/第08講線段、角的軸對稱性——角平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．經(jīng)歷探索角的軸對稱性的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對稱的特性，發(fā)展空間觀念；2．探索并證明角平分線的性質(zhì)。如圖，OC是∠AOB的角平分線，如果把∠1沿OC翻折，因?yàn)椤?=∠2，所以射線OA與射線OB重合。因此，角是圖形，是它的對稱軸.2.如圖，在∠AOB的角平分線OC任意取一點(diǎn)P，PD⊥OA，PE⊥OB，證：PD=PE。證：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO與▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離． 幾何語言：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如圖，若點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上嗎？為什么？點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上；連接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上因此，角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的上。幾何語言：∵點(diǎn)Q在∠AOB的內(nèi)部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上已知∠AOB（如圖），求作：用尺規(guī)作圖作出∠AOB的平分線OM．（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D．（2）分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M（3）作射線OM。5.在直線AB外任取一點(diǎn)C，用該方法作出線段∠A、∠B的角平分線，你會發(fā)現(xiàn)什么？三角形三個頂角的角平分線交于一點(diǎn).這一點(diǎn)到三角形三條邊的距離相等6.設(shè)三角形角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離為h，三角形的周長為C，面積為S，三者之間的關(guān)系是？考點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)定理例1．如圖，在中，．用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-1】如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線，交于點(diǎn)E．已知，，的面積為（

）A．6 B．11 C．14 D．28【變式1-2】如圖，在中，于E，于F，為的平分線，的面積是，，．

【變式1-3】如圖，在中，，分別平分和，連接．若，求的度數(shù)．考點(diǎn)二：角平分線的判定定理例2．如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點(diǎn)P，則平分的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上B．角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等C．角平分線的性質(zhì)D．角是軸對稱圖形【變式2-1】如圖，點(diǎn)在內(nèi)部的一條射線上，于點(diǎn)，且．已知點(diǎn)到射線的最小距離為4，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2-2】在中，，點(diǎn)D在上，于點(diǎn)E，且，連接．若，則的度數(shù)為．【變式2-3】如圖，于于F，若，(1)求證：平分；(2)已知，求的長．考點(diǎn)三：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例3.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．的三條中線的交點(diǎn) B．三邊的中垂線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【變式3-1】如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計(jì)劃建一個加油站，要求它到三條公距離相等，則可供選擇的地址有（

）

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【變式3-2】如圖，一個加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，若加油站到公路的距離是，則它到公路的距離是．

【變式3-3】三條公路兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修一座油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有幾處？請?jiān)趫D中畫出來，保留作圖痕跡，不寫畫法．考點(diǎn)四：作角平分線例4．如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；③畫射線，交于點(diǎn)D．若，，則的長為（

）A． B．4 C．2 D．3【變式4-1】如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，．再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)．畫射線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．根據(jù)以上作圖，下列結(jié)論正確的是(

)

A． B．C． D．【變式4-2】如圖，在四邊形中，，，．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交，于，兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；③連接并延長交于點(diǎn)．則的長是．【變式4-3】如圖，在中，，．請用尺規(guī)作圖法在上找一點(diǎn)，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

考點(diǎn)五：角平分線與垂直平分線結(jié)合例5．如圖，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡推斷，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式5-1】在中，，，，用尺規(guī)作圖的方法作線段和線段，保留作圖痕跡如圖所示，認(rèn)真觀察作圖痕跡，則的周長是（

）

A．3 B． C． D．6【變式5-2】如圖，在中，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)P，連接．若，則的度數(shù)為．【變式5-3】如圖，是等邊三角形外的一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上．(1)求證：是的垂直平分線．(2)若平分，寫出，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．1．如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．2．如圖，已知點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則長（

）A．4 B．6 C．8 D．103．如圖，在中，，，分別平分，，，于點(diǎn)，若的周長為，的面積為，則的長為（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，作，垂足為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，點(diǎn)，分別在，邊上，．若，則的值為（

