2023-2024學(xué)年云南省紅河州高二下學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
2023-2024學(xué)年云南省紅河州高二下學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題(解析版)_第2頁
2023-2024學(xué)年云南省紅河州高二下學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題(解析版)_第3頁
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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省紅河州2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚,并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號,回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】集合,,故.故選:C2.已知直線l:與圓C:有公共點,則實數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】A【解析】圓C:,知,圓心到直線的距離為:,解得:.故選:A3.為全面普及無人機知識,激發(fā)青少年探索航空未來創(chuàng)造力與想象力,提升青少年科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力,培養(yǎng)航空后備人才.中國航空學(xué)會、云南省科學(xué)技術(shù)協(xié)會、云南警官學(xué)院于2024年4月中句在紅河州彌勒市共同舉辦第8屆全國青少年無人機大賽(云南省賽).某校為下一屆大賽做準(zhǔn)備,在校內(nèi)進行選拔賽,9名學(xué)生成績依次為:85,105,75,100,95,85,90,100,80.則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為()A.85 B.90 C.92.5 D.95【答案】D【解析】9名學(xué)生成績從低到高依次為:75,80,85,85,90,95,100,100,105.且,故第60百分位數(shù)為:95.故選:D4.已知函數(shù)對任意的都有成立,當(dāng)時,,則()A. B. C. D.2【答案】A【解析】由,得可知周期為,所以,又當(dāng)時,,所以故選:A5.若函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】因為,所以,所以,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,故選:C6.東平房塔(如圖)建于遼代,塔平面呈正六邊形,是遼西古塔中僅有的兩座遼代六邊形古塔之一.請根據(jù)塔平面抽象出正六邊形ABCDEF,若,則()A.6 B. C.8 D.12【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則,故.故選:D7.已知橢圓C:,的右焦點為,過F的直線與橢圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為,則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)則,兩式作差得:,線段AB的中點為,故,所以,且直線AB過和,則直線AB的斜率:,故,解得.故選:B8.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金,售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中,取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5g的砝碼放在天平右盤中,再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是()A.小于10g B.等于10gC.大于10g D.大于或等于10g【答案】C【解析】由于天平兩臂不等長,可設(shè)天平左臂長為,右臂長為,則,再設(shè)先稱得黃金為,后稱得黃金為,則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,但,等號不成立,即.因此,顧客購得的黃金大于.故選:C二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題自要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分,有選錯的得0分.9.以下說法正確的是()A.若,,則B.隨機變量,,若,則C.若,,,則D.,且,則【答案】BCD【解析】對于A,若,則解得,故A錯誤;對于B,隨機變量,,若,則,故B正確;對于C,若,則,則,故C正確;對于D,,且,則,故D正確.故選:BCD10.記正項數(shù)列的前n項和為,已知,則()A. B.C. D.數(shù)列的前n項和小于1【答案】AD【解析】對于B:∵,①∴當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,,②由①②得,化為,∵有,∴.數(shù)列是以首項為1,公差為1的等差數(shù)列.∴.∴,故B錯誤;對于AC:,,故A正確,C錯誤;對于D:,數(shù)列的前n項和為,故D正確;故選:AD11.如圖1,在菱形中,,.沿對角線將其翻折,如圖2.則()A.在折疊過程中直線與所成角不變B.當(dāng)點在平面的投影為的重心時,C.三棱錐的表面積最大值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時,其外接球半徑為【答案】ABD【解析】對于A,如圖①所示,取中點,連接,因為四邊形為菱形,,所以,且為等邊三角形,因為為中點,所以,因為平面,平面,所以平面,因為平面,所以,故A正確;對于B,如圖②所示,設(shè)的重心為,因為點在平面的投影為的重心,所以平面,因為為等邊三角形,所以重心在上,且,所以在中,,在中,,故B正確;對于C,因為全等,所以三棱錐的表面積為,因為,所以當(dāng)時,,故C錯誤;對于D,因為當(dāng)三棱錐的體積最大,如圖①所示,所以平面平面,又因為,平面平面,所以平面,故三棱錐高最大為所以,如圖③所示,設(shè)三棱錐外接球球心為,且為的重心,過作平面,過作平面,連接,因為,平面,所以平面,所以,因為平面,平面,所以,所以四邊形為矩形,即因為點為三棱錐的外接球的球心,到四點距離相等,設(shè),外接球半徑為,則,在中,,在中,,解得,所以外接球的半徑,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.設(shè)z為虛數(shù),,則z可以為____________.(寫出滿足條件的一個解即可)【答案】(答案不唯一,)【解析】設(shè)虛數(shù),由,得,于是,取,可得.