/【新結(jié)構(gòu)】2023-2024學(xué)年安徽省皖北縣中聯(lián)盟聯(lián)考高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A，B滿足，，，則集合B中的元素個數(shù)為(

)A.3 B.4 C.5 D.62.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的高為(

)

A. B.2 C. D.5.某幼兒園一名小朋友過生日，幼兒園老師為該小朋友準備了5個一樣的盒子，其中4個盒中各裝有一個變形金剛玩具，另外1個盒中裝有一套積木玩具.這名小朋友要從這5個盒中選出2個盒子作為生日禮物，則恰好取到1個變形金剛玩具和1套積木玩具的概率為(

)A. B. C. D.6.函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則的取值范圍為(

)A. B. C. D.7.在正四棱臺中，，點O為底面ABCD的中心，則異面直線與所成的角為(

)A. B. C. D.8.已知中，，且O為的外心.若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.在學(xué)校組織的《愛我中華》主題演講比賽中，有10位評委對每位選手進行評分評分互不相同，將選手的得分去掉一個最低評分和一個最高評分，則下列選項正確的是(

)A.剩下評分的平均值變大 B.剩下評分的極差變小

C.剩下評分的方差變小 D.剩下評分的中位數(shù)變大10.已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為，則(

)A.圓臺的母線與底面所成的角為

B.圓臺的側(cè)面積為

C.圓臺的體積為

D.若圓臺的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為11.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形對于圖下列結(jié)論錯誤的是(

)

A.這三個全等的鈍角三角形可能是等腰三角形

B.若，，則

C.若，則

D.若是的中點，則的面積是面積的5倍三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某大學(xué)共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為300的樣本，則應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為__________.13.在正方體中，E，F(xiàn)分別是AD，的中點，，則過點B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為__________.14.人臉識別就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.已知二維空間兩個點、，則其曼哈頓距離為，余弦相似度為，余弦距離為已知，、、、，若，，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分

某廠引進一種生產(chǎn)新能源汽車關(guān)鍵部件的設(shè)備，為了解該設(shè)備生產(chǎn)的關(guān)鍵部件的某項指標的情況，隨機抽取了100件關(guān)鍵部件的該項指標數(shù)據(jù)，按分組，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.

求m的值;估計樣本中指標數(shù)據(jù)的分位數(shù).16.本小題15分

已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

求

若，，求的周長.17.本小題15分某校為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，組織了數(shù)學(xué)建模知識競賽，共有兩道題目，答對每道題目得10分，答錯或不答得0分.甲答對每道題的概率為，乙答對每道題的概率為，且甲、乙答對與否互不影響，各題答題結(jié)果互不影響.已知第一題至少一人答對的概率為求p的值;求甲、乙得分之和為30分的概率.18.本小題17分

如圖，在四棱錐中，M為AP邊上的中點，N為CP邊上的中點，平面平面ABCD，，，，

求證：平面求證：平面若直線PD與底面ABCD所成角的余弦值為，求二面角的正切值.19.本小題17分已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，函數(shù)求實數(shù)n的值;當(dāng)時，求的解析式;設(shè)，是否存在實數(shù)，使不等式在時恒成立?若存在，求實數(shù)的取值范圍;若不存在，請說明理由.

答案和解析1.【正確答案】B

【分析】本題考查集合中元素的個數(shù)問題，涉及交集與并集運算，屬于基礎(chǔ)題.

由題意得，，即可得解.

解：因為，故，

又，故，又，

故，即集合B中的元素個數(shù)為2.【正確答案】D

【分析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

先根據(jù)四則運算化簡z，得到對應(yīng)點的坐標，即可得到答案．

解：，

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是，位于第四象限.

故選3.【正確答案】A

【分析】本題考查平面向量垂直的坐標表示，考查充分必要條件的判定方法，是基礎(chǔ)題．

由向量垂直的坐標表示求得m值，結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．

解：當(dāng)時，，，，所以，充分性成立；

，，

解得或，必要性不成立；

“”是“”的充分不必要條件．

故選4.【正確答案】D

【分析】

本題主要考查了水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)斜二測畫法可知，水平放置的圖形OABC的形狀，由此可求出該平面圖形的高.

