高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.不存在，C.， D.，【答案】D【解析】全稱命題的否定是特稱命題命題“，”的否定是：，.故選：D.2.集合的真子集個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合的元素個數(shù)為，該集合的真子集個數(shù)為.故選：C.3.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為等價于，解得：，即：，所以不等式的解集為.故選：C.4.若，，則下列式子一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A：，對；B：，錯；C、D：由對數(shù)的運算性質(zhì)有、，錯.故選：A.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以為偶函數(shù)，故排除C，D；因為在均為增函數(shù)，且函數(shù)值均為正，所以在上單調(diào)遞增.故選：B．6.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù) B.方程的實數(shù)根為C.在上為增函數(shù) D.的值域為【答案】B【解析】設(shè)，代入點可得，所以，所以，因為，所以，即函數(shù)的定義域為，對于A：因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是為偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B：令，所以，解得，故B正確；對于C，因為，因為，所以在上為減函數(shù)，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以，的值域為，故D錯誤.故選：B.7.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，所以.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上的動點、同時從點出發(fā)，點按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度.若兩點相遇時的坐標(biāo)是，則此時它們可能是第（）次相遇.A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】由題設(shè)，兩點相遇時的坐標(biāo)是，則分別最少旋轉(zhuǎn)了、，經(jīng)過秒相遇，有，且，則，所以，要使相遇，則且，即，若，則，此時，A錯；若，則，此時，B對；若，則，此時，C錯；若，則，此時，D錯.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列三角函數(shù)值的符號為負的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A.角的終邊在第四象限，所以，故A正確；B.的角的終邊在第二象限，所以，故B錯誤；C.弧度的角的終邊在第二象限，所以，故C正確；D.的角的終邊在第三象限，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知實數(shù)滿足且，則下列說法正確的有（）A.若，則對任意實數(shù)， B.若，則C.的最小值是 D.的最小值是【答案】BCD【解析】A：當(dāng)，此時，錯；B：由，則，即，對；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對；D：由，則，故，當(dāng)時，取得最小值，對.故選：BCD.11.已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點，且值域為，則下列說法正確的有（）A.B.C.若，則D.若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于選項A：因為函數(shù)過坐標(biāo)原點，所以，即.因為函數(shù)的值域為，即在處取得最大值，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)x趨于無窮大時，趨于0，趨于，即，即，故A正確；對于選項B：因為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，，，故C正確；對于選項D：令，，當(dāng)時，取最小值，當(dāng)或時，值為0，所以方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：__.【答案】3；【解析】.13.已知函數(shù)滿足下列三個條件：①對任意，；②對任意，；③的值域為，則______.（寫出滿足要求的一個函數(shù)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】條件①說明函數(shù)的周期為，條件②說明函數(shù)關(guān)于對稱，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可知，滿足條件的函數(shù)為（答案不唯一）.14.已知函數(shù)，若對任意，，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增，且過點，在上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合解析式，其大致圖象如下圖，隨變化，的圖象只在軸上平移，令過且平行于的直線為，則，所以，故，聯(lián)立與，消去y得，所以或，對任意，都有成立，由圖知，在上不單調(diào)，必有，需保證，時有，所以，，整理得，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），當(dāng)，，所以，.（2）因為“”是“”的必要條件，所以，所以，解得.16.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的正半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第四象限內(nèi)的點.（1）若，求的值；（2）若，求的值及點的坐標(biāo).解：（1）因為角與單位圓交于第四象限內(nèi)的點，所以，，，，，由，得，，法1：，法2：，.（2）法1：，因為，①所以兩邊平方得，即，所以，由角終邊位于第四象限，得，，所以，②由①②解得：，，所以點P的坐標(biāo)為.法2：由角終邊位于第四象限，得，，因為，①且，②所以由①②解得：，，所以，點P的坐標(biāo)為.17.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.（1）求實數(shù)m的值；（2）判定的單調(diào)性并證明；（3）若實數(shù)滿足，求的取值范圍.解：（1）因為在上的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，所以，即，檢驗如下，此時，所以，故是奇函數(shù)，滿足要求.所以.（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：任取且，則，因為，所以，又，，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3）法1：因為，所以可化為，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，解得.法2：在中，令，則，即，即，所以，即，所以，解得.18.已知用“五點法”畫函數(shù)在一個周期上的圖象時，列表如下：（1）求的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有點向右平移個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.①求在上的單調(diào)增區(qū)間；②若關(guān)于的方程在上有四個不相等的實數(shù)根，求的值.解：（1）由題意得，，所以.所以.因為，所以，即，因為，所以.所以.（2）①將圖象上所有點向右平移個單位長度后得到的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，所以，令，得，又，所以在上的增區(qū)間為.②令，因為，所以.由得，即.因為方程在上有四個不相等的實數(shù)根，所以方程在上有四個不相等的實數(shù)根，所以，且，，所以，，所以，所以.19.已知兩個函數(shù)，，，若對任意的，存在唯一的，使得成立，則稱為的“友好函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)，是否為，的“友好函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)，是，的“友好函數(shù)”，求的最小值；（3）已知函數(shù)，，，，若是的“友好函數(shù)”，且也是的“友好函數(shù)”，求實數(shù)的值及的最大值.解：（1），不是，的“友好函數(shù)”，理由如下：取，因為，所以不存在，使得，所以，不是，的“友好函數(shù)”.（2）由題意，對任意，存在唯一使成立，即，所以函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集.