試題試題2024北京首都師大附中高一10月月考數(shù)學(xué)（成達部）2024年10月12月第I卷（共40分）一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點（）A.向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度B.向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度C.向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度D.向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度5.下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①若，則；②若，則；③不全為零；④A.0個 B.1個 C.2個 D.3個6.函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.7.若“”是“”充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知關(guān)于的不等式的解集是，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)，若對于任意正數(shù)，關(guān)于的方程都恰有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)的個數(shù)為（）A. B. C. D.無數(shù)10.設(shè)A，B為兩個非空有限集合，定義，其中表示集合S的元素個數(shù).某學(xué)校甲?乙?丙?丁四名同學(xué)從思想政治?歷史?地理?物理?化學(xué)?生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個結(jié)論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學(xué)}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個第II卷（共60分）二?填空題（本大題共8小題，每小題4分，其32分）11.函數(shù)的值域為__________.12.已知函數(shù)，若對于任意的正實數(shù)都滿足，則__________.13.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)x∈0,+∞時，______.14.已知關(guān)于的方程的兩根為，滿足，則實數(shù)的取值范圍為__________.15.若函數(shù)有4個零點，實數(shù)m的取值范圍為________.16.設(shè)關(guān)于的方程和的實根分別為，若，則實數(shù)的取值范圍是__________.17.李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計劃在“五一”期間對商品進行廣告促銷，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬件）與廣告費用（單位：萬元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用應(yīng)投入_______萬元．18.已知函數(shù)，對于任意實數(shù)，當(dāng)時，記的最大值為.①若，則__________；②若則的取值范圍是__________．三?解答題（本大題共2小題，共28分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）19.解關(guān)于的方程：20.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）若關(guān)于的不等式對于任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案第I卷（共40分）一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.【答案】B【分析】根據(jù)集合的表達式，可求出集合是的奇數(shù)倍，是的整數(shù)倍，即可得出的關(guān)系.【詳解】由可知，集合表示的是的奇數(shù)倍；由可知，集合表示的是的整數(shù)倍；即可知是的真子集，即.故選：B2.【答案】B【分析】由題意，分子根號下的式子大于或等于零，分母不為零，據(jù)此列出的不等式組，求解即可．【詳解】解：要使原式有意義只需：，解得且，故函數(shù)的定義域為．故選B．【點睛】求函數(shù)的定義域分兩類，一是實際問題中函數(shù)的定義域，有變量的實際意義確定；二是一般函數(shù)的定義域，由使式子有意的的范圍確定，一般是列出不等式組求解．注意結(jié)果要寫成集合或區(qū)間的形式．3.【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，以及初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意；對于B中，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意；對于C中，由函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又由函數(shù)在為增函數(shù)，所以在區(qū)間上也是增函數(shù)，符合題意；對于D中，由函數(shù)，當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意.故選：C.4.【答案】D【分析】按照左加右減，上加下減，結(jié)合對數(shù)運算法則進行計算，得到答案.【詳解】A選項，向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到，錯誤；B選項，向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度得到，錯誤；C選項，向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，錯誤；D選項，向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，正確.故選：D5.【答案】C【分析】利用特殊值，可以直接判斷①②，用作差法判斷③④，進而確定選項.【詳解】對于①②，，則，但是，，故①②錯誤；對于③，因為不全為0，則a2+b2?ab=a?對于④，，則，故④正確.故選：C.6.【答案】B【分析】由排除兩個選項，再由時，排除一個選項后可得正確選項．【詳解】∵，所以，故排除C，D，當(dāng)時，恒成立，排除A，故選：B．7.【答案】C【分析】首先解出絕對值不等式，再根據(jù)充分不必要條件得到集合的包含關(guān)系，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】由，即，解得，因為“”是“”充分不必要條件，所以真包含于，所以（等號不能同時取得），解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C8.