高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市十校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C2.已知，且，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，所以，C正確；對于D，，D錯誤.故選：C3.的展開式中的系數(shù)為（）A.40 B.80 C. D.【答案】A【解析】，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A4.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理可得：存在唯一的，使得.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，可得，則，二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，則.當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，因此，.故選：A.6.如圖，已知圖形，內(nèi)部連有線段．圖中矩形總計有（）個．A.75 B.111 C.102 D.120【答案】C【解析】由題意，要組成矩形應(yīng)從豎線中選兩條、橫線中選兩條，可分兩種情況：當(dāng)矩形的邊不在上時，共有個，當(dāng)矩形的邊在上時，共有個，所以圖中矩形總計有個.故選：C.7.已知函數(shù)，對，當(dāng)時，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，，則.由題意可知，在上單調(diào)遞增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需滿足即可.令，則.由可得，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，.故選：A.8.已知實(shí)數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)樗?，所以，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.現(xiàn)有帶有編號1、2、3、4、5的五個球及四個不同的盒子，則下列表述正確的有（）A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B.全部投入2個不同的盒子里，每盒至少一個，共有種放法C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【解析】對于A，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，共有種放法，故A正確；對于B，帶有編號1、2、3、4、5的五個球全部投入2個不同的盒子里，第一步選2個盒子有種選法，第二步將5個球分為兩組，若兩組球個數(shù)之比為1：4有種分法；若兩組球個數(shù)之比為2：3有種分法，第三步將兩組排給兩個盒子有種排法，因此共有，故B不正確；對于C，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），第一步選4個球有種選法，第二步選一個盒子有種選法，共有種放法，故C正確；對于D，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，第一步將5球分成2：1：1：1的四組共有種分法，第二步分給四個盒子有種排法，故共有種放法，故D正確；故選：ACD.10.已知，下列說法中正確的是（）A.函數(shù)在恰有一個極值點(diǎn)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.，D.是函數(shù)的圖象上一動點(diǎn)，是直線上一動點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】，定義域?yàn)?，，顯然在上單調(diào)遞增，且，又，即，所以，所以存，使得，即，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；對于A，函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故A錯誤；對于B，由上述分析可知正確；對于C，，由，易知當(dāng)，取得最小值，所以，故C正確；對于D，設(shè)與直線平行的直線l，l與函數(shù)f(x)的圖像切于點(diǎn)，所以，即，解得，所以切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離即為的最小值，所以，故D正確．故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的一個周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)D.函數(shù)的最大值為1【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)閷τ贏，因?yàn)?，所以，所以不是的一個周期，故A錯誤；對于B，因?yàn)闀r，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因?yàn)闀r，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞減，且，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)，且，所以在為周期函數(shù)，同理在也為周期函數(shù).由BC得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞減，當(dāng)時，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞增，綜上所訴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，且當(dāng)時，函數(shù)在周期內(nèi)，都有，故函數(shù)的最大值為，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的二項(xiàng)展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.【答案】112【解析】的二項(xiàng)展開式的中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，通項(xiàng)公式為，令，求得，可得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)等于，故答案為112．13.為研究方程正整數(shù)解的不同組數(shù)，我們可以用“擋板法”：取8個相同的小球排成一排，這8個小球間有7個“空擋”，在這7個“空擋”中選擇2個“空擋”，在每個“空擋”插入1塊擋板，2塊擋板將這8個小球分成“三段”，每段小球的個數(shù)分別對應(yīng)，，的一個正整數(shù)解，由此可以得出此方程正整數(shù)解的不同組數(shù)為．據(jù)此原理，則方程的正整數(shù)解的不同組數(shù)為_________（用數(shù)字作答）；該方程自然數(shù)解的不同組數(shù)為_________（用數(shù)字作答）．【答案】84；286【解析】由題意，則方程的正整數(shù)解的不同組數(shù)為，若中沒有，則有種，若中有個為，則有種，若中有個為，則有種，若中有個為，則有種，該方程自然數(shù)解的不同組數(shù)為．故答案為：84；286．14.若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為__________．