/限時(shí)練習(xí)：60min完成時(shí)間：月日天氣：暑假作業(yè)10平行線的基本模型模型1、豬蹄模型（M型）如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，結(jié)論：AB∥CD.①②圖③圖③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.模型2、鉛筆頭模型如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，結(jié)論：AB∥CD.①②圖③圖③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.模型3、拐彎模型①（鳥嘴形）：如圖，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3.②（骨折形）：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠2=∠1+∠3.模型4、“5”字模型如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.模型5：平行線的動(dòng)態(tài)角度模型（折疊、旋轉(zhuǎn)、動(dòng)點(diǎn)）1、翻折和折疊問題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分。2、平行線旋轉(zhuǎn)問題的技巧是利用平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過畫圖和推導(dǎo)等方法解決問題。具體來說，可以采用以下幾個(gè)步驟：

1）畫出問題中的圖形，并標(biāo)出已知條件和需要求解的量；

2）利用平行線的性質(zhì)，找出與所求解的量有關(guān)的平行線段或角度，并嘗試構(gòu)造相應(yīng)的平行線；

3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將所求解的量旋轉(zhuǎn)到已知條件所在的位置，從而得到一個(gè)新的圖形；

4）利用新圖形中的已知條件和平行線的性質(zhì)，推導(dǎo)出所求解的量的值；

5）檢查所求解的量是否符合實(shí)際情況，如果符合，則得到了正確的解答。3、動(dòng)點(diǎn)壓軸問題：分析過程很重要，代數(shù)法表示角度是基本處理方法。題型一平行基本模型之M模型1、如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[2、如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為___________．（用含n的式子表示）3、已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型二平行基本模型之鉛筆模型1、如圖，，則下列說法中一定正確的是

A． B．C． D．2、如圖，，射線，分別與，交于點(diǎn)M，N，若，則的度數(shù)是．

3、探究題(1)如下圖，，，．求度數(shù)；

(2)如下圖，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，．

①當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________②當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

題型三平行基本模型之雞翅模型1、①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2、（2023春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)?？计谥校?）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．3、（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若的平分線交線段于點(diǎn)，連接，若，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．題型四平行基本模型之骨折模型1、如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．2、如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______3、（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．題型五平行基本模型之折疊問題1．折紙是一門古老而有趣的藝術(shù)．如圖，小明拿出一張長(zhǎng)方形紙片，他先將紙片沿折疊，再將折疊后的紙片沿折疊，使得與重合，展開紙片后測(cè)量發(fā)現(xiàn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．如圖1，將長(zhǎng)方形ABCD沿CE（點(diǎn)E在AB上，不與點(diǎn)A，B重合）折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，連接，，設(shè)，．變化長(zhǎng)方形的大小如圖2所示，若的值增大了，且保持不變，則的值（

）A．增大了 B．減小了 C．增大了 D．減小了3．如圖將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊．折痕分別為、，若，且，則．

4．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，琳琳同學(xué)將一張長(zhǎng)方形紙條沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．(1)如圖，她通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)你證明她的結(jié)論；(2)如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，將四邊形沿所在直線折疊得到，交于，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處．她通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)你證明她的結(jié)論．(3)如圖，在（）的條件下，將四邊形沿向上折疊得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落到上的點(diǎn)處，點(diǎn)落到點(diǎn)處，猜想，與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．1．如圖，，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，分別是和的平分線，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．如圖，已知，平分平分，，則的度數(shù)為（

）度．

A．55 B．50 C．40 D．304．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙沿折疊，若，則有下列結(jié)論：；；；．其中正確的有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)5．如圖，已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②；③；④.結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，已知，，，則度．

7．如圖是一款長(zhǎng)臂折疊護(hù)眼燈示意圖，與桌面垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管恰好與桌面平行時(shí)，，，則的度數(shù)為．8．如圖，，分別平分，，若，則的度數(shù)是．9．如圖，，、分別平分和，，與互補(bǔ)，則的度數(shù)為．10．如圖，由線段組成的圖形像∑，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，，則；（2）如圖2，連接形中B，D兩點(diǎn)，若，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系．11．【模型發(fā)現(xiàn)】某校數(shù)學(xué)研討會(huì)的學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：圖1中的的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是將這個(gè)圖形稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖1，，是，之間的一點(diǎn)，連接，，試說明：；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，，，是，之間的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)找出和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，，，，均是，之間的點(diǎn)，如果，直接寫出的度數(shù)．12．如圖，，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在，之間，連接，，且．請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖．(1)在圖1中作，且．(2)如圖2，，作．且．13．已知：兩直線、滿足點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接、