解：由直觀圖可得如圖所示的平面圖，在直角梯形中，

，

在直觀圖中OC為直角梯形且垂直于底的腰，

故OC就是直角梯形的高，

則該平面圖形的高

故選5.【正確答案】B

【分析】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由列舉法得到所有情況，再由古典概型的概率計算公式即可得到結(jié)果．

解：設(shè)裝變形金剛玩具的盒子分別為A，B，C，D，裝積木玩具的盒子為E，

則從這5個盒子中選出2個盒子的不同選法為：，，，，，，，，，，共10種不同方法，

恰好選到1個變形金剛玩具和1套積木玩具的不同選法有，，，，共4種不同方法，

故所求概率

故選6.【正確答案】C

【分析】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于的不等式，求解即可.

解：由，設(shè)，則，

由圖可知直線在線段AB之間，不含點A，

所以，得

7.【正確答案】C

【分析】本題主要考查的是棱臺的結(jié)構(gòu)特征，異面直線所成角，屬于中檔題.

由棱臺的結(jié)構(gòu)特征可得，則或其補角為異面直線與所成的角，利用正棱臺的結(jié)構(gòu)求解即可.

解：如圖所示，連接，AC，BD，則，連接，因為，所以易知四邊形為平行四邊形，則，且，所以或其補角為異面直線與所成的角，

同理知，又，所以為等邊三角形，所以，

故選

8.【正確答案】B

【分析】本題考查向量的加減與數(shù)乘混合運算，考查投影向量，屬于中檔題.

根據(jù)題意得到，過A作BC的垂線AQ，由在上的投影向量為，求得，又由，得到，由，即可求解.解：因為，所以

，所以B，O，C三點共線，又因為O為的外心，有，

所以為直角三角形且，O為斜邊BC的中點，過A作BC的垂線AQ，垂足為Q，因為在上的投影向量為，所以在上的投影向量為

，又因為，所以，

因為，所以，因為，所以的取值范圍為故選

9.【正確答案】BC

【分析】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、方差，極差，屬于基礎(chǔ)題.

去掉一個最低評分和一個最高評分平均分變換未知，根據(jù)極差概念知極差變小，根據(jù)方差意義知方差也變小，根據(jù)中位數(shù)概念知中位數(shù)未變.

解：去掉一個最低評分和一個最高分后剩下評分的平均值有可能變小、不變或變大，A錯誤；剩下評分的極差一定會變小，B正確；剩下評分的波動性變小，則方差變小，C正確；剩下評分的中位數(shù)不變，D錯誤.故選：10.【正確答案】ABD

【分析】本題考查了圓臺的結(jié)構(gòu)特征、側(cè)面積、體積，考查了球的表面積，屬于中檔題.

利用題目數(shù)據(jù)，結(jié)合圓臺的結(jié)構(gòu)特征、側(cè)面積、體積，球的表面積運算即可.

解：對于A，因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線為，所以求出高為2，根據(jù)線面角定義求

出母線與底面所成角，故A正確；

對于B，由圓臺的側(cè)面積公式求得圓臺的側(cè)面積為，故B正確；

對于C，由圓臺的體積公式求得圓臺體積為，故C錯誤；

對于D，由題意可知球心在下底面下方，設(shè)球心到底面的距離為d，由勾股定理，解

得，則該球的半徑為，所以該球的表面積為，故D正確.11.【正確答案】ACD

【分析】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式和解三角形的實際應(yīng)用，是中檔題.

對于A選項：由，即可判斷A；

對于B選項：在中，利用正弦定理求得，進而可判斷

對于C選項：在中，設(shè)，，利用余弦定理即可求得x，進而可判斷

對于D選項：利用三角形的面積公式，可得，進而可判斷

解：對于A，根據(jù)題意，題圖2是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形ABC，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯誤;

對于B，在中，，所以，

而，

所以，

由正弦定理得，解得，

又因為，所以，故選項B正確;

對于C，不妨設(shè)，，

在中，由余弦定理得

，

即，

解得，

所以，故選項C錯誤;

對于D，若是的中點，

，

所以，故選項D錯誤.

故選12.【正確答案】60

【分析】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，解題時要認真審題，是基礎(chǔ)題．

先算出抽取比例，然后再算出抽取的人數(shù).

