第第頁江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)z=a+aA．0 B．1 C．-1 D．±12．下列特征數(shù)中，刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差3．已知圓錐的底面半徑和高均為1，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．π B．2π C．2π D．4．已知向量a=?2,4，b=1,x，若A．52 B．5 C．25 5．一個(gè)水果盤子里有2個(gè)蘋果和3個(gè)桃子，從盤中任選2個(gè)，則選中的水果品種相同的概率為（）A．110 B．15 C．256．若cosπ3?αA．?79 B．?19 C．7．某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在旗桿底部O的正東方向A處，測(cè)得旗桿頂端P的仰角為60°，在A的南偏西30°方向上的B處，測(cè)得P的仰角為45°（O，A，B在同一水平面內(nèi)），A，B兩點(diǎn)間的距離為20m，則旗桿的高度OP約為（2A．10m B．14m C．17m D．20m8．在銳角三角形ABC中，2sinAcosA．233,+∞ B．32,+二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．下列命題為真命題的是（）A．若sin2A+sinB．若asinA=bsinC．若acosA=bcosD．若sinAa=10．已知a，b，c為三條直線，α，β，γ為三個(gè)平面．下列命題為真命題的是（）A．若a⊥c，b⊥c，則a∥bB．若a∥α，a?β，α∩β=b，則a∥bC．若a⊥α，a?β，則α⊥βD．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a，則a⊥γ11．一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)白色球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件A=“兩個(gè)球顏色不同”，B=“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)的和為奇數(shù)”，C=“兩個(gè)球標(biāo)號(hào)都不小于2”，則（）A．A與B互斥 B．A與C相互獨(dú)立C．PAB+PAC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．樣本數(shù)據(jù)7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位數(shù)為．13．已知向量a，b滿足b=2，向量a在b上的投影向量為12b，則14．以棱長(zhǎng)為2的正方體的六個(gè)面為底面，分別向外作形狀相同的正四棱錐，得到一個(gè)多面體，已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為π4．該多面體的體積為，其面數(shù)為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2（1）求B；（2）若c=22a，求16．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E,F分別是棱BC,AP的中點(diǎn)．（1）證明：PC⊥BD；（2）證明：EF//平面PCD17．某班學(xué)生日睡眠時(shí)間（單位：h）的頻率分布表如下：分組[7，7.5）[7.5，8）[8，8.5）[8.5，9]頻數(shù)4x20y頻率ab0.40.12（1）計(jì)算該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從該班日睡眠時(shí)間在7,7.5和8.5,9的學(xué)生中抽取5人．再從抽取的5人中隨機(jī)抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠時(shí)間在[7，7.5）的概率．18．已知△ABC的面積為9，點(diǎn)D在BC邊上，CD=2DB．（1）若cos∠BAC=45①證明：sin∠ABD=2②求AC；（2）若AB=BC，求AD的最小值．19．如圖，等腰梯形ABCD為圓臺(tái)OO（1）證明：BF∥DE；（2）已知AD=2，BC=4，四棱錐C-BEDF的體積為3．①求三棱錐B-ADE的體積；②當(dāng)母線與下底面所成的角最小時(shí)，求二面角C-BF-D的正弦值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意，復(fù)數(shù)z=a+a所以a=0且a2?1≠0，解得故選：A

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念（純虛數(shù)是復(fù)數(shù)的一種特殊形式，其特點(diǎn)是只有虛部而沒有實(shí)部）列方程求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，方差是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小的量，即刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度.故選：D.

【分析】利用數(shù)字特征的含義（平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；

中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，?處在最中間位置的數(shù)；眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)）求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意圓錐的母線長(zhǎng)l=r2+h2故選：B.

【分析】首先根據(jù)已知條件求出圓錐的母線長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式S側(cè)4．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閍∥b，所以a所以?2=λ所以|b故選：B.

【分析】根據(jù)向量共線定理（如果向量a→（a→≠0），那么存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得向量b5．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)2個(gè)蘋果分別記為：1和2，3個(gè)桃子編號(hào)為A,從盤中任選兩個(gè)，可得1,2共10種情況．選中的水果品種相同的選法有：(1,2)，A,B,所以選中的水果品種相同概率為：410故選：C.