故答案為:13.已知函數(shù),分別是定義在上的奇函數(shù),偶函數(shù),且,則____________.【答案】【解析】函數(shù),分別是定義在上的奇函數(shù),偶函數(shù),故,所以,故.故答案為:14.已知直線l:與拋物線C:交于A,B兩點,如圖,點P為拋物線C上的動點,且位于直線AB的下方,則△ABP面積的最大值為____________.【答案】【解析】當(dāng)拋物線過點的切線與直線平行時,的面積最大,設(shè)點,由得:,,所以切線的斜率:,解得:,所以,所以,點到直線距離,由,消去,得:,設(shè),,則,,所以,所以的面積的最大值為:.故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,的面積為,求的周長.解:(1)由正弦定理有,,可得,即,,,則,,故;(2),,則,可得,結(jié)合,由余弦定理,有,,可得,則的周長為.16.如圖,在四棱臺中,底面ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCD,,,P為AB的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面夾角的大小.解:(1)底面ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCD,故,,兩兩垂直.以為原點,分別為軸,軸,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,在四棱臺中,,,P為AB的中點,故,則,所以,即,且平面,平面,故平面.(2)由(1)知,,,設(shè)平面的法向量為則令,解得設(shè)平面的法向量為則令,解得故故平面與平面的夾角為.17.已知函數(shù),().(1)當(dāng)時,求出方程解的個數(shù);(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.解:(1)當(dāng)時,,即,設(shè),則,且定義域,故在時,恒成立,在上單調(diào)遞增,在時,恒成立,在上單調(diào)遞減,所以,故只有一個解,即方程只有一個解.(2)函數(shù)定義域為,由題意,當(dāng)時,在時,恒成立,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,的解為,的解為,在上遞增,在上遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上遞增,在上遞減.18.為提高學(xué)生的身體素質(zhì),除了進行體育鍛煉之外,學(xué)校每天中午免費為學(xué)生提供水果和牛奶兩種營養(yǎng)餐(每人每次只能選擇其中一種),經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn):學(xué)生第一天選擇水果的概率為,選擇牛奶的概率為.而前一天選擇水果第二天選擇水果的概率為,選擇牛奶的概率為;前一天選擇牛奶第二天選擇水果的概率為,選擇牛奶的概率也是,如此往復(fù).記某同學(xué)第n天選擇水果的概率為.(1)記某班的2名同學(xué)在發(fā)放營養(yǎng)餐開始第二天選擇水果的人數(shù)為X,求X的分布列和期望;(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(3)為了培養(yǎng)學(xué)生的服務(wù)意識,30天后學(xué)校組織學(xué)生參加志愿服務(wù)活動,其中有15位學(xué)生負責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)營養(yǎng)餐,應(yīng)該如何安排分發(fā)水果和牛奶的人數(shù).解:(1)依題意,第二天選擇水果的概率為,第二天選擇牛奶的概率為,第二天選擇水果的人數(shù)X的可能值為,,所以X的分布列為:012期望為.(2)依題意,,由,而,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,,數(shù)列的通項公式為.(3)由(2)知,,當(dāng)時,非常小,趨近于0,,,即30天后學(xué)校每天選擇水果的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,所以15位學(xué)生負責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)營養(yǎng)餐,分發(fā)水果和牛奶人數(shù)分別為.19.已知點,在雙曲線(,)上,直線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)且時,直線與雙曲線分別交于,兩點,關(guān)于軸的對稱點為.證明:直線過定點;(3)當(dāng)時,直線與雙曲線有唯一的公共點,過點且與垂直的直線分別交軸,軸于,兩點.當(dāng)點運動時,求點的軌跡方程.解:(1)由點,在雙曲線,即,解得,所以雙曲線方程為;(2)由已知,設(shè),,聯(lián)立直線與雙曲線,得,則,即,且,,,又點與關(guān)于軸的對稱,則,所以,即,即,恒過定點;(3)由已知直線,,且,聯(lián)立直線與雙曲線,可得,則,,即,,所以,,代入直線可得,即,所以直線,即,所以,,即,可得.云南省紅河州2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚,并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號,回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】集合,,故.故選:C2.已知直線l:與圓C:有公共點,則實數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】A【解析】圓C:,知,圓心到直線的距離為:,解得:.故選:A3.為全面普及無人機知識,激發(fā)青少年探索航空未來創(chuàng)造力與想象力,提升青少年科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力,培養(yǎng)航空后備人才.中國航空學(xué)會、云南省科學(xué)技術(shù)協(xié)會、云南警官學(xué)院于2024年4月中句在紅河州彌勒市共同舉辦第8屆全國青少年無人機大賽(云南省賽).某校為下一屆大賽做準(zhǔn)備,在校內(nèi)進行選拔賽,9名學(xué)生成績依次為:85,105,75,100,95,85,90,100,80.則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為()A.85 B.90 C.92.5 D.95【答案】D【解析】9名學(xué)生成績從低到高依次為:75,80,85,85,90,95,100,100,105.且,故第60百分位數(shù)為:95.故選:D4.