解：由題意知，

要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為300的樣本，

則應(yīng)抽三年級的學(xué)生人數(shù)為：

人

故答案為13.【正確答案】

【分析】本題考查正方體截面問題，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，推導(dǎo)出平面是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

過EF且過B的平面與面的交線l平行于EF，l即為，由此能求出過點B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面的周長．

解：

正方體中，E，F(xiàn)分別是棱AD，的中點，平面，平面，平面由正方體的棱長為4，可得截面是以

為腰，為上底，為下底的等腰梯形，

故周長為14.【正確答案】

【分析】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式以及兩角和公式的應(yīng)用，屬于較難題.

利用公式可得，故可求得，，得，結(jié)合二倍角公式可求得點Q的坐標，故可求得答案

解：因為，，

所以

因為，所以

因為，

所以

因為，則，

所以

因為，

，所以

又因為，，

所以，

所以15.【正確答案】解：由圖可知，，

解得

由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)小于25的指標數(shù)據(jù)所占比例為，，

數(shù)據(jù)小于30的指標數(shù)據(jù)所占比例為，

所以分位數(shù)一定在內(nèi)，由，

所以估計樣本中指標數(shù)據(jù)的分位數(shù)為

本題主要考查頻率分布直方圖，百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

利用頻率分布直方圖列出關(guān)于m的方程，求解即可.

根據(jù)百分位數(shù)的概念求解即可.16.【正確答案】解：由正弦定理得，

即，，

又，所以，

又，所以；

由得，所以，

由余弦定理得，

所以，所以，

故的周長為

本題主要考查正弦定理以及余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和差的正弦公式進行求解即可．

結(jié)合余弦定理和三角形的周長公式進行求解即可.17.【正確答案】解：設(shè)“甲答對第一題”，“乙答對第一題”，則，，

因為A與B相互獨立，所以與相互獨立.

由于事件“第一題至少一人答對”的對立事件是“第一題甲、乙都答錯”，

根據(jù)對立事件的性質(zhì)，得第一題至少一人答對的概率為，

由題意可知，，解得

設(shè)表示甲答對1道題目，表示甲答對2道題目表示乙答對1道題目，表示乙答對2道題目，則，

，，

設(shè)C表示甲、乙得分之和為30分的事件，則，

因為甲、乙答對與否互不影響，各題答題結(jié)果互不影響，

所以與相互獨立，與相互獨立，且與互斥，

則

本題主要考查相互獨立事件概率乘法公式，互斥事件與概率加法公式，對立事件，屬于中檔題.

根據(jù)條件，列出關(guān)于p的方程，求解即可；

根據(jù)條件，分為甲答對1題，乙答對2題；甲對2題，乙對1題兩種情況進行求解即可.18.【正確答案】解：證明：法一：連接AC，

在中，因為M、N為對應(yīng)邊上的中點，

所以MN為中位線，，

又平面ABCD，平面ABCD，

平面ABCD；

法二：設(shè)AB中點為S，BC中點為T，連接SM、ST、TN，

在中，因為S、M為對應(yīng)邊上的中點，

所以SM為中位線，且，

同理，在中，且，

且，

四邊形TNMS為平行四邊形，

，

又平面ABCD，平面ABCD，

平面ABCD；

在四邊形ABCD中，，，，

所以，都為等腰直角三角形，即，

又因為平面平面ABCD，，平面平面，

所以直線平面ABCD，

又平面ABCD，

所以，

又，PB，平面PBD，

所以平面

直線PD與底面ABCD所成角的余弦值為，且平面ABCD，

直線PD與底面ABCD所成的角為，

又，

則，，

在中，，

，，

設(shè)BC的中點為E，連接DE，過點E作PC的垂線交PC于F，連接DF，

由知，，，且PB、平面PBC，，

則平面PBC，

平面PBC，

，

、平面DEF，

平面DEF，

平面DEF，

，

又，

則是二面角的平面角，

，，，，

，，

，

設(shè)二面角的平面角為，則二面角的正切值為

本題主要考查線面平行的判定，線面垂直的判定，以及線面角，二面角的求法，屬于中檔題.

法一：連接AC，由