/北京市石景山區(qū)2023?2024學年高一下學期期末數(shù)學試卷一、單選題（本大題共10小題）1．與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．2．若扇形的面積為1，且弧長為其半徑的兩倍，則該扇形的半徑為（

）A．1 B．2 C．4 D．63．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．15．在中，已知，那么一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形6．古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點，過點作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（

）

A． B．C． D．7．若，則（

）A． B． C． D．8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則其解析式為（

）A． B．C． D．9．已知為復(fù)數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則或10．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列命題：①；②；③在上的投影向量為；④若點為正八邊形邊上的一個動點，則的最大值為4．其中正確的命題個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共5小題）11．化簡12．若，則.13．在中，，，，則的外接圓半徑為.14．已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則．15．已知三角形是邊長為2的等邊三角形．如圖，將三角形的頂點A與原點重合．在軸上，然后將三角形沿著軸順時針滾動，每當頂點A再次回落到軸上時，將相鄰兩個A之間的距離稱為“一個周期”，給出以下四個結(jié)論：

①一個周期是6；②完成一個周期，頂點A的軌跡是一個半圓；③完成一個周期，頂點A的軌跡長度是；④完成一個周期，頂點A的軌跡與軸圍成的面積是．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共5小題）16．如圖，以為始邊作角與，它們的終邊與單位圓分別交于兩點，已知點的坐標為，點的坐標為．

(1)求的值；(2)求的值．17．已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求的值；(2)若，且的面積為，求．18．向量，設(shè)函數(shù)．(1)求的最小正周期并在右邊直角坐標中畫出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的草圖；(2)若方程在上有兩個根，求的取值范圍及的值．19．如圖，在中，，，平分交于點，．(1)求的值；(2)求的面積．20．如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，過作的平行線交于．記．

(1)求的長（用表示）；(2)求面積的最大值，并求此時角的大?。?/p>

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，利用終邊相同的角的集合，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以與角終邊相同的角是，故選D.2．【正確答案】A【分析】由扇形面積及弧長公式可得答案.【詳解】設(shè)扇形面積為S，半徑為r，對應(yīng)弧度為，弧長為.由題可得.故選A.3．【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義直接求解．【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限．故選A.4．【正確答案】B【分析】首先計算出，，再根據(jù)向量模的坐標公式即可得到答案.【詳解】因為，，兩式相加得，即，，所以.故選B.5．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由正弦的和差角公式化簡，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以，又為三角形的內(nèi)角，所以，即是等腰三角形.故選A.6．【正確答案】C【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知，，，然后結(jié)合新定義簡單計算可判斷各個選項.【詳解】根據(jù)題意，易得，對于A，因為，即，故A錯誤；對于B，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，故D錯誤.故選C.【關(guān)鍵點撥】解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比求解，注意有向線段.7．【正確答案】D【詳解】，且.故選D.【關(guān)鍵點撥】對于三角函數(shù)的給值求值問題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差．（2）已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補”關(guān)系．8．【正確答案】B【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的部分圖象，求出滿足條件的值，可得答案．【詳解】由圖可得：函數(shù)的最大值為2，最小值為，故，，故，解得，故.將代入可得：，則，解得.因為，所以，所以.故選B.9．【正確答案】C【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義計算判斷ABD；舉例說明判斷C.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，對于A，，A正確；對于B，，，，，B正確；對于C，取，滿足，而，C錯誤；對于D，由，得，即，則，即，因此或，即或，D正確.故選C.10．【正確答案】C【分析】正八邊形中，每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為2，然后再由數(shù)量積的運算判斷①②,由投影向量和投影數(shù)量判斷③④得答案．【詳解】由題意可知，正八邊形每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為2，對于①，，故①錯誤；對于②，，則以，為鄰邊的對角線長是的倍，可得，故②正確；對于③，在上的投影向量為，故③正確；對于④，設(shè)的夾角為，則，其中表示在上的投影數(shù)量，易知,延長DC交AB延長線于Q,當P在線段DC上運動，投影數(shù)量最大，易知為等腰直角三角形，且,則在中，,在等腰三角形中，則.故④正確.則正確的個數(shù)共有3個.故選C．【關(guān)鍵點撥】本題問題④的關(guān)鍵是利用數(shù)量積的幾何意義確定在上的投影的最大值.11．【正確答案】【分析】根據(jù)誘導公式即可得到答案.【詳解】.故答案為.12．【正確答案】【分析】利用二倍角的余弦公式得出，然后在代數(shù)式上除以化為有關(guān)角的弦的二次分式齊次式，并在分式的分子和分母中同時除以，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式進行計算.【詳解】由題意可得.故答案為.【方法總結(jié)】本題考查二倍角的余弦公式以及弦化切思想的應(yīng)用，弦化切思想主要應(yīng)用于以下兩個方面：（1）當分式為關(guān)于角的次分式齊次式時，可在分子分母中同時除以，實現(xiàn)弦化切；（2）當代數(shù)式是關(guān)于角的二次整式時，可先除以化為關(guān)于角的二次分式齊次式，然后分子分母中同時除以，可實現(xiàn)弦化切.13．【正確答案】【分析】由正弦定理求解．【詳解】由已知，設(shè)三角形外接圓半徑為，則，所以．故1.14．【正確答案】【分析】建立如圖所示坐標系，由圖可得及的坐標表示，后由數(shù)量積的坐標形式下的計算公式可得答案.【詳解】由圖及網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，可得.則.則.故答案為.15．【正確答案】①③④【分析】①，畫出頂點A的軌跡，得到相鄰兩個A之間的距離為6，故①正確；②根據(jù)頂點A的軌跡得到②錯誤；③利用弧長公式進行求解；④利用扇形面積公式和等邊三角形面積，得到答案.【詳解】①，如圖，將等邊三角形順時針滾動兩次，A再次回落到軸上，故相鄰兩個A之間的距離為6，故一個周期為6，①正確；②，完成一個周期，頂點A的軌跡如下：

可以看出頂點A的軌跡不是一個半圓，是兩段圓心角為的弧長，②錯誤；③，完成一個周期，頂點A的軌跡長度是，③正確；④，完成一個周期，頂點A的軌跡與軸圍成的面積是兩個圓心角為，半徑為2的扇形面積，加上一個半徑為2的等邊三角形，故面積為，④正確.故①③④.16．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由任意角三角函數(shù)定義結(jié)合題意可得答案.（2）由題結(jié)合二倍角正切公式可得答案.【詳解】（1）由題結(jié)合任意角三角函數(shù)定義可得：；（2）由題可得：，則.17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為求解；（2）由三角形的面積可得，由余弦定理，可得，從而可得答案.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，所以可等價轉(zhuǎn)化為，其中，故．所以，即，因為，所以.（2）因為，所以，由余弦定理可得即，所以，所以.18．【正確答案】(1)；草圖見解析；(2)；答案見解析.【分析】（1）由題可得表達式，化簡后結(jié)合周期計算公式可得周期，后由五點作圖法可得周期；（2）由（1）結(jié)合圖象可得答案.【詳解】（1）由題，.則周期為；又，可得相應(yīng)表格如下：得函數(shù)圖象如下：（2）方程在上根的個數(shù)，即在區(qū)間內(nèi)圖象與直線的交點個數(shù).由（1）可得，.又由（1）圖可得兩交點關(guān)于在區(qū)間內(nèi)圖象對稱軸對稱，又由（1）可得在區(qū)間內(nèi)圖象對稱軸為與.則時，；時，.19．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）由（1）可求出，再根據(jù)平分可