）A．12 B．8 C． D．106．如圖，在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)E，連接，作的平分線，與的延長線交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．如圖，已知平分平分，且．則下列結(jié)論：①平分，②，③，④點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則．正確的有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，為的外角平分線上一點(diǎn)并且在的垂直平分線上，過作于，交的延長線于，則下列結(jié)論：；；；．其中正確的結(jié)論是（

）A．個 B．個 C．個 D．個9．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且，，則的面積是．10．如圖，平分，，如果，那么點(diǎn)到的距離等于11．如圖，在中，是邊上的高線，的平分線交于E，當(dāng)，的面積為12時，的長為．12．如圖，在中，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫兩條弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，若，，則的面積是．13．如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為14，則的面積為．14．如圖，在中，邊的垂直平分線與的外角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．若，．則的長度是．15．如圖，是的角平分線，點(diǎn)B在射線上，是線段的中垂線交于E，．若，，則．16．如圖，在中，D為中點(diǎn)，，，于點(diǎn)F，，，則的長為．

17．如圖，道路和的交叉區(qū)域（的內(nèi)部）為一個公園．C，D分別是兩處游樂場地，若設(shè)置一個游樂場售票點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩條道路的距離相等，且到兩游樂場的距離也相等，這個售票點(diǎn)的位置應(yīng)建在何處？請作出這個點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．如圖，平分，，，A，B為垂足，交于點(diǎn)N．求證：．19．如圖，在中，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．20．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．請用尺規(guī)作圖法，在上找一點(diǎn)，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

21．?dāng)?shù)學(xué)活動：探究利用角的對稱性構(gòu)造全等三角形解決問題，利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問題，事半功倍.【問題提出】（1）尺規(guī)作圖：如圖①，用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖，說明的依據(jù)是，這兩個三角形全等的判定條件是______．【問題探究】（2）①巧翻折，造全等如圖②，在中，是的角平分線，請說明．小明在上截取．連接DE，則．請繼續(xù)完成小明的解答；②構(gòu)距離，造全等如圖③，在四邊形ABCD中，，，和的平分線，交于點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，求點(diǎn)到的距離；【問題解決】（3）如圖④，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點(diǎn)．請判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．22．如圖，和的平分線交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，求證：．

第08講線段、角的軸對稱性——角平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．經(jīng)歷探索角的軸對稱性的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對稱的特性，發(fā)展空間觀念；2．探索并證明角平分線的性質(zhì)。如圖，OC是∠AOB的角平分線，如果把∠1沿OC翻折，因?yàn)椤?=∠2，所以射線OA與射線OB重合。因此，角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.2.如圖，在∠AOB的角平分線OC任意取一點(diǎn)P，PD⊥OA，PE⊥OB，證：PD=PE。證：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO與▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等． 幾何語言：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如圖，若點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上嗎？為什么？點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上；連接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上因此，角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何語言：∵點(diǎn)Q在∠AOB的內(nèi)部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上已知∠AOB（如圖），求作：用尺規(guī)作圖作出∠AOB的平分線OM．（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D．（2）分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M（3）作射線OM。5.在直線AB外任取一點(diǎn)C，用該方法作出線段∠A、∠B的角平分線，你會發(fā)現(xiàn)什么？三角形三個頂角的角平分線交于一點(diǎn).這一點(diǎn)到三角形三條邊的距離相等6.設(shè)三角形角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離為h，三角形的周長為C，面積為S，三者之間的關(guān)系是？考點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)定理例1．如圖，在中，．用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．利用角平分線的性質(zhì)定理判斷出即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．由作圖可知平分，，，，點(diǎn)到的距離為3．故選：B．【變式1-1】如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線，交于點(diǎn)E．已知，，的面積為（

）A．6 B．11 C．14 D．28【答案】C【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)E到和的距離相等，點(diǎn)E到的距離等于的長度，利用三角形面積公式即可得到答案．【詳解】解：由基本作圖得到平分，∴點(diǎn)E到和的距離相等，∴點(diǎn)E到的距離等于的長度，即點(diǎn)E到的距離為4，∴．故選：C．【變式1-2】如圖，在中，于E，于F，為的平分線，的面積是，，．

