/甘肅省蘭州市皋蘭縣第一中學(xué)2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．2．若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．3．已知平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，若，則實(shí)數(shù)（

）.A．1 B．2 C．3 D．44．在某地區(qū)的高三第一次聯(lián)考中，數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)高于120分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到100分（含80分和100分）之間的人數(shù)為800，則可以估計(jì)參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為（

）A．1600 B．1800 C．2100 D．24005．已知函數(shù)，則的極小值點(diǎn)為（

）A． B． C． D．6．設(shè)甲乘汽車、動(dòng)車前往某目的地的概率分別為0.3、0.5，汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.6、0.8，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（

）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.687．在平行六面體中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．8．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知兩條平行直線，，直線，直線，直線，之間的距離為1，則的值可以是（

）A． B． C．12 D．1410．高二年級(jí)安排甲，乙，丙三位同學(xué)到六個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說法正確的有（

）A．如果社區(qū)必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有88種B．如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)，則不同的安排方法有36種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有150種D．如果甲，丙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有36種11．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱三、填空題（本大題共3小題）12．已知集合．若，則．13．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)是平面上的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.14．一批小麥種子的發(fā)芽率是0.7，每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種．則每穴至少種粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于97%．（lg3≈0.48）四、解答題（本大題共5小題）15．已知二項(xiàng)式的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，各項(xiàng)的系數(shù)之和為，.(1)求的值：(2)求展開式中的系數(shù).16．已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.17．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，．

(1)證明：；(2)若，設(shè)為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．18．已知橢圓，直線（其中）與橢圓相交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求的值；(2)求的面積．19．我國(guó)脫貧攻堅(jiān)經(jīng)過8年奮斗，取得了重大勝利.為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某項(xiàng)目組對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量情況進(jìn)行持續(xù)跟蹤，隨機(jī)抽取了10件產(chǎn)品，檢測(cè)結(jié)果均為合格，且質(zhì)量指標(biāo)分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知質(zhì)量指標(biāo)不低于60分的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.(1)從這10件農(nóng)產(chǎn)品中任意抽取兩件農(nóng)產(chǎn)品，記這兩件農(nóng)產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望(2)根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這種農(nóng)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本質(zhì)量指標(biāo)平均數(shù)，近似為方差，生產(chǎn)合同中規(guī)定，所有農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品的占比不得低于15%.那么這種農(nóng)產(chǎn)品是否滿足生產(chǎn)合同的要求？請(qǐng)說明理由.附：若，則，，.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】，故選C.2．【正確答案】A【分析】根據(jù)概率分布列的性質(zhì)求出a的值，由求得結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可得，所以.故選A.3．【正確答案】C【分析】由，得到直線與平面的法向量垂直，得出，進(jìn)而求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得．故選.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性求出成績(jī)?cè)?0分到100分的概率，即可求解作答.【詳解】依題意，隨機(jī)變量，有，即正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，由，得，80分到100分（含80分和100分）之間的人數(shù)為800，所以設(shè)參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為，則，解得.故選D.5．【正確答案】B【分析】的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，分析的符號(hào)，的單調(diào)性，極值點(diǎn)，即可得出答案．【詳解】的定義域?yàn)镽，，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故選B．6．【正確答案】C【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件表示甲乘動(dòng)車到達(dá)目的地，事件表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知，，，．由全概率公式得．故選C．7．【正確答案】C【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)結(jié)合空間向量基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以．故選C．8．【正確答案】C【分析】在區(qū)間內(nèi)有最小值，可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，即可求解.【詳解】由，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值.此時(shí)函數(shù)必定存在極值點(diǎn)，由，設(shè)，為一元二次方程的兩根，有不妨設(shè)，故只需要即可，令，有，解得.故選C.9．【正確答案】BD【分析】將直線化為，代入兩平行線間距離公式分析求解.【詳解】將直線化為，則，之間的距離，即，解得或．故選BD．10．【正確答案】BD【分析】根據(jù)間接法即可判斷A,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可判斷BCD.【詳解】安排甲，乙，丙三位同學(xué)到六個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)于A：如果社區(qū)必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種）．故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)，則不同的安排方法有（種）．故B正確；對(duì)于C：如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有（種）．故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如果甲，丙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有（種）．故D正確．故選.11．【正確答案】BCD【分析】由題可得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用可以判斷A錯(cuò)誤；再利用韋達(dá)定理可以判斷B正確；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，可以判斷C正確；利用為奇函數(shù)可以判斷D正確.【詳解】由題可得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，所以錯(cuò)誤；根據(jù)題意，為的兩個(gè)根，所以正確；因?yàn)?，且為的兩個(gè)根，所以由得或，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以成立，C正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，D正確，故選BCD.12．【正確答案】【分析】根據(jù)交集的定義，結(jié)合集合中元素的互異性進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足集合中元素的互異性，所以（舍）；當(dāng)時(shí)，可得（舍），此時(shí)，，滿足條件，所以．故答案為.13．【正確答案】【分析】利用空間向量法可得出點(diǎn)到平面的距離為，即為所求.【詳解】由已知可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為.14．【正確答案】3【分析】利用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率，列不等式即可求得每穴至少種的種子數(shù)n【詳解】記事件A為“種一粒種子，發(fā)芽”，則設(shè)每穴種n粒，則相當(dāng)于做了n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，記事件B為“每穴至少有一粒發(fā)芽”，則，若保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于97%，則即，兩邊取對(duì)數(shù)得，，即又lg3≈0.48，則，又n為整數(shù)，則每穴至少種3粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于97%．故3.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)由題可得，，進(jìn)而即得；(2)由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解即得．【詳解】(1)因?yàn)椋?，所以，解得?2)由通項(xiàng)公式，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為.16．【正確答案】(1)極小值為，無極大值；(2)答案見解析.【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由極值點(diǎn)的定義可求得極值；(2)求導(dǎo)后，分別在和的情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)單調(diào)性.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，無極大值.(2)由題意知：定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接.根據(jù)線面垂直的判定定理確定直線和平面的位置關(guān)系證得平面，再根據(jù)線面垂直的定義可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解直線的方向向量與平面法向量，再根據(jù)向量夾角余弦公式確定線面所成角的正弦值，即可得結(jié)論.【詳解】(1)在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，

在等腰中，，所以，在直角梯形中，，所以四邊形是正方形，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以?2)因?yàn)?，若，則，又平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值.18．【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解；(2)根據(jù)(1)中韋達(dá)定理可得，且直線與軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)F1,0，進(jìn)而可求面積.【詳解】(1)設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程，消去得．由，且，可得，則，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)?，解得或（舍去），所以的值?(2)由(1)可知：，則，可得，由橢圓方程可知：，由直線與軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)F1,0，則，所以的面積為．19．【正確答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；(2)這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占比滿足生產(chǎn)合同的要求，理由見解析.【分析】(1)求出的取值和對(duì)應(yīng)的概率可得分布列及期望；(2)求出這10件農(nóng)產(chǎn)品的平均數(shù)和方差，可得，，記這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分值為X，