年北京卷高考數(shù)學(xué)真題一、選擇題。（☆☆）集合，，則=（）

A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{3}

D.【答案】D【解析】本題主要考查交集的運(yùn)算【分值】4

2.（☆☆）已知復(fù)數(shù)z滿足，則=（）

A.

B.

C.4

D.8【答案】B【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的?！痉种怠?

3.（☆☆）雙曲線的離心率為（）

A.

B.

C.

D.【答案】B【解析】本題考查雙曲線的離心率【分值】4

4.（☆☆）為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）

A.橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變

B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

C.縱坐標(biāo)變成原來的倍，橫坐標(biāo)不變

D.縱坐標(biāo)變成原來的3倍，橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】本題考查函數(shù)圖像的伸縮變換

的圖像，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖像,故選A【分值】4

5.（☆☆）已知是公差不為的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則=（）

A.-20

B.-18

C.16

D.18【答案】C【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的應(yīng)用

設(shè)的公差為，

，

，，

故選C【分值】4

6.（☆☆）已知a>0，b>0，則（）

A.

B.

C.

D.【答案】C【解析】本題考查不等式比較大小

A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤

B選項(xiàng)：取，，，故B錯(cuò)誤

C選項(xiàng)：，，，故C正確

D選項(xiàng)：，，，故D錯(cuò)誤

故選C【分值】4

7.（☆☆）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則“函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意，存在，使得”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】

本題考查充分必要條件的判斷

解析：的定義域?yàn)?/p>

若的值域?yàn)?，則對(duì)，存在，使得，所以充分性成立；

反之，若，，使，的值域不一定為，比如的值域?yàn)?，必要性不成?/p>

故選A【分值】4

8.（☆☆）設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）

A.8

B.6

C.4

D.3【答案】C【解析】本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)

解析：

當(dāng)時(shí)，，

在上存在零點(diǎn)，

又，可知為周期的整數(shù)倍

即，，，，

的最小值為

故選：C【分值】4

9.（☆☆）在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間（單位：小時(shí)），其中k為常數(shù)，在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加（單位：小時(shí)）（）

A.

B.

C.

D.【答案】B【解析】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用

由題意可得

，，，，

，，

故選：B【分值】4

10.（☆☆）已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，設(shè)C(3,4)，則的取值范圍是（）

A.[6,14]

B.[6,12]

C.[8,14]

D.[8,12]【答案】D【解析】本題考查平面向量的運(yùn)算，向量的模的取值范圍。

，可知，

、兩點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，

取的中點(diǎn)，可知，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上。【分值】4二、填空題。11.（☆）已知拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則p=.【答案】6【解析】本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和幾何性質(zhì)

拋物線的頂點(diǎn)為

焦點(diǎn)為，，【分值】4

12.（☆☆）已知，則=；=.【答案】①1②15【解析】本題考查賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù)．

解:令，得，

令，得

把代入，得

故答案為:①1②15【分值】4

13.（☆☆）已知，且，，寫出滿足條件的一組=_.【答案】，答案不唯一。【解析】本題考查了兩角和與差的正、余弦公式

①

由①，②可知,

可取,,

故答案為（答案不唯一）【分值】4

14.（☆☆）某科技興趣小組使用3D打印機(jī)制作的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，，若AB=BC=8，AF=CD=4，RA=RF=TC=TD=，則該多面體的體積為_.【答案】60【解析】本題考查了求多面體的體積，考查了利用切割法求體積，以及柱體與錐體的體積公式為中點(diǎn)．

為的中點(diǎn)；為中點(diǎn)．

．

故為梯形的中位線

面面，且交線為

面

【分值】4

15.（☆☆）關(guān)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，以下說法正確的有.

①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；

②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立；

③使得f(x)+f(-x)=cosx恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無窮多個(gè)；

④使得f(x)-f(-x)=cosx恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無窮多個(gè).【答案】②③【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)、抽象函數(shù)，以及與量詞有關(guān)的知識(shí)，在判定命題是否正確時(shí)，需要根據(jù)函數(shù)性質(zhì)作出合理的推斷。

①為上的單調(diào)增函數(shù)，在上恒成立，而，在上恒成立，在上恒成立，為單調(diào)增函數(shù)。而為單調(diào)減函數(shù)，不恒成立，

