已知在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數(shù)的圖象上(且)，點和點在函數(shù)的圖象上．當與的積為負數(shù)時，t的取值范圍是(

)A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】將交點的橫坐標1代入兩個函數(shù)，令二者函數(shù)值相等，得．令，代入兩個函數(shù)表達式，并分別將點A、B的坐標和點C、D的坐標代入對應(yīng)函數(shù)，進而分別求出與的表達式，代入解不等式并求出t的取值范圍即可．【詳解】解：∵的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，∴．令，則，．將點和點代入，得；將點和點代入，得．∴，，∴，∴．∵，∴，∴．①當時，，∴不符合要求，應(yīng)舍去；②當時，，∴符合要求；③當時，，∴不符合要求，應(yīng)舍去；④當時，，∴符合要求；⑤當時，，∴不符合要求，應(yīng)舍去．綜上，t的取值范圍是或．故選：D．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解不等式是本題的關(guān)鍵．9．已知反比例函數(shù)（m為常數(shù)，）圖象的兩個分支分布在第二、四象限，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)的k值小于0，反比例函數(shù)在第二、四象限，據(jù)此即可作答．【詳解】解∶∵反比例函數(shù)（m為常數(shù)，）圖象的兩個分支分布在第二、四象限，∴，解得，故答案為：．10．如圖，過反比例函數(shù)的圖象上一點A，作軸于點B，C是y軸上的一點，連接，，若，則k的值為．【答案】8【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，平行線間的距離處處相等，熟練掌握值幾何意義是關(guān)鍵．連接，由，得到，再根據(jù)反比例函數(shù)值幾何意義解得即可．【詳解】解：如圖，連接，軸，∴，∴，∴，∴同底等高，，點在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)值幾何意義得，．故答案為：8．11．如圖，在平行四邊形中，點在軸正半軸上，點是的中點，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，且的面積為，則．

【答案】【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．延長交點軸于，由的面積，可求，設(shè)點坐標為，可得，進而求解坐標，由中點坐標公式得到坐標，由都在反比例函數(shù)圖象上列等式，即可求解．【詳解】解：如圖，

延長交點軸于，的面積為，點是的中點，設(shè)點坐標為，，，，根據(jù)中點坐標公式可得，都在反比例函數(shù)圖象上，，解得，．故答案為：．12．如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形，，頂點，在軸上，頂點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上．若四邊形的面積為，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數(shù)點的坐標特征是關(guān)鍵．設(shè)點，則，根據(jù)，求出值即可．【詳解】解：設(shè)點，則，∴，∵．∴，∴，解得：．故答案為：．13．如圖，正方形與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于P，Q兩點，上的點滿足．若的面積為，則實數(shù)的值為．【答案】3【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)與幾何圖形綜合．正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過作于，即由證明，，最后利用的面積列方程求解即可．【詳解】解：過作于，則四邊形是矩形，，，．，，，．．，，，，，，，解得：或（不合題意，舍去）實數(shù)的值為3．故答案為：3．14．對于平面直角坐標系xOy內(nèi)的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到點Q，點Q落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形M關(guān)于原點O的“伴隨點”．已知點，，，如果M是雙曲線和線段、圍成的封閉區(qū)域（含邊界線），點是M關(guān)于原點O的“伴隨點”，則a的取值范圍是．【答案】【分析】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)是雙曲線和線段、圍成的封閉區(qū)域（含邊界線），點是關(guān)于原點的“伴隨點”，得到點在反比例函數(shù)時有最大值，當點在線段時有最小值，即可得解．【詳解】解：如圖，過點A作軸，軸，垂足分別為M，N，則，由題意得：，，∴，∴，∴，∴，∴，同理，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則，，設(shè)直線的表達式為：，代入，得：，解得：，直線為，設(shè)經(jīng)過點的雙曲線為：，代入得：，∴經(jīng)過點的雙曲線為，是雙曲線和線段、圍成的封閉區(qū)域（含邊界線），點是關(guān)于原點的“伴隨點”，把代入得，，解得，把代入得，，解得，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“伴隨點”的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解．15．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點，與軸相交于點，與軸相交于點．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式；(2)連接，，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求