高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，則.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，得到，所以，故選：C.3.已知向量為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)椋玫?，所以?dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，成立，但得不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖，在正方體中，取面為平面，直線為直線，直線為直線，顯然有，但不平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，在正方體中，取面為平面，直線為直線，面為平面，有，但，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，取面為平面，直線為直線，直線為直線，因?yàn)?，顯然有，但，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，在?nèi)任取一點(diǎn)，過直線與點(diǎn)確定平面，則，由線面平行的性質(zhì)知，又，所以，又，所以，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.5.已知均為不等于1的正實(shí)數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，故選：D6.從9名同學(xué)中選出4人去參加環(huán)?；顒?dòng)，若甲、乙兩名同學(xué)至少有1名位參加，則選派方案共有（）A.56種 B.70種 C.91種 D.126種【答案】C【解析】從9名同學(xué)中選出4人去參加環(huán)?；顒?dòng)共有種，甲、乙兩名同學(xué)都不參加共有種，若甲、乙兩名同學(xué)至少有1名位參加有種，故選：C7.分別是拋物線和軸上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A.5 B. C. D.2【答案】D【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，無(wú)論在何處，PQ的最小值都是到軸的距離，所以的最小值?和到軸的距離之和的最小值?和到準(zhǔn)線的距離之和減去最小，根據(jù)拋物線的定義問題轉(zhuǎn)化為最小，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為.故選：D8.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】因?yàn)棰伲?，得到，所以，又，②，?lián)立①②得到，，所以，得到，則，故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知互不相等的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，記為，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，一定不變的量有（）A.極差 B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差【答案】AC【解析】設(shè)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為，因?yàn)椋@然有，所以選項(xiàng)A正確，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以選項(xiàng)C正確，不妨取這組數(shù)據(jù)為，此時(shí)，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則這組新數(shù)據(jù)為，此時(shí)平均數(shù)為，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以選項(xiàng)B和D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】由，的最小正周期為，故A對(duì)，，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是最值，故B對(duì)；時(shí)，，此時(shí)t關(guān)于x單調(diào)遞增，在不單調(diào)，故在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)；時(shí)，，此時(shí)t關(guān)于x單調(diào)遞增，即t與x是一一對(duì)應(yīng)，，而關(guān)于t的三角函數(shù)方程在時(shí)，恰好有4個(gè)根：，又t與x是一一對(duì)應(yīng)的，所以在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，故D對(duì)，故選:ABD11.已知點(diǎn)為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為直線:上動(dòng)點(diǎn)，則（）A.以為直徑的圓與直線相離 B.的最大值為C.的最小值為8 D.的最小值為112【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，因?yàn)?，所以以為直徑的圓與直線相離，所以A正確，對(duì)于B，如圖，當(dāng)直線與直線平行，且共線時(shí)，則為等腰三角形，此時(shí)，則，所以，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?所以,因?yàn)椋?，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為112，所以D正確，故選：ACD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為______________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，高為，由題有，解得，，所以，所以圓錐的體積為，故答案為：.13.已知函數(shù)，則不等式的解集為________.【答案】【解析】由可得：，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，又由可得：函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，解得.故答案：.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的右支交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為_________.【答案】【解析】令，則，在中，由余弦定理得，解得，則，令，在中，由余弦定理得，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：四解答題:本題共9小題，共77分、解答應(yīng)篤出文學(xué)說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）可知上式相加得所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2），所以所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.在三棱錐中，平面分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）求證:平面;（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）連接AP并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)N，連接NC，過點(diǎn)M作BD的平行線交AN于點(diǎn)E，因?yàn)?，且M，P分別是的中點(diǎn)，，即，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）取CD的中點(diǎn)T，連接，則，設(shè)，以T為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以TB，TD，垂直于平面的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，那么，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，所以，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，，所以平面與平面夾角的余弦值為17.某同學(xué)參加射擊比賽，每人配發(fā)顆子彈.射擊靶由內(nèi)環(huán)和外環(huán)組成，若擊中內(nèi)環(huán)得分，擊中外環(huán)得分，脫靶得分.該同學(xué)每次射擊，脫靶的概率為，擊中內(nèi)環(huán)的概率為，擊中外環(huán)的概率為，每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立.只有前一發(fā)中靶，才能繼續(xù)射擊，否則結(jié)束比賽.（1）若已知該同學(xué)得分為分的情況下，求該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈的概率；（2）設(shè)該同學(xué)最終得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記事件：該同學(xué)得分為分，事件：該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈，由題知，,所以.（2）由題知可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).解：（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，，令，，，對(duì)稱軸為，（1）當(dāng)，即時(shí)，方程有兩根為，，（i）時(shí)，，時(shí)，，即，時(shí)，，即，（ii）時(shí)，，時(shí)，，即，時(shí)，，即，（2）當(dāng)，即時(shí)，方程的根為，此時(shí)在區(qū)間0,+∞上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，（3）當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間0,+∞上恒成立，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，無(wú)減區(qū)間.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，又，又，所以，，則，，得到，而時(shí)，，由零點(diǎn)存在性原理知時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，又，而時(shí)，，由零點(diǎn)存在性原理知時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).19.已知橢圓的焦距為，直線過點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若梯形的頂點(diǎn)都在橢圓上，且，對(duì)角線和交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為.