【答案】2【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，可得，根據(jù)的面積是，列式得，再進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵中，于E，于F，為的平分線∴∵的面積是，∴則∴解得故答案為：2【變式1-3】如圖，在中，，分別平分和，連接．若，求的度數(shù)．【答案】43°【分析】本題考查角平分線的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)O作，、，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，則，即可得到平分，進(jìn)而解題即可【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作，、，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∵和的平分線交于點(diǎn)O，，，，∴，，∴，∴平分．∵∠，∴．考點(diǎn)二：角平分線的判定定理例2．如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點(diǎn)P，則平分的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上B．角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等C．角平分線的性質(zhì)D．角是軸對稱圖形【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上．根據(jù)角平分線的判定定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵兩把相同的直尺寬度相同，∴點(diǎn)到射線的距離相等，∵在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上，∴點(diǎn)在的平分線上，∴平分，故A正確．故選：A．【變式2-1】如圖，點(diǎn)在內(nèi)部的一條射線上，于點(diǎn)，且．已知點(diǎn)到射線的最小距離為4，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，由題意得出點(diǎn)到兩邊的距離相等，從而得出射線是的角平分線，即，求出，即可得出答案，熟練掌握角平分線的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：于點(diǎn)，且，到射線的最小距離為4，點(diǎn)到兩邊的距離相等，射線是的角平分線，，，，，故選：C．【變式2-2】在中，，點(diǎn)D在上，于點(diǎn)E，且，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線的判定定理，熟練應(yīng)用角平分線的判定定理是解題關(guān)鍵，先證，再求出即可求出結(jié)論．【詳解】解：，，且，，，，，故答案為：35．【變式2-3】如圖，于于F，若，(1)求證：平分；(2)已知，求的長．【答案】(1)見詳解(2)12【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．考點(diǎn)三：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例3.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．的三條中線的交點(diǎn) B．三邊的中垂線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題考查角平分線的判定，由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，可知涼亭選在三條角平分線的交點(diǎn)．【詳解】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭應(yīng)在三條角平分線的交點(diǎn)．故選：C【變式3-1】如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計(jì)劃建一個加油站，要求它到三條公距離相等，則可供選擇的地址有（

）

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并是解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件;然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個，可得可供選擇的地址有4個．【詳解】解：作直線所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點(diǎn)，內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到這4個點(diǎn)到三條公路的距離分別相等．

故選：D．【變式3-2】如圖，一個加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，若加油站到公路的距離是，則它到公路的距離是．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵加油站恰好位于兩條公路，所夾角的平分線上，且加油站到公路的距離是，∴加油站到公路和公路的距離是相等的，即它到公路的距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，能夠熟練運(yùn)用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】三條公路兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修一座油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有幾處？請?jiān)趫D中畫出來，保留作圖痕跡，不寫畫法．【答案】4處，圖見解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，利用角平分線的性質(zhì)作出圖形即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)有4個，圖中即為所求．考點(diǎn)四：作角平分線例4．如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；③畫射線，交于點(diǎn)D．若，，則的長為（

）A． B．4 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出，再利用基本作圖得平分，所以，然后證明和即可．本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．【詳解】解：，，由作法得平分，，，，，，，．故選：D．【變式4-1】如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，．再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)．畫射線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．根據(jù)以上作圖，下列結(jié)論正確的是(

)