已知函數(shù)對任意的都有成立,當(dāng)時,,則()A. B. C. D.2【答案】A【解析】由,得可知周期為,所以,又當(dāng)時,,所以故選:A5.若函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】因為,所以,所以,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,故選:C6.東平房塔(如圖)建于遼代,塔平面呈正六邊形,是遼西古塔中僅有的兩座遼代六邊形古塔之一.請根據(jù)塔平面抽象出正六邊形ABCDEF,若,則()A.6 B. C.8 D.12【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則,故.故選:D7.已知橢圓C:,的右焦點為,過F的直線與橢圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為,則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)則,兩式作差得:,線段AB的中點為,故,所以,且直線AB過和,則直線AB的斜率:,故,解得.故選:B8.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金,售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中,取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5g的砝碼放在天平右盤中,再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是()A.小于10g B.等于10gC.大于10g D.大于或等于10g【答案】C【解析】由于天平兩臂不等長,可設(shè)天平左臂長為,右臂長為,則,再設(shè)先稱得黃金為,后稱得黃金為,則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,但,等號不成立,即.因此,顧客購得的黃金大于.故選:C二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題自要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分,有選錯的得0分.9.以下說法正確的是()A.若,,則B.隨機變量,,若,則C.若,,,則D.,且,則【答案】BCD【解析】對于A,若,則解得,故A錯誤;對于B,隨機變量,,若,則,故B正確;對于C,若,則,則,故C正確;對于D,,且,則,故D正確.故選:BCD10.記正項數(shù)列的前n項和為,已知,則()A. B.C. D.數(shù)列的前n項和小于1【答案】AD【解析】對于B:∵,①∴當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,,②由①②得,化為,∵有,∴.數(shù)列是以首項為1,公差為1的等差數(shù)列.∴.∴,故B錯誤;對于AC:,,故A正確,C錯誤;對于D:,數(shù)列的前n項和為,故D正確;故選:AD11.如圖1,在菱形中,,.沿對角線將其翻折,如圖2.則()A.在折疊過程中直線與所成角不變B.當(dāng)點在平面的投影為的重心時,C.三棱錐的表面積最大值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時,其外接球半徑為【答案】ABD【解析】對于A,如圖①所示,取中點,連接,因為四邊形為菱形,,所以,且為等邊三角形,因為為中點,所以,因為平面,平面,所以平面,因為平面,所以,故A正確;對于B,如圖②所示,設(shè)的重心為,因為點在平面的投影為的重心,所以平面,因為為等邊三角形,所以重心在上,且,所以在中,,在中,,故B正確;對于C,因為全等,所以三棱錐的表面積為,因為,所以當(dāng)時,,故C錯誤;對于D,因為當(dāng)三棱錐的體積最大,如圖①所示,所以平面平面,又因為,平面平面,所以平面,故三棱錐高最大為所以,如圖③所示,設(shè)三棱錐外接球球心為,且為的重心,過作平面,過作平面,連接,因為,平面,所以平面,所以,因為平面,平面,所以,所以四邊形為矩形,即因為點為三棱錐的外接球的球心,到四點距離相等,設(shè),外接球半徑為,則,在中,,在中,,解得,所以外接球的半徑,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.設(shè)z為虛數(shù),,則z可以為____________.(寫出滿足條件的一個解即可)【答案】(答案不唯一,)【解析】設(shè)虛數(shù),由,得,于是,取,可得.故答案為:13.已知函數(shù),分別是定義在上的奇函數(shù),偶函數(shù),且,則____________.【答案】【解析】函數(shù),分別是定義在上的奇函數(shù),偶函數(shù),故,所以,故.故答案為:14.已知直線l:與拋物線C:交于A,B兩點,如圖,點P為拋物線C上的動點,且位于直線AB的下方,則△ABP面積的最大值為____________.【答案】【解析】當(dāng)拋物線過點的切線與直線平行時,的面積最大,設(shè)點,由得:,,所以切線的斜率:,解得:,所以,所以,點到直線距離,由,消去,得:,設(shè),,則,,所以,所以的面積的最大值為:.故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,的面積為,求的周長.解:(1)由正弦定理有,,可得,即,,,則,,故;(2),,則,可得,結(jié)合,由余弦定理,有,,可得,則的周長為.16.如圖,在四棱臺中,底面ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCD,,,P為AB的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面夾角的大小.解:(1)底面ABCD是邊長為2的正方形,平面ABCD,故,,兩兩垂直.以為原點,分別為軸,軸,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,在四棱臺中,,,P為AB的中點,故,則,所以,即,且平面,平面,故平面.(2)由(1)知,,,設(shè)平面的法向量為則令,解得設(shè)平面的法向量為則令,解得故故平面與平面的夾角為.17.已知函數(shù),().(1)當(dāng)時,求出方程解的個數(shù);(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.解:(1)當(dāng)時,,即,設(shè),則,且定義域,故在時,恒成立,在上單調(diào)遞增,在時,恒成立,在上單調(diào)遞減,所以,故只有一個解,即方程只有一個解.(2)函數(shù)定義域為,由題意,當(dāng)時,在時,恒成立,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,的解為,的解為,在上遞增,在上遞減.綜上所述,當(dāng)時,

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