第02講：指、對(duì)、冪函數(shù)高頻考點(diǎn)突破【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.考點(diǎn)二．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象定義域(1)R值域(2)(0，＋∞)性質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1)(4)當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1(5)當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)考點(diǎn)三：.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)對(duì)數(shù)的換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=logaxa>10<a<1圖象定義域(1)(0，＋∞)值域(2)R性質(zhì)(3)過定點(diǎn)(1,0)(4)當(dāng)x>1時(shí)，y>0;當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0(5)當(dāng)x>1時(shí)，y<0;當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)考點(diǎn)七：反函數(shù)的概念一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．(1)y＝ax的定義域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定義域．(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．(3)反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性相同．但單調(diào)區(qū)間不一定相同．技巧歸納：1、換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．考點(diǎn)八：.冪函數(shù)(1)定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的圖象比較考點(diǎn)九：五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識(shí)點(diǎn)十一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．2．當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．【題型梳理】題型一：指對(duì)冪的運(yùn)算1．（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）求下列各式的值：(1)；(2).2．（2023秋·四川成都·高一校考期末）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2).3．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中?？计谀┯?jì)算與化簡(jiǎn)：(1)(2).(3)(4).題型二：比較大小4．（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．5．（2023春·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（2023秋·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．題型三：指數(shù)函數(shù)的綜合7．（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8．（2023秋·山西大同·高一山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)為上的奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明；(3)解關(guān)于的不等式.9．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)利用單調(diào)性定義證明：在上是增函數(shù)；(2)解不等式題型四：冪函數(shù)的綜合10．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的解析式，并指明函數(shù)的定義域；(2)設(shè)函數(shù)，用單調(diào)性的定義證明在單調(diào)遞增．11．（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，根據(jù)定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增.12．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍．題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合13．（2023春·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)f（x）＝是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；(3)記，對(duì)x∈R，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．14．（2023秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）在上的最大值為3.(1)求的值；(2)假設(shè)函數(shù)的定義域是，求關(guān)于的不等式的解集.15．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若，，，不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．題型六：函數(shù)的應(yīng)用16．（2023秋·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明函數(shù)在上的單調(diào)遞增；(3)若存在使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．17．（2023春·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時(shí)間間的關(guān)系為（其中是正常數(shù)）.已知在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物.(1)求的值（精稱到0.01）；(2)求污染物減少需要花的時(shí)間（精確到）？參考數(shù)據(jù)：.18．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，且滿足．(1)求函數(shù)，的解析式；(2)若函數(shù)，且方程恰有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【專題突破】一、單選題19．（2023春·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（

）A． B．1 C．-1 D．220．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同.假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度的關(guān)系為（為常數(shù)）.若牛奶在的冰箱中，保鮮時(shí)間約是，在的冰箱中，保鮮時(shí)間約是，那么在的冰箱中保鮮時(shí)間約是（

）A． B． C． D．21．（2023春·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．22．（2023秋·山西大同·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不小于3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．24．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中?？计谀┮阎瘮?shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)26．（2023秋·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．無最小值 D．無最小值27．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中學(xué)?？计谀┒x在上函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．28．（2023秋·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題29．（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增D．若實(shí)數(shù)，滿足，則30．（2023春·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)是減函數(shù)31．（2023秋·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A．函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，，總有成立C．函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)根32．（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（

）A．圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．的最大值為C．在上單調(diào)遞減 D．的最小值為33．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）下列命題正確的有（

）A．命題“，”的否定“，”B．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是C．函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為且函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)三、填空題34．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知（且），則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.35．（2023秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿足，則______.36．（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.37．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．四、解答題38．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)求函數(shù)的值域；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).39．（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）設(shè)（，且）.(1)若，求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)的值域.40．（2023秋·甘肅白銀·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中且.(1)判斷的奇偶性；(2)若，解關(guān)于x的不等式.41．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的奇偶性；(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，且不為常數(shù)．①求實(shí)數(shù)，的值；②判斷并證明的單調(diào)性．42．（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）在上的最小值為-1．(1)求a的值；(2)若函數(shù)滿足：，且，，求滿足的x的取值范圍．43．（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）．(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．44．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間x（單位：小時(shí)）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時(shí)間來估計(jì)某類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當(dāng)實(shí)際的細(xì)菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計(jì)值之間的差的絕對(duì)值不超過0.5時(shí)，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當(dāng)培養(yǎng)時(shí)