第10講三角形個數(shù)及判斷三角形形狀問題題型一：三角形解的個數(shù)問題已知a、b、A，△ABC解的情況如下圖示．(ⅰ)A為鈍角或直角時解的情況如下：(ⅱ)A為銳角時，解的情況如下：A． B． C． D．【答案】D故選：DA．無解 B．兩解C．一解 D．解的個數(shù)不能確定【答案】C故選：C.【答案】AD【分析】由已知條件，結(jié)合正弦定理以及三角形面積公式，三角形中“大邊對大角”的性質(zhì)，結(jié)合選項即可逐一求解.故選：AD【答案】BC【分析】由正弦定理逐項判斷.故選：BC【題型專練】【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.故選：B.A．有2個 B．有1個 C．不存在 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理得sinB=，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和三角形的邊角關(guān)系判斷解的個數(shù).∴滿足條件的三角形有2個．故選：A.A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法判斷有幾解【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正弦定理計算判斷作答.故選：AA．無解 B．一解 C．兩解 D．解的個數(shù)不確定【答案】C【分析】利用正弦定理結(jié)合已知條件分析判斷即可.故此三角形有兩解，故選：C.【答案】18或19【分析】在三角形中，已知其中一邊和其中一角，根據(jù)幾何關(guān)系得出另一邊和已知邊和角的關(guān)系，求出b的取值范圍，即可求出b的整數(shù)值【詳解】解：由題意，∵三角形有兩解，∴b的整數(shù)值為18或19.故答案為：18或19.【答案】A故選：A題型二：判斷三角行形狀判斷三角形形狀的思路：1.轉(zhuǎn)化為三角形的邊來判斷：(1)△ABC為直角三角形?a2=b2(2)△ABC為銳角三角形?a2+b2(3)△ABC為鈍角三角形?a2+b2(4)按等腰或等邊三角形的定義判斷.2.轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)(值)來判斷：(1)若cosA=0，則A=90°，△ABC為直角三角形；(2)若cosA<0，則△ABC為鈍角三角形；(3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，則△ABC為銳角三角形；(4)若sin2A+sin2B=(5)若sinA=sinB或sin(AB)=0，則A=B，△ABC為等腰三角形；(6)若sin2A=sin2B，則A=B或A+B=90°，△ABC為等腰三角形或直角三角形.在具體判斷的過程中，應(yīng)注意靈活地應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化，究竟是角化邊還是邊化角應(yīng)依具體情況決定.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【例2】（多選）下列命題中，正確的是（）【答案】ABDA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D故選：D．A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形【答案】C【分析】由對數(shù)運算性質(zhì)可求得角B，再根據(jù)正弦定理、三角變換進(jìn)行判斷可得三角形的形狀．又因為B是銳角，∴△ABC是等腰直角三角形．故選C．【點睛】判斷三角形形狀的方法有兩種，一是將邊轉(zhuǎn)化為角進(jìn)行判斷，二是將角轉(zhuǎn)化為邊進(jìn)行判斷，解題時注意三角變換在解題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B故選：BA．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形【答案】D故選：DA．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A故選：A．【例9】已知三角形的三邊長分別為3，4，，若該三角形是鈍角三角形，則的取值范圍是（）【答案】D可得當(dāng)4是最大邊時，4所對的角是鈍角，即此角的余弦值小于零，故選：.【題型專練】A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角的正弦公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.故選：BA．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角或直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理確定角是鈍角．三角形為鈍角三角形．故選：C．A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】對已知條件結(jié)合正弦定理進(jìn)行邊換角，另一個條件說明三角形是等腰三角形，兩者結(jié)合起來判斷.故選：B.A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)求出角B，再由向量數(shù)量積定義和三角形面積公式求出角A，即可判斷形狀.故選：CA．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D故選：D.A．等腰非直角三角形 B．三邊均不相等的直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A故選：A.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C故選：CA．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【詳解】因為與共線，故選：AA．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．無法判斷【答案】A故選：A.【點睛】本題考查利用正余弦定理判斷三角形形狀，考查學(xué)生對定理的靈活運用，是一道容易題.A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C故選：C．【點睛】判斷三角形形狀的常用技巧若已知條件中既有邊又有角，則(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能判斷【答案】B【分析】利用正弦定理