A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查作角平分線；由作圖可知，是的角平分線，故，即可得到答案．【詳解】解：由作圖可知，是的角平分線，，故B正確，符合題意；而選項(xiàng)A，C，D都不一定正確，不符合題意；故選：B．【變式4-2】如圖，在四邊形中，，，．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交，于，兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；③連接并延長交于點(diǎn)．則的長是．【答案】【分析】本題考查角平分線的作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，先根據(jù)作圖過程判斷平分，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得，進(jìn)而可得，由此可解．【詳解】解：由作圖過程可知平分，，，，，，，故答案為：．【變式4-3】如圖，在中，，．請用尺規(guī)作圖法在上找一點(diǎn)，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】作圖見解析．【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——作角平分線，直角三角形的性質(zhì)和所對直角邊是斜邊的一半，根據(jù)角平分線的作法即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，∵，，∴，

以為圓心，任意長度為半徑畫弧，交于點(diǎn)；分別以為圓心，大于長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；連接，交于點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)即為所求．考點(diǎn)五：角平分線與垂直平分線結(jié)合例5．如圖，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡推斷，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是尺規(guī)作角平分線和垂直平分線，熟知角平分線的作法和垂直平分線性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到是的角平分線，垂直平分，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：由作圖知，是的角平分線，∴，故A不符合題意；由作圖知垂直平分，∴，，故B，D不符合題意；無法證明，故C符合題意，故選：C．【變式5-1】在中，，，，用尺規(guī)作圖的方法作線段和線段，保留作圖痕跡如圖所示，認(rèn)真觀察作圖痕跡，則的周長是（

）

A．3 B． C． D．6【答案】D【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．觀察作圖痕跡，知道是的角平分線，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合，證明，推出，，那么，從而推出的周長．【詳解】由作圖痕跡，知道是的角平分線，且是的角平分線，，在和中，，，，的周長為6故選D．【變式5-2】如圖，在中，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)P，連接．若，則的度數(shù)為．【答案】12【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)垂直平分線得到，從而得到，由角平分線得到，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合，得到，再根據(jù)角的和差求解即可得到答案．【詳解】解：∵的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)P，，，，，，∴，∴，故答案為：12．【變式5-3】如圖，是等邊三角形外的一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上．(1)求證：是的垂直平分線．(2)若平分，寫出，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先由等邊三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合，即可得出是的垂直平分線進(jìn)行作答．（2）先由等邊三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，得出，證明，再證明，結(jié)合邊的等量代換以及邊的運(yùn)算，即可作答．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，在的垂直平分線上，，∴在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線．（2）證明：過作，如圖：是等邊三角形，，，．．，．，平分，，，．，，．．又，，1．如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了作角平分線，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，，故A，B正確；∵是角平分線，∴，故D選項(xiàng)正確，而不一定成立，故C選項(xiàng)錯誤，故選：C．2．如圖，已知點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則長（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此題考查了角平分線性質(zhì)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，利用角平分線性質(zhì)定理即可得出．【詳解】解：平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，故選：C．3．如圖，在中，，，分別平分，，，于點(diǎn)，若的周長為，的面積為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示：

∵平分，，，∴，∵平分，，，∴，設(shè)，∵的周長為，∴的面積的面積的面積的面積，∵的面積為，∴，解得：，即，故選：C．4．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，作，垂足為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，角平分線的定義，性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖；根據(jù)角平分線的作圖可判斷D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷B，證明，可判斷A，由題目條件無法證明出，可判斷C；【詳解】根據(jù)作圖可知平分，，故D選項(xiàng)不符合題意；，，平分，，故B選項(xiàng)不符合題意；，，，故A選項(xiàng)不符合題意；由題目條件無法證明出，故C選項(xiàng)符合題意，故選：C；5．如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，點(diǎn)，分別在，邊上，．若，則的值為（