【分析】運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件數(shù)除以樣本空間的基本事件總數(shù)）可解．6．【答案】B【解析】【解答】解：令x=π3?α，因?yàn)閏os令y=2α?π6所以sin故選：B.

【分析】利用換元法，令x=π3?α可得cosx=23，令7．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，設(shè)OP=h米，則OA=htan60在△OAB中，由題意可得，∠OAB=60由余弦定理可得cos∠OAB=解得h=103故選：C.

【分析】利用仰角、方位角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理（在三角形中，?一個(gè)邊的平方等于另外兩邊的平方的和減去另外兩邊與這條邊的對(duì)角的余弦的積的兩倍）即可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)?sin2所以cosB=12所以sin又因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以0<A<所以tan所以sinC故選：A.

【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和的正弦公式，等價(jià)變形已知條件，結(jié)合角度B的取值范圍求得B=π3，然后sinC9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，若sin2A+sin2B=sin2對(duì)于選項(xiàng)B，若asinA=bsinB，由正弦定理得a2對(duì)于選項(xiàng)C，若acosA=bcosB，由正弦定理得所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2對(duì)于選項(xiàng)D，若sinAa=cosBb=cosC故選：ABD.

【分析】利用正弦定理（在一個(gè)三角形中，?各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等）逐項(xiàng)進(jìn)行邊角互化即可逐一判斷.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，令a?α，b?α，若c⊥α，則一定有a⊥c，b⊥c，而在同一平面的a，b兩條直線可以平行，也可以相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，這是線面平行的性質(zhì)定理，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，這是面面垂直的判定定理，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)α∩γ=m，β∩γ=l，過平面γ內(nèi)一點(diǎn)A，分別作AB⊥m，AC⊥l，如圖所示，因?yàn)棣痢挺?，α∩?m，AB?γ，AB⊥m，所以AB⊥α，又因?yàn)閍?α，所以AB⊥a，同理：AC⊥a，又因?yàn)锳B∩AC=A，AB、AC?γ，所以a⊥γ，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.

【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系（線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行），對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則Ω=A=C=ABABC所以有PAPAB對(duì)于A，AB=對(duì)于B，PA對(duì)于C，PAB對(duì)于D，PABC故選：BC．

【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義（互斥事件是指兩個(gè)或多個(gè)事件在任何一次試驗(yàn)中都不會(huì)同時(shí)發(fā)生）分析A，由相互獨(dú)立事件的定義分析B，由古典概型的計(jì)算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件數(shù)除以樣本空間的基本事件總數(shù)）分析C、D，綜合可得答案．12．【答案】11【解析】【解答】解：首先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8個(gè)數(shù)據(jù)8×40%所以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四位，即11，故答案為：11.

【分析】根據(jù)百分?jǐn)?shù)的定義（如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計(jì)算相應(yīng)的累計(jì)百分位，則某一百分位所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù)）就可求得第40百分位數(shù).13．【答案】2【解析】【解答】解：由已知向量a在b上的投影向量為12b，則又因?yàn)榧碽=2，所以a所以a故答案為：2

【分析】首先利用投影向量的定義（投影向量是通過將一個(gè)向量投影到另一個(gè)向量的方向上得到的，?它不僅包含了投影的長(zhǎng)度，?還保留了原始向量的方向信息）求出acosa,14．【答案】16；12【解析】【解答】解：根據(jù)題意，如圖，以棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)面為底面的正四棱錐P?ABCD，

取底面中心O，CD中點(diǎn)E，因?yàn)镻O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以CD⊥PO，又CD⊥PE，PO∩PE=P,PO,PE?平面POE，所以CD⊥平面POE，則∠PEO=π所以h=PO=1，從而該多面體的體積為V=2×2×2+6×1考慮到四棱錐的側(cè)面夾角為π，其面數(shù)為4×62故答案為：16；12.