因為，，所以，其值域為，而在上單調(diào)遞增，故值域為，從而，即，所以.（3）當(dāng)是的“友好函數(shù)”時，由題意，對任意的，存在唯一的，使成立，即，則的值域是值域的子集.當(dāng)是的“友好函數(shù)”時，由題意，對任意的，存在唯一的使成立，即，則的值域是值域的子集.所以的值域與值域相同（且值域中的數(shù)值一一對應(yīng)）.當(dāng)是的“友好函數(shù)”時，因為，若存在使得，則不存在，使得，所以當(dāng)時，，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，①當(dāng)時，，不符合要求；②當(dāng)時，，，因為，所以，不符合要求；③當(dāng)時，，，若，則在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞增，故，從而時，，因為的值域與值域相同，所以，即，所以，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，最大值為1.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時值域與值域中的數(shù)值不可能一一對應(yīng)，不符合要求.綜上：，的最大值為1.江蘇省揚州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.不存在，C.， D.，【答案】D【解析】全稱命題的否定是特稱命題命題“，”的否定是：，.故選：D.2.集合的真子集個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合的元素個數(shù)為，該集合的真子集個數(shù)為.故選：C.3.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為等價于，解得：，即：，所以不等式的解集為.故選：C.4.若，，則下列式子一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A：，對；B：，錯；C、D：由對數(shù)的運算性質(zhì)有、，錯.故選：A.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以為偶函數(shù)，故排除C，D；因為在均為增函數(shù)，且函數(shù)值均為正，所以在上單調(diào)遞增.故選：B．6.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù) B.方程的實數(shù)根為C.在上為增函數(shù) D.的值域為【答案】B【解析】設(shè)，代入點可得，所以，所以，因為，所以，即函數(shù)的定義域為，對于A：因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是為偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B：令，所以，解得，故B正確；對于C，因為，因為，所以在上為減函數(shù)，故C錯誤；對于D：因為，所以，所以，的值域為，故D錯誤.故選：B.7.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，，所以.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，單位圓上的動點、同時從點出發(fā)，點按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度.若兩點相遇時的坐標(biāo)是，則此時它們可能是第（）次相遇.A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】由題設(shè)，兩點相遇時的坐標(biāo)是，則分別最少旋轉(zhuǎn)了、，經(jīng)過秒相遇，有，且，則，所以，要使相遇，則且，即，若，則，此時，A錯；若，則，此時，B對；若，則，此時，C錯；若，則，此時，D錯.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列三角函數(shù)值的符號為負的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A.角的終邊在第四象限，所以，故A正確；B.的角的終邊在第二象限，所以，故B錯誤；C.弧度的角的終邊在第二象限，所以，故C正確；D.的角的終邊在第三象限，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知實數(shù)滿足且，則下列說法正確的有（）A.若，則對任意實數(shù)， B.若，則C.的最小值是 D.的最小值是【答案】BCD【解析】A：當(dāng)，此時，錯；B：由，則，即，對；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，對；D：由，則，故，當(dāng)時，取得最小值，對.故選：BCD.11.已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點，且值域為，則下列說法正確的有（）A.B.C.若，則D.若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于選項A：因為函數(shù)過坐標(biāo)原點，所以，即.因為函數(shù)的值域為，即在處取得最大值，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)x趨于無窮大時，趨于0，趨于，即，即，故A正確；對于選項B：因為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，，，故C正確；對于選項D：令，，當(dāng)時，取最小值，當(dāng)或時，值為0，所以方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：__.【答案】3；【解析】.13.已知函數(shù)滿足下列三個條件：①對任意，；②對任意，；③的值域為，則______.（寫出滿足要求的一個函數(shù)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】條件①說明函數(shù)的周期為，條件②說明函數(shù)關(guān)于對稱，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可知，滿足條件的函數(shù)為（答案不唯一）.14.已知函數(shù)，若對任意，，不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增，且過點，在上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合解析式，其大致圖象如下圖，隨變化，的圖象只在軸上平移，令過且平行于的直線為，則，所以，故，聯(lián)立與，消去y得，所以或，對任意，都有成立，由圖知，在上不單調(diào)，必有，需保證，時有，所以，，整理得，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），當(dāng)，，所以，.（2）因為“”是“”的必要條件，所以，所以，解得.16.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的正半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第四象限內(nèi)的點.（1）若，求的值；（2）若，求的值及點的坐標(biāo).解：（1）因為角與單位圓交于第四象限內(nèi)的點，所以，，，，，由，得，，法1：，法2：，.（2）法1：，因為，①所以兩邊平方得，即，所以，由角終邊位于第四象限，得，，所以，②由①②解得：，，所以點P的坐標(biāo)為.法2：由角終邊位于第四象限，得，，因為，①且，②所以由①②解得：，，所以，點P的坐標(biāo)為.17.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.（1）求實數(shù)m的值；（2）判定的單調(diào)性并證明；（3）若實數(shù)滿足，求的取值范圍.解：（1）因為在上的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，所以，即，檢驗如下，此時，所以，故是奇函數(shù)，滿足要求.所以.（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：任取且，則，因為，所以，又，，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3）法1：因為，所以可化為，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，解得.法2：在中，令，則，即，即，所以，即，所以，解得.18.已知用“五點法”畫函數(shù)在一個周期上的圖象時，列表如下：（1）求的解析式；（2）將函數(shù)圖象上所有點向右平移個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.①求在上的單調(diào)增區(qū)間；②若關(guān)于的方程在上有四個不相等的實數(shù)根，求的值.解：（1）由題意得，，所以.所以.因為，所以，即，因為，所以.所以.（2）①將圖象上所有點向右平移個單位長度后得到的圖象，再將圖象上每個點的橫坐