(1)如圖，若點(diǎn)在兩直線外部，則、、之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論(2)如圖，若點(diǎn)在兩直線外部，連接，則、、、之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明結(jié)論(不能用三角形內(nèi)角和為)(3)若點(diǎn)在兩直線內(nèi)部，且在右側(cè)，則、、、之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？(不需證明)14．課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，．求的度數(shù)．（1）閱讀并補(bǔ)充下面推理過程．解：過點(diǎn)作，所以，．又因?yàn)椋裕忸}反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．方法運(yùn)用：（2）如圖2，已知，求的度數(shù)．提示：過點(diǎn)作．深化拓展：（3）已知，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，平分，平分，，所在的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在與兩條平行線之間．如圖3，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，若，則的度數(shù)為．15．對(duì)于平面內(nèi)的和，若存在一個(gè)常數(shù)，使得，則稱為的系補(bǔ)周角．如若，，則為的6系補(bǔ)周角．(1)若，則的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為___________(2)在平面內(nèi)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，．①如圖1，，若是的3系補(bǔ)周角，求的度數(shù)．②如圖2，和均為鈍角，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且滿足，（其中為常數(shù)且，點(diǎn)是角平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)你確定一個(gè)點(diǎn)的位置，使得是的系補(bǔ)周角，并直接寫出此時(shí)的值（用含的式子表示）．1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，中，，頂點(diǎn)，分別在直線，上．若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2020·江蘇南通·中考真題）如圖，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，則∠C的度數(shù)是（）A．36° B．34° C．32° D．30°3．（2021·山東東營·中考真題）如圖，，于點(diǎn)F，若，則（

）A． B． C． D．4．（2021·遼寧錦州·中考真題）如圖，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，則∠CBN的度數(shù)是（

）A．35° B．45° C．55° D．65°5．（2020·四川廣元·中考真題）如圖，，M，N分別在a，b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么（

）A． B． C． D．

限時(shí)練習(xí)：60min完成時(shí)間：月日天氣：暑假作業(yè)10平行線的基本模型模型1、豬蹄模型（M型）如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，結(jié)論：AB∥CD.①②圖③圖③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.模型2、鉛筆頭模型如圖，①已知：AB∥CD，結(jié)論：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，結(jié)論：AB∥CD.①②圖③圖③已知：AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.模型3、拐彎模型①（鳥嘴形）：如圖，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3.②（骨折形）：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠2=∠1+∠3.模型4、“5”字模型如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.模型5：平行線的動(dòng)態(tài)角度模型（折疊、旋轉(zhuǎn)、動(dòng)點(diǎn)）1、翻折和折疊問題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分。2、平行線旋轉(zhuǎn)問題的技巧是利用平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過畫圖和推導(dǎo)等方法解決問題。具體來說，可以采用以下幾個(gè)步驟：1）畫出問題中的圖形，并標(biāo)出已知條件和需要求解的量；2）利用平行線的性質(zhì)，找出與所求解的量有關(guān)的平行線段或角度，并嘗試構(gòu)造相應(yīng)的平行線；3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將所求解的量旋轉(zhuǎn)到已知條件所在的位置，從而得到一個(gè)新的圖形；4）利用新圖形中的已知條件和平行線的性質(zhì)，推導(dǎo)出所求解的量的值；5）檢查所求解的量是否符合實(shí)際情況，如果符合，則得到了正確的解答。3、動(dòng)點(diǎn)壓軸問題：分析過程很重要，代數(shù)法表示角度是基本處理方法。題型一平行基本模型之M模型1、如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】過E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．2、如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為___________．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點(diǎn)E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．3、已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)；理由見詳解【分析】（1）過點(diǎn)作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得．（1）解：如圖：過點(diǎn)作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點(diǎn)作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．題型二平行基本模型之鉛筆模型1、如圖，，則下列說法中一定正確的是

A． B．C． D．【答案】B【分析】此題要作輔助線，過點(diǎn)作，則根據(jù)平行線的傳遞性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：．【詳解】解：過點(diǎn)作，

，，，，又，，．故選：B．【點(diǎn)睛】注意此類題要作的輔助線：構(gòu)造平行線．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可找到三個(gè)角之間的關(guān)系．2、如圖，，射線，分別與，交于點(diǎn)M，N，若，則的度數(shù)是．

【答案】/108度【分析】過點(diǎn)F作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合已知求出，可得，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．3、探究題(1)如下圖，，，．求度數(shù)；

(2)如下圖，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，．

①當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________②當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．（1）過P作，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得；（2）①過P作交于E，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案；②畫出圖形（分兩種情況：點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出答案．【詳解】（1）解：過P作，

∵，∴，∵，．∴，，∴；（2）解：①：如圖3，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

故答案為：；②當(dāng)P在延長(zhǎng)線時(shí)，；理由：如圖4，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

當(dāng)P在之間時(shí)，．理由：如圖5，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴．