）A．12 B．8 C． D．10【答案】D【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可知平分，由角平分線的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，再證明，可得，然后由求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可知平分，∵，，∴，∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．6．如圖，在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)E，連接，作的平分線，與的延長線交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本考查中垂線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，根據(jù)題意，易得垂直平分，進(jìn)而推出，角平分線，得到，三角形的內(nèi)角和得到，進(jìn)而得到，三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，過點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)E，∴垂直平分，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即：，∴；故選B．7．如圖，已知平分平分，且．則下列結(jié)論：①平分，②，③，④點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，則．正確的有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正確；進(jìn)而得，②正確；由得，③正確；點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，由與不平行，與不平行，得，故，④不正確，所以有3個正確．【詳解】解：平分平分平分,故①正確；,故②正確；，故③正確；如圖，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)與不平行，與不平行，故④不正確，所以，正確的個數(shù)有3個．故選：C．8．如圖，為的外角平分線上一點(diǎn)并且在的垂直平分線上，過作于，交的延長線于，則下列結(jié)論：；；；．其中正確的結(jié)論是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，利用三角形內(nèi)角和定理可得；利用三角形的外角性質(zhì)得到．【分析】解：∵平分，，，∴，∵在的垂直平分線上，∴，在和中，，∴，故正確；∴，在和中，，∴，∴，∴，故正確；∵，∴，∵，∴，，∴，故正確；在中，，故錯誤；綜上，正確，共個．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖判斷出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且，，則的面積是．【答案】14【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得；最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴，∴；故答案為：14．10．如圖，平分，，如果，那么點(diǎn)到的距離等于【答案】6【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)推出．過作于，由角平分線的性質(zhì)推出，即可得到點(diǎn)到的距離等于6．【詳解】解：過作于，平分，，，點(diǎn)到的距離等于6．故答案為：6．11．如圖，在中，是邊上的高線，的平分線交于E，當(dāng)，的面積為12時，的長為．【答案】4【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出，由三角形面積可得出，即可求出的長．【詳解】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，如圖所示．∵平分，且，∴．∵，即，∴，∴．故答案為：4．12．如圖，在中，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫兩條弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，若，，則的面積是．【答案】40【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和角平分線的尺規(guī)作圖，由作圖方法可得平分，則由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得，據(jù)此利用三角形面積計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作于H，由作圖方法可知，平分，∵，，∴，∴，故答案為：40．13．如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為14，則的面積為．【答案】20【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖-作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理、三角形面積公式等知識，熟練掌握角平分線的作法和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)，由作圖可知，平分，由角平分線的性質(zhì)定理可得，利用三角形面積公式可解得，易得，然后計(jì)算的面積即可．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)，由作圖可知，平分，∴，∵，的面積為14，即，解得，∴，∴的面積．故答案為：20．14．如圖，在中，邊的垂直平分線與的外角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．若，．則的長度是．【答案】2【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等，垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等．連接，通過證明，得出，在證明，得出，即可解答．【詳解】解：連接，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，整理得：，∴，故答案為：2．15．如圖，是的角平分線，點(diǎn)B在射線上，是線段的中垂線交于E，．若，，則．【答案】【分析】連接，過E作于R，交于Q，交于O，根據(jù)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，根據(jù)全等求出，求出，求出，求出的度數(shù)，再求出，求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出，再求出答案即可．【詳解】解：連接，過E作于R，交C于Q，交于O，∵是線段的中垂線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵平分，，，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：①線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，②角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等．16．如圖，在中，D為中點(diǎn)，，，于點(diǎn)F，，，則的長為．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)E作，交的延長線于N，由，可得；由D為中點(diǎn)，，則可得；證明，再證明即可求得結(jié)果．【詳解】解：連接，過點(diǎn)E作，交的延長線于N，如圖，∵，，∴；∵D為中點(diǎn)，，∴；∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴，即，∴．∴

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握這兩個性質(zhì)是關(guān)鍵．17．如圖，道路和的交叉區(qū)域（的內(nèi)部）為一個公園．C，D分別是兩處游樂場地，若設(shè)置一個游樂場售票點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩條道路的距離相等，且到兩游樂場的距離也相等，這個售票點(diǎn)的位置應(yīng)建在何處？請作出這個點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查了作圖的應(yīng)用與設(shè)計(jì)，掌握角平分線的性質(zhì)和線段的垂直平分線的是解題的關(guān)鍵．作的平分線和線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：如圖，作的平分線和線段的垂直平分