【答案】【解析】由，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，所以，切線為，即，由，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，所以，切線為，即，根據(jù)題設(shè)，若它們切線為公切線，則有，即，又，即且，即，由上關(guān)系式并消去并整理得在上有解，令，則，當(dāng)，則，即，此時遞增；當(dāng)，則或，即或，此時遞減；又，，所以，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？（2）由這個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)由多少個？（3）某旅行社有導(dǎo)游人，其中人只會英語，人只會日語，其余人既會英語，也會日語，現(xiàn)從中選人，其中人進(jìn)行英語導(dǎo)游，另外人進(jìn)行日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？解：（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有和兩類分配方式為時，共有：種分法分配方式為時，共有：種分法由分類加法計數(shù)原理可得，共有：種分法（2）若個位是，共有：個若個位不，共有：個由分類加法計數(shù)原理可得，共有：個（3）若只會英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法若只會英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法若只會英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法由分類加法計數(shù)原理可得，共有：種選法16.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，其中，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1），，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，從而，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2），若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，必要性：則在上有兩個零點(diǎn)，即在上有兩個零點(diǎn)，由（1）可知，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時，都有，所以，充分性：當(dāng)時，或，且當(dāng)，時，均有，即此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，有，即此時單調(diào)遞減，即函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，令，由此可知充分性成立；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）在（2）的條件下，有，所以，所以，等價于，令，則，令，則，當(dāng)時，，即，所以即單調(diào)遞減，從而，所以單調(diào)遞減，從而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)，且，（1）求的值；（2）求的最大值；（3）求被6整除的余數(shù)．解：（1）的通項(xiàng)公式為且，所以的系數(shù)為，解得，從而，等式兩邊對x求導(dǎo)得．令得．（2）由（1）可知的通項(xiàng)公式為，∴，設(shè)為中的最大值，則即即，解得；又，因此．∴．（3）由（1）可知，，顯然能被6整除，所以被6整除的余數(shù)是．18.已知，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與垂直，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范圍．解：（1），，則，又∵，又∵切線與垂直，∴，即；（2）原式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以h(x)在上單調(diào)遞增，且，，所以h(x)有唯一零點(diǎn)，且，即．兩邊同時取對數(shù)得易知是增函數(shù)，所以，即，由知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴，故的取值范圍是．19.已知函數(shù)，.（1）求最小值；（2）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖像與的圖像有，兩個不同的交點(diǎn)，證明：.解：（1）.令，得，所以在上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.所以的最小值為.（2），定義域?yàn)椋?dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)通減.當(dāng)時.令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.（3），因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象有兩個不同的交點(diǎn).所以關(guān)于的方程，即有兩個不同的根.由題知①，②，①②得③，②①得④.由③，④得，不妨設(shè)，記.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.則，即，所以.因?yàn)?，所以，?令，則在上單調(diào)遞增.又，所以，即，所以.兩邊同時取對數(shù)可得，得證.河南省鄭州市十校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C2.已知，且，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，所以，C正確；對于D，，D錯誤.故選：C3.的展開式中的系數(shù)為（）A.40 B.80 C. D.【答案】A【解析】，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A4.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理可得：存在唯一的，使得.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，可得，則，二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，則.當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，因此，.故選：A.6.如圖，已知圖形，內(nèi)部連有線段．圖中矩形總計有（）個．A.75 B.111 C.102 D.120【答案】C【解析】由題意，要組成矩形應(yīng)從豎線中選兩條、橫線中選兩條，可分兩種情況：當(dāng)矩形的邊不在上時，共有個，當(dāng)矩形的邊在上時，共有個，所以圖中矩形總計有個.故選：C.7.已知函數(shù)，對，當(dāng)時，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，，則.由題意可知，在上單調(diào)遞增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需滿足即可.令，則.由可得，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，.故選：A.8.已知實(shí)數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)樗?，所以，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.