綜上所述，，，之間的數(shù)量關(guān)系為或．題型三平行基本模型之雞翅模型1、①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】①過點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．2、（2023春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)校考期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；（2）首先過點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法．3、（2023·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若的平分線交線段于點(diǎn)，連接，若，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過點(diǎn)M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的含義得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出；設(shè)，根據(jù)角的和差可得出，結(jié)合已知條件可求得，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：；（2）過點(diǎn)E作，延長(zhǎng)DC至Q，過點(diǎn)M作，，，AF平分FH平分設(shè)，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．題型四平行基本模型之骨折模型1、如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．【答案】57°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點(diǎn)F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案為：57°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2、如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______【答案】180°【分析】延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量代換可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，如圖所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案為180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3、（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．【詳解】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設(shè)∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設(shè)∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設(shè)∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設(shè)∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理．題型五平行基本模型之折疊問題1．折紙是一門古老而有趣的藝術(shù)．如圖，小明拿出一張長(zhǎng)方形紙片，他先將紙片沿折疊，再將折疊后的紙片沿折疊，使得與重合，展開紙片后測(cè)量發(fā)現(xiàn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，先由平行線的性質(zhì)得到，，由平角定義得到，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到：，，，求出，由直角三角形的性質(zhì)求出，由對(duì)頂角的性質(zhì)得到，即可求出．【詳解】解：∵，，，由折疊的性質(zhì)得，，，，，，．故選：C．2．如圖1，將長(zhǎng)方形ABCD沿CE（點(diǎn)E在AB上，不與點(diǎn)A，B重合）折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，連接，，設(shè)，．變化長(zhǎng)方形的大小如圖2所示，若的值增大了，且保持不變，則的值（

）A．增大了 B．減小了 C．增大了 D．減小了【答案】C【分析】本題考查了折疊性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，先根據(jù)長(zhǎng)方形和折疊性質(zhì)，得出，因?yàn)椋?，結(jié)合的值增大了，即可作答．【詳解】解：∵將長(zhǎng)方形ABCD沿CE（點(diǎn)E在AB上，不與點(diǎn)A，B重合）折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，∴，∵，∴，∵，∴，∵的值增大了，∴，∴的值增大了，故選：C．3．如圖將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊．折痕分別為、，若，且，則．

【答案】/度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，設(shè)，根據(jù)折疊以及平行線的性質(zhì)表示出，根據(jù)，建立方程，解方程得出，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)

∵折疊，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．4．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，琳琳同學(xué)將一張長(zhǎng)方形紙條沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．(1)如圖，她通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)你證明她的結(jié)論；(2)如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，將四邊形沿所在直線折疊得到，交于，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處．她通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)：，請(qǐng)你證明她的結(jié)論．(3)如圖，在（）的條件下，將四邊形沿向上折疊得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落到上的點(diǎn)處，點(diǎn)落到點(diǎn)處，猜想，與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（）作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可求解；（）根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和角度和差；（）根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和角度和差；本題考查了平行線的性質(zhì)額折疊的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：作，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；??（3），理由：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．1．如圖，，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，分別是和的平分線，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，根據(jù)題意求得，從而，過點(diǎn)H作，同理可求．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作∴分別是和的角平分線過點(diǎn)H作，同理可求故選C．2．如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)求解是解決問題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到，，即可求得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，∵，，∴．∴，．∵，∴．∴．故選．3．如圖，已知，平分平分，，則的度數(shù)為（

）度．

A．55 B．50 C．40 D．30【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，求出和的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出和的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求出和的度數(shù)，過點(diǎn)作，則，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出和的度數(shù)，再結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，．∵平分平分，∴．過點(diǎn)作，則，如圖所示．

∵，，∴，∴．故選：A．4．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙沿折疊，若，則有下列結(jié)論：；；；．其中正確的有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】此題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)．【詳解】∵，，∴，故正確；∵，，∴，故正確；，，∴∴，∴，故正確；∵，，∴，故正確；則說法正確的有個(gè)，故選：．5．如圖，已知：，，平分，，有下列結(jié)論：①；②；③；④.結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)平行線的傳遞性可以判斷出來；②所以，然后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，即，聯(lián)立可求得結(jié)果；③根據(jù)以及，可求得結(jié)果；④根據(jù)即以及，可求得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正確；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正確；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，將代入，化簡(jiǎn)可得：，故③正確；④∵，，∴，∵，∴，故④正確；正確的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)、角平分線的有關(guān)計(jì)算，準(zhǔn)確找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知，，，則度．

【答案】120【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)求角度是解題的關(guān)鍵．如圖：過作，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】解：過作，