(i)證明：四點(diǎn)共線；(ii)試探究直線與直線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由直線過點(diǎn)，得，聯(lián)立，消得：，易知，設(shè)，則，整理得：，又因?yàn)?，所以，解得，即橢圓.（2）(i)不妨設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，再設(shè)由題可知直線斜率必存在，且，以上兩式相減得，即，同理，因?yàn)榭傻茫?，則，即三點(diǎn)共線；又因?yàn)樗倪呅问翘菪?，且與交于，由平面幾何知識(shí)可知三點(diǎn)共線，即得證四點(diǎn)共線；(ii)由(i)可知，，而，所以，設(shè)直線的方程為：，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得：，不妨設(shè)，同理，，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得：，即上式兩邊平方化簡(jiǎn)得：，由平面幾何知識(shí)易知三點(diǎn)共線，故設(shè)，由可得，，，所以，即或（舍去）化簡(jiǎn)得：，結(jié)合，可得，故直線與直線的交點(diǎn)為定點(diǎn).廣東省深圳市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，則.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，得到，所以，故選：C.3.已知向量為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)椋玫?，所以?dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，成立，但得不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖，在正方體中，取面為平面，直線為直線，直線為直線，顯然有，但不平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，在正方體中，取面為平面，直線為直線，面為平面，有，但，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，取面為平面，直線為直線，直線為直線，因?yàn)椋@然有，但，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，在?nèi)任取一點(diǎn)，過直線與點(diǎn)確定平面，則，由線面平行的性質(zhì)知，又，所以，又，所以，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.5.已知均為不等于1的正實(shí)數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，故選：D6.從9名同學(xué)中選出4人去參加環(huán)?；顒?dòng)，若甲、乙兩名同學(xué)至少有1名位參加，則選派方案共有（）A.56種 B.70種 C.91種 D.126種【答案】C【解析】從9名同學(xué)中選出4人去參加環(huán)?；顒?dòng)共有種，甲、乙兩名同學(xué)都不參加共有種，若甲、乙兩名同學(xué)至少有1名位參加有種，故選：C7.分別是拋物線和軸上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（）A.5 B. C. D.2【答案】D【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，無(wú)論在何處，PQ的最小值都是到軸的距離，所以的最小值?和到軸的距離之和的最小值?和到準(zhǔn)線的距離之和減去最小，根據(jù)拋物線的定義問題轉(zhuǎn)化為最小，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為.故選：D8.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】因?yàn)棰?，所以，得到，所以，又，②，?lián)立①②得到，，所以，得到，則，故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知互不相等的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，記為，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，一定不變的量有（）A.極差 B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差【答案】AC【解析】設(shè)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為，因?yàn)?，顯然有，所以選項(xiàng)A正確，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以選項(xiàng)C正確，不妨取這組數(shù)據(jù)為，此時(shí)，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則這組新數(shù)據(jù)為，此時(shí)平均數(shù)為，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以選項(xiàng)B和D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】由，的最小正周期為，故A對(duì)，，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是最值，故B對(duì)；時(shí)，，此時(shí)t關(guān)于x單調(diào)遞增，在不單調(diào)，故在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)；時(shí)，，此時(shí)t關(guān)于x單調(diào)遞增，即t與x是一一對(duì)應(yīng)，，而關(guān)于t的三角函數(shù)方程在時(shí)，恰好有4個(gè)根：，又t與x是一一對(duì)應(yīng)的，所以在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，故D對(duì)，故選:ABD11.已知點(diǎn)為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為直線:上動(dòng)點(diǎn)，則（）A.以為直徑的圓與直線相離 B.的最大值為C.的最小值為8 D.的最小值為112【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A與直線相離，所以A正確，對(duì)于B，如圖，當(dāng)直線與直線平行，且共線時(shí)，則為等腰三角形，此時(shí)，則，所以，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?所以,因?yàn)?，所以，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為112，所以D正確，故選：ACD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為______________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，高為，由題有，解得，，所以，所以圓錐的體積為，故答案為：.13.已知函數(shù)，則不等式的解集為________.【答案】【解析】由可得：，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，又由可得：函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，解得.故答案：.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的右支交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為_________.【答案】【解析】令，則，在中，由余弦定理得，解得，則，令，在中，由余弦定理得，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：四解答題:本題共9小題，共77分、解答應(yīng)篤出文學(xué)說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）可知上式相加得所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式（2），所以所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.16.在三棱錐中，平面分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）求證:平面;（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）連接AP并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)N，連接NC，過點(diǎn)M作BD的平行線交AN于點(diǎn)E，因?yàn)椋襇，P分別是的中點(diǎn)，，即，又因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）取CD的中點(diǎn)T，連接，則，設(shè)，以T為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以TB，TD，垂直于平面的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，那么，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，所以，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，，所以平面與平面夾角的余弦值為17.某同學(xué)參加射擊比賽，每人配發(fā)顆子彈.射擊靶由內(nèi)環(huán)和外環(huán)組成，若擊中內(nèi)環(huán)得分，擊中外環(huán)得分，脫靶得分.該同學(xué)每次射擊，脫靶的概率為，擊中內(nèi)環(huán)的概率為，擊中外環(huán)的概率為，每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立.只有前一發(fā)中靶，才能繼續(xù)射擊，否則結(jié)束比賽.（1）若已知該同學(xué)得分為分的情況下，求該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈的概率；（2）設(shè)該同學(xué)最終得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記事件：該同學(xué)得分為分，事件：該同學(xué)只射擊了發(fā)子彈，由題知，,所以.（2）由題知可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).解：（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，，令，，，對(duì)稱軸為，（1）