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)（如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線）和正四棱錐的側(cè)面與底面所成的角為π415．【答案】（1）解：a2故cosB=因?yàn)锽∈0,π，所以（2）解：設(shè)a=t,c=22t，代入t2+8t2=由余弦定理得cosC=則sinC=故tanC=【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理（在三角形中，?一個(gè)邊的平方等于另外兩邊的平方的和減去另外兩邊與這條邊的對(duì)角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+（2）設(shè)a=t,c=22t，代入a2+c16．【答案】（1）證明：連接AC,BD交于點(diǎn)O，由四邊形ABCD是菱形得AC⊥BD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，因?yàn)镻A⊥BD，AC⊥BD，PA∩AC=A，PA,AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BD⊥PC．（2）證明：連接OE,OF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以點(diǎn)O為AC,BD中點(diǎn)，又E,F分別是棱BC,AP的中點(diǎn)，所以FO//因?yàn)镻C?平面PCD，F(xiàn)O?平面PCD，所以FO//平面PCD，同理可得EO//平面因?yàn)镋O,FO?平面EFO，且EO∩FO=O，所以平面EFO//平面PCD，又EF?平面EFO所以EF//平面PCD【解析】【分析】（1）連接AC,BD交于點(diǎn)O，由已知證明BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，即可證明BD⊥PC；（2）連接OE,OF，證明出平面EFO//平面PCD17．【答案】（1）解：因?yàn)槿萘縩=20÷0.4=50，所以y=50×0.12=6,所以該班學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間為1=1??????（2）解：由（1）知，該班日睡眠時(shí)間在7,7.5和8.5,9頻率比為2:3，

由比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，分別從7,7.5和8.5,9兩組的學(xué)生中抽取2人，3人，

記7,7.5中抽取的2人為a,b，8.5,9中抽取的3人為c,d,e，

設(shè)“2人中至少有1人的睡眠時(shí)間在7,7.5”為事件A，

則Ω=(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)，

A=(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e)，

所以A發(fā)生的概率PA=【解析】【分析】（1）先求出n,x,y的值，再求平均數(shù)；（2）由比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，分別從7,7.5和8.5,9兩組的學(xué)生中抽取2人，3人，再由古典概率求解.18．【答案】（1）證明：①因?yàn)镃D=2DB，AD=DC，所以AD=2DB，在△ABD中，由正弦定理可得ADsin所以sin∠ABD=②設(shè)∠BAC=θ，則cosθ=因?yàn)?<θ<π，所以sin設(shè)∠C=α，因?yàn)锳D=DC，所以∠C=∠CAD=α，在△ABD中，∠B=π由①知sin∠ABD=2所以sin(θ+α)=2所以sinθ整理得cosα=4sinα，又因?yàn)閟in所以sinα=因?yàn)镃D=2DB，所以S△ACD在△ACD中，因?yàn)锳D=DC，∠C=α，所以AC=2ADcosα，所以則S△ACD所以AC=46（2）解：記△ABC的內(nèi)角為A,B,C，所對(duì)邊為a,b,c，因?yàn)镃D=2DB，所以AD=所以AD2在△ABC中，因?yàn)锳B=BC，所以由余弦定理可得c2整理得2ccos因?yàn)镾△ABC=1所以b2所以AD=4sin當(dāng)且僅當(dāng)sin∠BAC=所以AD的最小值為4.【解析】【分析】（1）①在△ABD中，由正弦定理asinA=②在△ABD中，利用三角函數(shù)恒等變換可得所以S△ACD=23S（2）由AD=23AB+1319．【答案】（1）證明：在圓臺(tái)OO1中，平面ADE//平面因?yàn)槠矫鍮EDF∩平面ADE=DE，平面BEDF∩平面BFC=BF，所以BF//DE；（2）解：①將圓臺(tái)OO1的母線延長(zhǎng)交于一點(diǎn)P，連接PE，延長(zhǎng)PE交底面于點(diǎn)Q，連接BQ，在圓臺(tái)OO1中，平面ADE//平面因?yàn)槠矫鍼CQ∩平面ADE=DE，平面PCQ∩平面BFC=CQ，所以ED//CQ，又由（1）可知BF//ED，所以BF//CQ，又因?yàn)镃F⊥BF，BQ⊥CQ，BF，CF，BQ，CQ?平面BFC，所以BQ//CF，所以四邊形BFCQ為平行四邊形，所以BF=CQ，因?yàn)樵趫A臺(tái)OO1中，AD=2，所以DECQ=AD所以S△BDF=2S連接AC，交BD于點(diǎn)T，所以ATTC所