【答案】ACD【分析】由不等式及其解集得出，然后結(jié)合二次函數(shù)的大致圖象及直線可得關(guān)于的性質(zhì)．【詳解】根據(jù)不等式的解集得，原不等式化為，作出函數(shù)的大致圖象，及直線，如圖，函數(shù)圖象的對稱軸是，由圖象知：，即，A正確；，B錯；，即x1?x2，即，D正確．故選：ACD．9.【答案】B【分析】分、、三種情況討論，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，進而可求得實數(shù)的取值.【詳解】當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有一個實根，不合乎題意；當(dāng)時，，如下圖所示：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由題意可得，解得；若，則，如下圖所示：函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得，此時無解.綜上所述，.故選：B.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.10.【答案】B【分析】對于①③，直接根據(jù)定義計算，即可判定；對于②，通過定義計算得到必為偶數(shù)，討論和，兩種情況下的求解，即可判定；對于④，通過舉例{物理，地理，歷史}，即可判定.【詳解】對于①中，由，所以，所以，又由{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，所以①正確；對于②，由，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時，，不符合，所以且，此時情況較多，比如：{物理，地理，生物}，所以②錯誤；對于③中，若{思想政治，物理，生物}，則，所以，所以③正確；對于④中，當(dāng){物理，地理，歷史}時，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，所以④錯誤.故選：B.第II卷（共60分）二?填空題（本大題共8小題，每小題4分，其32分）11.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】由已知，它在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，，又時，，時，，所以所求的值域為.故答案為：．12.【答案】【分析】根據(jù)題意，令，求得，再令，即可求得的值，得到答案.【詳解】因為函數(shù)，對于任意的正實數(shù)都滿足，令，可得，令，可得.故答案為：.13.【答案】【分析】當(dāng)x∈0,+∞時，可得，根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解.【詳解】當(dāng)x∈0,+∞時，可得因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且時，，可得，即當(dāng)x∈0,+∞時，故答案為：.14.【答案】【分析】利用一元二次方程根的分布知識求解．【詳解】由一元二次方程根的分布得，解得，故答案為：．15.【答案】【分析】由，得到，作出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解求出m的取值范圍.【詳解】解：有4個零點，方程有4個根，得到，則函數(shù)與直線有4個交點，作出函數(shù)的圖像如下：由圖像可知，當(dāng)，即時，函數(shù)與直線有4個交點.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.含參數(shù)的函數(shù)零點問題，要先分離參數(shù)，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成曲線的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解決零點問題.16.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，設(shè)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得到，進而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，關(guān)于的方程和的實根分別為，可得，則方程的解為，設(shè)函數(shù)又因為，可得，整理得，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.17.【答案】【分析】設(shè)李明獲得的利潤為萬元，求出關(guān)于的表達式，利用基本不等式可求得的最小值及其對應(yīng)的的值.【詳解】設(shè)李明獲得的利潤為萬元，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，因為，即當(dāng)時，等號成立.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.18.【答案】①.3②.【分析】①先計算，利用數(shù)形結(jié)合，畫出圖像，根據(jù)新定義，可得結(jié)果；②先計算，利用數(shù)形結(jié)合，畫出圖像，根據(jù)新定義，結(jié)合分類討論的方法，可得結(jié)果.【詳解】①當(dāng)時，，則，作出的圖像，如下圖：可知當(dāng)時，取到最大值，最大值；②由題意得：，∴，，又，可得的圖象如圖所示，∵，∴區(qū)間長度為2，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，∴的取值范圍為：.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)最值的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.三?解答題（本大題共2小題，共28分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）19.【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意，化簡不等式為，結(jié)合分式不等式的解法，分類討論，即可求解.【詳解】由不等式，可得，（1）若，即時，，解得，所以不等式的解集為；（2）若，即時，因為，解得或，不等式的解集為；（3）若，即時，不等式即為，當(dāng)時，可得，解得，不等式的解集為；當(dāng)時，可得，此時不等式的解集為；當(dāng)時，可得，解得，不等式的解集為，綜上可得，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.20.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可可證；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可得證；（3）根據(jù)題意，得到函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為對于任意實數(shù)恒成立，分和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】證明：由函數(shù)，可得其定義