閬中北大博雅駿臣學(xué)校高三年級(jí)半期考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B.C. D.3.若非零向量滿足，且向量在向量上投影向量是，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.4.一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱，底面邊上的高為.當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)水面高度為16（如圖①）.當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)（如圖②），水面高度為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，則等于（）A. B.C D.6.已知數(shù)列滿足：，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.有最大值 D.不是單調(diào)數(shù)列7.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.8.如圖，半徑為1的與半徑為2的內(nèi)切于點(diǎn)A，沿的圓弧無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周.若上一定點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)隨著的滾動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則（）A.C是半徑為的圓 B.C是半徑為1的圓C.C是長(zhǎng)度為2的線段 D.C是長(zhǎng)度為4的線段二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分9.下列命題正確的是（）A.是一組樣本數(shù)據(jù)，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下10個(gè)數(shù)的中位數(shù)小于原樣本的中位數(shù)B.若事件A，B相互獨(dú)立，且，，則事件A，B不互斥C若隨機(jī)變量，，則D.若隨機(jī)變量的方差，期望，則隨機(jī)變量的期望10.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.，11.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為定點(diǎn)，而點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，若，則（）A.B.C.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的方程為D.當(dāng)軸時(shí)，的離心率三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知，，則______.13.已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為__________．14.甲乙丙三個(gè)班級(jí)共同分配9個(gè)三好學(xué)生名額，每班至少1個(gè)名額，用X表示這三個(gè)班級(jí)中分配的最少名額數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望_______.四、解答題：本題共5小題，共77分15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知．（1）求角：（2）若，求的面積．16.設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)，時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，且和（為的導(dǎo)函數(shù)）的零點(diǎn)均在集合中，求的極小值.17.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)，T分別是橢圓：的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，過(guò)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的面積為.（1）求；（2）若斜率為的直線交橢圓C于G，H兩點(diǎn)，N為以線段為直徑的圓上一點(diǎn)，求的最大值.18.如圖，在四棱錐中，為矩形，且，，.（1）求證：平面；（2）若（N在S的左側(cè)），設(shè)三棱錐體積為，四棱錐體積為，且.①求點(diǎn)到平面的距離；②求平面與平面所成夾角的正弦值.19.一電動(dòng)玩具汽車需放入電池才能啟動(dòng).現(xiàn)抽屜中備有6塊規(guī)格相同的電池，其中3塊為一次性電池，另外3塊為可反復(fù)使用的充電電池.每次使用時(shí)隨機(jī)取一塊電池，若取出的是一次性電池，則使用后作廢品回收，若取出的是可充電電池，則使用后充滿電再放回抽屜.（1）在已知第2次取出一次性電池的條件下，求第1次取出的是可充電電池的概率；（2）設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，X在給定事件條件下的期望定義為，其中為X的所有可能取值的集合，表示事件“”與“”均發(fā)生的概率.設(shè)X表示玩具汽車前4次使用中取出一次性電池的塊數(shù)，Y表示前2次使用中取出可充電電池的塊數(shù)，求；（3）若已用完一塊一次性電池后，記剩下電池再使用次后，所有一次性電池恰好全部用完的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.CDBDBCBDBCDABDACD15.（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼迷谥?，，則，即，故．（2）由余弦定值知：，即，則，所以16.（1）當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，在上單增，當(dāng)時(shí)，令，或，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2），令，所以或令，或，又，且，，互不相等，所以，所以所以或或．經(jīng)檢驗(yàn)，符合，所以，，令，或，當(dāng)，，，，，所以時(shí)，取得極小值．17.（1）依題意有，當(dāng)軸時(shí)，在橢圓方程中，令，解得，則，，又．解得，．（2）設(shè)直線：，設(shè)，，聯(lián)立，得，所以，所以.，所以的中點(diǎn)為，所以.又的軌跡是以為圓心，半徑的圓，所以.令，，記，又，所以，時(shí)，.18.（1）在中，，，，所以，解得：，所以，所以，又，為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面；（2）由（1）知，平面，，所以平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面，在平面內(nèi)，所以，在三角形中，，，，所以，又，所以，又，又，所以，又，所以，取的中點(diǎn)，，可知：，因?yàn)槠矫嫫矫妫痪€為，又在平面內(nèi)，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系易得：,所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，即，又，所以求點(diǎn)到平面的距離，②，設(shè)平面的法向量，則，所以，令，則，可得：，設(shè)平面與平面所成夾角為，所以，所以，即平面與平面所成夾角的正弦值為.19.（1）設(shè)事件表示第一次取出