，，，，，，，，．故答案為：120．7．如圖是一款長(zhǎng)臂折疊護(hù)眼燈示意圖，與桌面垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管恰好與桌面平行時(shí)，，，則的度數(shù)為．【答案】100【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)構(gòu)造平行線．過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，∵，∴，∵，∴，∴，，，∵，，∴，，∴，故答案為：100．8．如圖，，分別平分，，若，則的度數(shù)是．【答案】/110度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，正確作出輔助線、構(gòu)造平行線成為解題的關(guān)鍵．如圖：過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，即可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)以及，即可求得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差即可解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵分別平分，，∴，，∴，∵，∴，，∴．故答案為：．9．如圖，，、分別平分和，，與互補(bǔ)，則的度數(shù)為．【答案】/36度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、補(bǔ)角的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意延長(zhǎng)交于點(diǎn)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖：，分別平分和，，，，，，與互補(bǔ)，，，，設(shè)，則，，，，解得，，即的度數(shù)為．故答案為：．10．如圖，由線段組成的圖形像∑，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，，則；（2）如圖2，連接形中B，D兩點(diǎn)，若，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系．【答案】【分析】本題考查利用平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系：（1）作，則，根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，，由此可解；（2）作交于點(diǎn)K，根據(jù)兩直線平行、同位角相等，可得，進(jìn)而可得，同（1）可證，再利用角的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖，作，，，，，，，故答案為：60；（2）如圖，作交于點(diǎn)K，，，，，，同（1）可得，，即，故答案為：．11．【模型發(fā)現(xiàn)】某校數(shù)學(xué)研討會(huì)的學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：圖1中的的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是將這個(gè)圖形稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖1，，是，之間的一點(diǎn)，連接，，試說明：；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，，，是，之間的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)找出和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，，，，均是，之間的點(diǎn)，如果，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）；理由見解析；（3）．【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)．（1）過作，則，由平行線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)角的和差以及等量代換即可解答；（2）過M作，過N作，則，得到，，，由可得，計(jì)算得到；（3）作，，，由推出，即，由，推出，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）證明：如圖（1）過作，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：；理由如下：如圖（2）：過M作，過N作，

∵，∴，∴，，，∵，∴，整理得，∴，∴；（3）解：．作，，，

∵，∴，∴，，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，即．12．如圖，，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)在，之間，連接，，且．請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖．(1)在圖1中作，且．(2)如圖2，，作．且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查幾何作圖，平行線的判定及性質(zhì)，垂直的定義．（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，由可得，即為所求；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)N，由得到，過點(diǎn)P作，由得到，則，，進(jìn)而根據(jù)得到，即為所求．【詳解】（1）解：如圖，為所求．（2）解：如圖，為所求．13．已知：兩直線、滿足點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接、

(1)如圖，若點(diǎn)在兩直線外部，則、、之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論(2)如圖，若點(diǎn)在兩直線外部，連接，則、、、之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明結(jié)論(不能用三角形內(nèi)角和為)(3)若點(diǎn)在兩直線內(nèi)部，且在右側(cè)，則、、、之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？(不需證明)【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)或【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，平行線公理的推論；（1）過點(diǎn)作，由平行線的傳遞性知，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，，進(jìn)而得證；（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，，，進(jìn)而得證；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，證明方法與（1）類似．【詳解】（1）如圖1，數(shù)量關(guān)系為：，理由：過點(diǎn)作，，，，，；

（2）如圖2，數(shù)量關(guān)系為：，理由：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，，；

（3）數(shù)量關(guān)系為：或，如圖3，過點(diǎn)作，

∴，，，，∴，即；如圖4，過點(diǎn)作，

∴，，，，∴，即．14．課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，．求的度數(shù)．（1）閱讀并補(bǔ)充下面推理過程．解：過點(diǎn)作，所以，．又因?yàn)椋裕忸}反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．方法運(yùn)用：（2）如圖2，已知，求的度數(shù)．提示：過點(diǎn)作．深化拓展：（3）已知，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，平分，平分，，所在的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在與兩條平行線之間．如圖3，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，若，則的度數(shù)為．【答案】（1），；（2）；（3）65【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推算．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，進(jìn)而可得到結(jié)論；（2）過作根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求的度數(shù)．【詳解】解：（1）過點(diǎn)作，，，又，．故答案為：，；（2）過點(diǎn)作，，，，，．（3）如圖，過點(diǎn)作，，，，，平分，平分，，，，，故答案為：65．15．對(duì)于平面內(nèi)的和，若存在一個(gè)常數(shù)，使得，則稱為的系補(bǔ)周角．如若，，則為的6系補(bǔ)周角．(1)若，則的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為___________(2)在平面內(nèi)，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，．①如圖1，，若是的3系補(bǔ)周角，求的度數(shù)．②如圖2，和均為鈍角，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且滿足，（