專(zhuān)題四三角函數(shù)與解三角形4.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式考點(diǎn)三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1.(2024全國(guó)甲理,8,5分,中)已知cosαcosα-sinα=3,A.23+1 B.23-1 C.32 D.1-8B∵cosαcosα-sinα=3,∴cosα-sinαcosα=33,∴1-tanα=33,∴tanα=1-2.(2022全國(guó)甲理,8,5分)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作,其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖,AB是以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓弧,C是AB的中點(diǎn),D在AB上,CD⊥AB.“會(huì)圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式:s=AB+CD2OA.當(dāng)OA=2,∠AOB=60°時(shí),s=(A.11?3答案B連接OC,如圖.∵C是AB的中點(diǎn),OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三點(diǎn)共線(xiàn).∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=3,CD=2-3,∴s=2+(2?3)223.(2019北京文,8,5分)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),P為圓周上的動(dòng)點(diǎn),∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為()A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ答案B本題主要考查扇形面積、三角形面積公式及應(yīng)用;主要考查學(xué)生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.由圓的性質(zhì)易知,當(dāng)|PA|=|PB|時(shí),陰影部分的面積最大,其面積為△PAB的面積與弓形的面積之和.作PD⊥AB于D點(diǎn),由∠APB=β,知∠DOB=β(O為圓心).所以|OD|=2cosβ,|PD|=2+2cosβ,|AB|=4sinβ.所以S△PAB=12·|AB|·|PD|=4sinβ(1+cosβ).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=12·2β·22-12·4sinβ·2cosβ=4β-4sincosβ.故陰影部分的面積為S△PAB+S弓形=4sinβ+4sinβcosβ+4β-4sinβcosβ=4β+4sinβ.故選B.思路分析本題陰影部分由一個(gè)三角形與一個(gè)弓形構(gòu)成,當(dāng)β確定時(shí),弓形面積是確定的,故三角形面積最大時(shí),陰影部分面積最大.4.(2014課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)若tanα>0,則()A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0答案C由tanα>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,則A,B錯(cuò);由sin2α=2sinαcosα知sin2α>0,C正確;α取π3時(shí),cos2α=2cos2α-1=2×122-1=-12<0,D評(píng)析本題考查三角函數(shù)值的符號(hào),判定時(shí)可運(yùn)用基本知識(shí)、恒等變形及特殊值等多種方法,具有一定的靈活性.5.(2014大綱全國(guó)文,2,5分)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,3),則cosα=()A.45B.35C.-3答案D由三角函數(shù)的定義知cosα=?4(?4)6.(2015福建文,6,5分)若sinα=-513,且α為第四象限角,則tanα的值等于A.125B.-125C.5答案D∵sinα=-513,α為第四象限角∴cosα=1?sin2α=1213,∴tanα=7.(2014大綱全國(guó)理,3,5分)設(shè)a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,則()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.又∵c=tan35°=sin35°cos35°>sin35°=cos8.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=102,則tanA.43B.34C.-3答案C(sinα+2cosα)2=52,展開(kāi)得3cos2α+4sinαcosα=32,再由二倍角公式得32cos2α+2sin2α=0,故tan2α=sin2αcos2α=-評(píng)析本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角恒等變換,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力和運(yùn)算求解能力.三角函數(shù)求值問(wèn)題關(guān)鍵在于觀察角與角之間的關(guān)系和三角函數(shù)名之間的關(guān)系.9.(2013大綱全國(guó)文,2,5分)已知α是第二象限角,sinα=513,則cosA.-1213B.-513C.5答案A∵α是第二象限角,∴cosα<0.∴cosα=-1?sin2α評(píng)析本題考查三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),同角三角函數(shù)關(guān)系,屬容易題.10.(2013廣東文,4,5分)已知sin5π2+α=15A.-25B.-15C.1答案C∵sin5π2+α=sinπ2+α=cos11.(2023全國(guó)乙文，14）若，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)椋瑒t，且，解得或（舍去），所以.12.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若sinα=13,則sinβ=答案1解析本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sinα=13,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=113.(2016四川文,11,5分)sin750°=.

答案1解析sin750°=sin(720°+30°)=sin30°=12解后反思利用誘導(dǎo)公式把大角化為小角.評(píng)析本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.14.(2013課標(biāo)Ⅱ理,15,5分)設(shè)θ為第二象限角,若tanθ+π4=12,則sinθ+cos答案-10解析tanθ=tanθ+π4?π∴sinθ=-13cosθ,將其代入sin2θ+cos2θ=1得109cos2θ=1,∴cos2θ=910,又易知cosθ<0,∴cosθ=-31010,∴sinθ=1010,故sin15.(2023北京,13,5分)已知命題p:若α,β為第一象限角,且α>β,則