故①錯(cuò)誤。

②令，

，

，

存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立，

故②正確。

③設(shè)，

，

，

③正確。

④.令，，，，

為奇函數(shù)。令，，，

為偶函數(shù)，

恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè)是不成立的。

故答案為②③。【分值】4三、解答題。16.在中，，.(1)求c；(2)在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求BC的高.【答案】(1)c=6(2)選②,BC邊上的高為；選③，BC邊上的高為.【解析】本題考查了正、余弦定理和三角形的面積公式

(1)

又

(2)若選①a=6，由(1)知c=6，，

為鈍角，則為鈍角

這樣的三角形不存在。

若選②

，

這樣的三角形是存在的.設(shè)邊上的高為，則

若選③

則，

【分值】1217.四棱錐中，為等腰直角三角形，，，E為BC的中點(diǎn).(1)F為PD的中點(diǎn)，G為PE的中點(diǎn)，證明:；(2)若，PA=PC，求AB與面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（1）證明：取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN∵△ACD與△ABC為等腰直角三角形∠ADC=90°，∠BAC=90°不妨設(shè)AD=CD=2，∴AC=AB=∴BC=4，∵E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)∴FN=AD=1，BE=2，∴GM=1∵∠DAC=45°，∠ACB=45°∴AD∥BC，∴FN∥GM∴四邊形FGMN為平行四邊形∴FG∥MN∵FG?面PAB，MN?面PAB，∴FG∥面PAB（2）∵PA⊥面ABCD，∴以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=CD=2，則A(0,0,0)，B(0,,0)，C(,0,0)D(,?,0)，P(0,0,)設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為【分值】1618.有一道選擇題考查了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì)，乙校有75人答對(duì)，每位同學(xué)是否答對(duì)相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

(1)從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題目的概率；

(2)從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及的數(shù)學(xué)期望；

(3)若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，則有100%的概率做對(duì)該題目，乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，則有85%的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）.【答案】(1)(2)1人做對(duì)的概率

(3)【解析】本題考查了概率,數(shù)學(xué)期望與事件之間的關(guān)系.考查了加權(quán)平均數(shù)問題.

(1)甲校隨機(jī)取100人,其中有80人答對(duì).用頻率估計(jì)概率,則從甲校隨機(jī)抽取1人,這個(gè)人答對(duì)的概率為事件A,

(2)由(1)可知,乙校中隨機(jī)抽取1人,這個(gè)人答對(duì)題目的概率為事件B,

從甲乙兩校各隨機(jī)抽取1人,恰有1人做對(duì)的概率

的可能取值為0,1,2

的分布列為:

(3)由題意可知.

解得

解得

【分值】1519.已知橢圓E:的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線和y=-2分別相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，比較的大小.【答案】(1)

(2)【解析】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到三角形的面積公式等知識(shí)

(1)由題可知，解得橢圓方程為(2)直線與直線和分別交于，兩點(diǎn)，可得

，

設(shè)，

在橢圓上，，

，，

，即【分值】1220.函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋襢(0)=0，，f(x)在A(a,f(a))處的切線為.(1)求的最大值；(2)證明:當(dāng)，除切點(diǎn)A外，y=f(x)均在上方；(3)當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)A且與垂直，、與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)見解析(3)【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及證明函數(shù)不等式

(1)設(shè)

令

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，取得唯一極大值，即為最大值

即的最大值為

(2)設(shè)的斜率為，則

，即

設(shè)

令，，

由(1)知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

，在單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增

，，

在恒成立，當(dāng)時(shí)取等號(hào)

當(dāng)時(shí)，除A外，均在上方。(3)與垂直，的斜率為，的斜率為

，

，

令，，

，

令，，

設(shè)

由(1)知，，

在單調(diào)遞減

時(shí)，，綜上所述，原式的取值范圍為【分值】1521.A={1,2,3,4,5,6,7,8}，，從M中選出n構(gòu)成一列:.相鄰兩項(xiàng)滿足:或，稱為K列.(1)若K列的第一項(xiàng)為(3,3)，求第二項(xiàng)；(2)若為K列，且滿足i為奇數(shù)時(shí)，；i為偶數(shù)時(shí)，；判斷:(3,2)與(4,4)能否同時(shí)在中，并說明；(3)證明:M中所有元素都不構(gòu)成K列.【答案】(1)(6,7)或(7,6)

(2)不能

(3)見解析【解析】本題考查了數(shù)列的新定義，考查了歸納推理能力.

(1)由題意，可得或

若K列的第一項(xiàng)為(3,3)，則第二項(xiàng)為(6