現(xiàn)有帶有編號1、2、3、4、5的五個球及四個不同的盒子，則下列表述正確的有（）A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B.全部投入2個不同的盒子里，每盒至少一個，共有種放法C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【解析】對于A，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，共有種放法，故A正確；對于B，帶有編號1、2、3、4、5的五個球全部投入2個不同的盒子里，第一步選2個盒子有種選法，第二步將5個球分為兩組，若兩組球個數(shù)之比為1：4有種分法；若兩組球個數(shù)之比為2：3有種分法，第三步將兩組排給兩個盒子有種排法，因此共有，故B不正確；對于C，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），第一步選4個球有種選法，第二步選一個盒子有種選法，共有種放法，故C正確；對于D，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，第一步將5球分成2：1：1：1的四組共有種分法，第二步分給四個盒子有種排法，故共有種放法，故D正確；故選：ACD.10.已知，下列說法中正確的是（）A.函數(shù)在恰有一個極值點(diǎn)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.，D.是函數(shù)的圖象上一動點(diǎn)，是直線上一動點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】，定義域?yàn)?，，顯然在上單調(diào)遞增，且，又，即，所以，所以存，使得，即，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；對于A，函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故A錯誤；對于B，由上述分析可知正確；對于C，，由，易知當(dāng)，取得最小值，所以，故C正確；對于D，設(shè)與直線平行的直線l，l與函數(shù)f(x)的圖像切于點(diǎn)，所以，即，解得，所以切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離即為的最小值，所以，故D正確．故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的一個周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)D.函數(shù)的最大值為1【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)閷τ贏，因?yàn)椋?，所以不是的一個周期，故A錯誤；對于B，因?yàn)闀r，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因?yàn)闀r，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞減，且，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)，且，所以在為周期函數(shù)，同理在也為周期函數(shù).由BC得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當(dāng)時，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞減，當(dāng)時，所以，所以，且，所以，所以，故在單調(diào)遞增，綜上所訴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，且當(dāng)時，函數(shù)在周期內(nèi)，都有，故函數(shù)的最大值為，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的二項(xiàng)展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.【答案】112【解析】的二項(xiàng)展開式的中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，通項(xiàng)公式為，令，求得，可得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)等于，故答案為112．13.為研究方程正整數(shù)解的不同組數(shù)，我們可以用“擋板法”：取8個相同的小球排成一排，這8個小球間有7個“空擋”，在這7個“空擋”中選擇2個“空擋”，在每個“空擋”插入1塊擋板，2塊擋板將這8個小球分成“三段”，每段小球的個數(shù)分別對應(yīng)，，的一個正整數(shù)解，由此可以得出此方程正整數(shù)解的不同組數(shù)為．據(jù)此原理，則方程的正整數(shù)解的不同組數(shù)為_________（用數(shù)字作答）；該方程自然數(shù)解的不同組數(shù)為_________（用數(shù)字作答）．【答案】84；286【解析】由題意，則方程的正整數(shù)解的不同組數(shù)為，若中沒有，則有種，若中有個為，則有種，若中有個為，則有種，若中有個為，則有種，該方程自然數(shù)解的不同組數(shù)為．故答案為：84；286．14.若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為__________．【答案】【解析】由，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，所以，切線為，即，由，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，所以，切線為，即，根據(jù)題設(shè)，若它們切線為公切線，則有，即，又，即且，即，由上關(guān)系式并消去并整理得在上有解，令，則，當(dāng)，則，即，此時遞增；當(dāng)，則或，即或，此時遞減；又，，所以，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？（2）由這個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)由多少個？（3）某旅行社有導(dǎo)游人，其中人只會英語，人只會日語，其余人既會英語，也會日語，現(xiàn)從中選人，其中人進(jìn)行英語導(dǎo)游，另外人進(jìn)行日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？解：（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有和兩類分配方式為時，共有：種分法分配方式為時，共有：種分法由分類加法計數(shù)原理可得，共有：種分法（2）若個位是，共有：個若個位不，共有：個由分類加法計數(shù)原理可得，共有：個（3）若只會英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法若只會英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法若只會英語的人中選了人作英語導(dǎo)游，共有：種選法由分類加法計數(shù)原理可得，共有：種選法16.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，其中，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1），，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，從而，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2），若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，必要性：則在上有兩個零點(diǎn)，即在上